等腰三角形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破原

专题20等腰三角形

【考查题型】

等腰三角形性质与判定垂直平分线的性质

等边三角形的性质等腰三角形等腰三角形的性质

等边三角形的性质与判定等腰三角形的判定

【知识要点】

知识点一垂直平分线

垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的

中垂线）。

性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等

的点在这条线段的垂直平分线上。

考查题型一垂直平分线的性质

典例1.（2022•山东淄博・中考真题）如图，在△JBC中，AB=AC,ZA=120°.分别以点4和C为圆心，以

大于14c的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点0,作直线分别交8C,4C于点。和点E.若

2

A.4B.5C.6D.7

变式1-1.（2022•湖北黄石•中考真题）如图，在IU6C中，分别以/,C为圆心，大于L/C长为半径作弧,

2

两弧分别相交于"，N两点，作直线MN,分别交线段8C,4。于点。，E,若4*=2cm,△4W）的周长

为licm,贝HUB。的周长为（）

M

E,

BD

N

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

变式1-2.（2022・四川・巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在菱形48CD中，分别以C、。为圆心，大

于'co为半径画弧，两弧分别交于点〃、N,连接若直线恰好过点A与边⑺交于点后，连接

2

BE,则下列结论错误的是（）

A.ZBCD=\20PB,若/8=3,则84=4

C.CE=\BCD.=

变式1-3.（2022・山东济南・中考真题）如图，矩形中，分别以N,C为圆心，以大于的长为半

径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线分别交BC于点、E,F,连接/忆若BF=3,AE=5,以

下结论错误的是（）

A.AF=CFB.ZFAC=ZEACC.AB=4D.AC=2AB

变式1-4.（2022•山东聊城•中考真题）如图，1148。中，若N/MC=80。，4c8=70°,根据图中尺规作图

的痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.4/0=40。B.DE=-BD

C.AF=ACD.AEQF=25°

变式1-5（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点”和点。为圆心，大于;彳。

的长为半径作弧，两弧交于N两点，作直线MN,交半圆。于点C,交于点E,连接4C,BC,

若4E=1，则8C的长是（）

A.2百B.4C.6D.3c

变式1-6.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，在矩形/6CD中,AB6,BC8,分别以点4和C为圆心,

以大于:/C'的长为半径作弧，两弧相交于点/和N,作直线MN分别交40,8（'于点£,F,则/芥的长为

变式1-7.（2022・湖北恩施•中考真题）如图，在矩形中，连接分别以8、。为圆心，大于!加

的长为半径画弧，两弧交于「、。两点，作直线P0,分别与8c交于点例、N,连接DN.若

4）=4,AB=2.则四边形M8ND的周长为（）

2

变式1-8.（2021•浙江嘉兴・中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤

中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

变式1-9.（2022•西藏・中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹:

（1）分别以点48为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E,尸两点，作直线£尸；

2

（2）以点/为圆心，适当长为半径画弧，分别交力8,4C于点G,H,再分别以点G,，为圆心，大于、GH

2

的长为半径画弧，两弧在NR4c的内部相交于点O,画射线NO,交直线E尸于点己知线段/B=6,Z

BAC=60°,则点M到射线ZC的距离为.

变式1-10.（2022•山东枣庄•中考真题）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点8和。为圆

心，以大于2.80的长为半径作弧，两弧相交于点E和尸；②作直线E尸分别与。C,DB,AB交于点M,

2

O,N.若。〃=5,CM=3,则MV=

E

D

LAJ

BNy.A

变式1-11.（2022•辽宁盘锦・中考真题）如图，四边形/8CD为平行四边形，AB=2,BC=3.按以下步骤作

图：①分别以点C和点。为圆心，大于J.CD的长为半径作弧，两弧交于M,N两点；②作直线MV.若直

2

线MN恰好经过点4则平行四边形月8co的面积是.

变式1-12.（2022•江苏无锡•中考真题）如图，正方形/8CD的边长为8,点E是S的中点，HG垂直平分

AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG=.

变式1-13.（2021•青海西宁•中考真题）如图，在矩形48c7）中，E为4。的中点，连接CO,过点E作CK

的垂线交于点片交C。的延长线于点G,连接C凡己知⑷•一［,CF=5,则.

变式1-14.（2022•内蒙古赤峰•中考真题）如图，已知RHI/8C中，ZACB90°,AB=S,BC-5.

（1）作8C的垂直平分线，分别交4B、8c于点。、”；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长.

变式1-15.（2021•广东•中考真题）如图，在RW48C中，4=90。，作8C的垂直平分线交4C于点。，延

长4C至点E,使CE=48.

B

（1）若/〃=1，求△4W）的周长；

（2）若凰）-BD,求tan4“的值.

3

变式1-16.（2022・贵州贵阳•中考真题）如图，在正方形48C。中，月为/。上一点，连接8K,8K的垂直

平分线交于点交CD于点N,垂足为。，点〃在OC上，且必'〃//）.

N

C

（1）求证：AABI运△卜'MN；

（2）若48一8,AE=6,求QV的长.

知识点二等腰三角形

等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底

边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形性质：

1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角“）

2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰4ABC

作顶角的平分线作底边的垂线作底边的中线

AB=ACAD±BCAD=ADAB=ACBD=DCAD=AD

.,.△ABC^AACD（SAS）;.△ABC^AACD（HL）.,.AABC^AACD（SSS）

AZB=ZCBD=DCAD±BCAZB=ZCBD=DCZ1=Z2.\Z1=Z2ZB=ZCAD1BC

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等

边

考查题型二等腰三角形的性质

典例2.（2022•江苏宿迁・中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5c机，则这个等腰三角形的周长

是（）

A.8cmB.13cmC.或13c机D.lie“？或13。”

变式2-1.（2022•浙江嘉兴・中考真题）如图，在H46C中，/8=4C=8,点E,F,G分别在边BC,

4c上，EF〃AC,GE//AB,则四边形的周长是（）

A.32B.24C.16D.8

变式2-2.（2022・福建・中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形/8C,其中

ZABC=21°,8c=44cm,则高/。约为（）（参考数据：sin27°«0.45,cos27°«0.89,tan27°»0.5l）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

变式2-3.（2022・海南・中考真题）如图，在IL48C中，AB=AC,以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA

于点交8c于点N,分别以点M、N为圆心，大于！乂”的长为半径画弧，两弧在//8C的内部相交于

2

点尸，画射线8尸，交XC于点。，若4D=BD，则//的度数是（）

A

A.36°B.54°C.72°D.108°

变式2-4.（2022・四川自贡・中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20。，则这个底角的度

数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

变式2-5.（2022•湖北鄂州•中考真题）如图，直线//〃小点C、/分别在（、4上，以点C为圆心，。长

为半径画弧，交//于点8,连接48.若/BC4=150。，则N1的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

变式2-6.（2022•黑龙江•中考真题）如图，1148。中，AB^AC,平分/8/C与8c相交于点。，点£

是48的中点，点F是。C的中点，连接EF交4）于点P.若IL48c的面积是24,PD=\.5,则总的长是

（）

B

A.25B.2C.35D.3

变式2-7.（2022•江苏淮安•中考真题）如图，在H48c中，AB=AC,的平分线交8C于点。，E为

4c的中点，若48=10,则的长是（）

A.8B.6C.5D.4

变式2-8.（2022•云南・中考真题）已知△NBC是等腰三角形.若NN=40。，则A48C的顶角度数是.

变式2-9.（2022•江苏苏州•中考真题）定义一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做，倍

长三角形”.若等腰△/BC是“倍长三角形"，底边8c的长为3,则腰的长为.

变式2-10.（2022•广西贵港•中考真题）如图，将38C绕点/逆时针旋转角。（0°＜。＜180。）得到丫加龙,

点8的对应点。恰好落在边上，^DELACM'AD25。，则旋转角a的度数是

E

BDC

变式2-11.（2022・四川成都・中考真题）如图，在［/8C中，按以下步骤作图：①分别以点8和C为圆心，

以大于;8c的长为半径作弧，两弧相交于点”和N；②作直线交边48于点E.若4C=5,BE=4,

々「45。，则的长为.

变式2-12.（2022•山东滨州•中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中48-4C,立柱

4O/8C,且顶角NB/C=12O°,则/C的大小为.

变式2-13.（2022・吉林・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0）,点〃在丁轴正半轴

上，以点8为圆心，出长为半径作弧，交x轴正半轴于点。，则点C的坐标为.

变式1-14.（2022・四川广安・中考真题）若Q-3）2+痴。=0,则以“、6为边长的等腰三角形的周长为

变式2-15.（2022・上海・中考真题）如图所示，在等腰三角形Z8C中，AB=AC,点、E,尸在线段8c上，点

0在线段上，且CF=8E,工厅〃。〃^求证：

⑴NC4E=NB4F；

Q）CFFQ=AFBQ

变式2-16.（2022•湖南衡阳•中考真题）如图，在1148。中，AB=AC,/）、是8。边上的点，且

BD二CE,求证：AD-AE.

变式2-17.（2022・湖北黄石•中考真题）如图，在1148。和V//无中，AB=AC,AD=AE,

N1MC=4ME=9O°,且点。在线段8。上，连CE.

（1）求证：△ABgAACE；

（2）若N"C=60°,求NCED的度数.

变式2-18.（2022•山东淄博・中考真题）如图，A48C是等腰三角形，点。，E分别在腰ZC,4B上,且8E

=CD,连接8D,CE.求证：BD=CE.

考查题型三等腰三角形的判定

典例3.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点工、B,连接在网格中

再找一个格点C,使得1M8C是等腰直角三角形，满足条件的格点。的个数是（）

变式3-1.（2021•贵州铜仁•中考真题）直线48、BC、CD、AG如图所示，Zl=Z2-80°./3=40。，则

下列结论错误的是（）

A.ABIICDB.ZEBF=40°C.Z/CG+Z3=Z2D.EF>BE

变式3-2.（2022・四川雅安・中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC=9,CD=3,那么阴影

部分的面积为.

变式3-3.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，在Y48CD中，点E在/。上，且EC平分/月以），若

N£8C=30。，8£=10,则Y48Q）的面积为.

变式34.（2021•湖北黄冈•中考真题）在中，ZC-900,々=30°,以顶点工为圆心，适当长为

半径画弧，分别交XC,4B于点E,F；再分别以点E,尸为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于

2

点尸，作射线交8C于点O.则CD与80的数量关系是—.

考查题型四等腰三角形的性质与判定

典例4.（2022•天津•中考真题）如图，在A48C中，AB=AC,若加是8c边上任意一点，招A4BM绕点,4

逆时针旋转得到A4CM点M的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是（）

B.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNLAC

变式4-1.（2022•浙江台州•中考真题）如图，点。在U48c的边8c上，点P在射线力。上（不与点A,1）

重合），连接P8,PC.下列命题中，假命题是（）

A.若AB=4C,AD1BC,则/,8=PCB.若PB=PC,ADIBC,则W=

C.若AB=4C,/l=/2,则08=/'CD.若PB=PC,/l=/2,则48=AC

变式4-2.（2022•广西桂林•中考真题）如图,在U48C中,ZB=22.5°,NC=45。，若4C=2,则LU4c的

面积是（）

C.2^2D.2+72

变式4-3.（2022•山东烟台・中考真题）如图，某海域中有4B,C三个小岛，其中Z在8的南偏西40。方

向，C在8的南偏东35。方向，且B,C到4的距离相等，则小岛C相对于小岛工的方向是（）

A.北偏东70。B.北偏东75。C.南偏西70。D.南偏西20。

变式4-4.（2022•广西梧州•中考真题）如图，在中，ABAC,是的角平分线，过点。分

别作。VAB,DIAC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是（）

A.ZADC-90'B.DE=DFC.ADBCD.BD=CD

变式4-5.（2022•辽宁营口・中考真题）如图,在ZU8C中，AB=AC,ZA=36°,由图中的尺规作图得到的射

线与/C交于点Q,则以下推断错误的是（)

A.BD=BCB.AD-BDC.408=108°D.CD=-AD

2

变式4-6.（2022・贵州安顺・中考真题）如图，在1/8。中，ZABC<90°,AB,BC,82是/C边上的中

线.按下列步骤作图①分别以点8和点。为圆心，大于;8C的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；②

作直线MN,分别交8C，助：于点/）,O-,③连接CO，DE.则下列结论错误的是（

A.()B=OCB.ZBOD^ZCOD

c.DE//ABD./\BOC建ABDE

变式4-7.（2022•湖北荆州•中考真题）如图，直线t〃4,AB=AC,/B/C=40。，则NI+/2的度数是

C.80°D.90°

变式4-8.（2022・湖北荆门・中考真题）数学兴趣小组为测量学校4与河对岸的科技馆8之间的距离，在Z

的同岸选取点C,测得/C=30,N4=45。，ZC=90°,如图，据此可求得4,8之间的距离为（）

4B

i

A.20。B.60C.30yliD.30

变式4-9.（2022・浙江绍兴・中考真题）如图，在1148。中，48C一40。，WC-80。，以点A为圆心，AC

长为半径作弧，交射线于点/）,连接CO，则N8CD的度数是.

变式4-10.（2022•湖南邵阳・中考真题）如图，在等腰H46c中，4T20。，顶点8在口。/）/少的边上,

已知NI=40。，则/2=.

变式4-11.（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在A4BC中，AB=AC=4,NCAB=30°,ADVBC,

垂足为。，尸为线段NO上的一动点，连接P2、PC.则P/+2P2的最小值为.

变式4-12.（2022•浙江温州•中考真题）如图，80是的角平分线，DE//BC,交于点E.

AF.B

⑴求证：ZEBI）=ZEDB-

（2）当48一4。时，请判断与A7）的大小关系，并说明理由.

等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

等边三角形的性质：1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；

2）有三条对称轴；

3）每个内角都是60。

等边三角形的判定：1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。

2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半

考查题型五等边三角形的性质

典例5.（2022・海南・中考真题）如图，直线加〃〃，是等边三角形，顶点8在直线〃上，直线机交

于点、E,交4C于点凡若/1=140°,则/2的度数是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

变式5-1.（2022•四川南充•中考真题）如图，在正五边形/8CQK中，以为边向内作正△481,则下列

结论错误的是（）

A.AE^AFB.ZEAF=NCBFC.ZF=ZEAFD.ZC=Z£

变式52（2022•山东青岛•中考真题）如图，。为正方形48C/）对角线4。的中点，△/CK为等边三角

形.若48=2，则的长度为（）

A.B.x/6c.2V2D.2月

2

变式5-3.（2022・湖北荆州•中考真题）如图，以边长为2的等边A48C顶点力为圆心、一定的长为半径画弧,

恰好与8C边相切，分别交/C于。，E,则图中阴影部分的面积是（）

A.V3--B.23-RC.e”）、,D.73--

432

变式5-4.（2022•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，等边三角形。48,点8在x轴正半轴上，S^-4^,

若反比例函数V/0）图象的一支经过点/,则k的值是（）

A.-LB.2月C.-LD.4百

变式5-5.（2022・四川绵阳•中考真题）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A.是轴对称图形B.对称轴的交点是其重心

C.是中心对称图形D.绕重心顺时针旋转120。能与自身重合

变式5-6.（2022•青海•中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

（1）问题发现：

如图1,若I1/8C和V/OA'是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BDCE；

图1

（2）解决问题：如图2,若和△£）（?£均为等腰直角三角形，4C8=NZX7「二90。，点4D,E在同

一条直线上，CM为△£＞（.力中。E边上的高，连接8E,请判断N/E8的度数及线段CA/,AE,8E之间的数

量关系并说明理由.

图2

变式5-7.(2022・四川自贡・中考真题)如图，△/8C是等边三角形，D,E在直线8C上，DH^EC.求证:

ZD=Z£.

变式5-8.(2022•贵州黔东南•中考真题)阅读材料小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何

问题:

如图，HRSC和△8/)〃都是等边三角形，点A在/)〃上.

求证：以/£、//)、4C为边的三角形是钝角三角形.

(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接QC,根据已知条件，可以证明QC-4*,4DC—120。，从而

得出乙第。为钝角三角形，故以/左、初＞、4C为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

(2)【拓展迁移】如图，四边形48CQ和四边形8WE都是正方形，点A在AG上.

①试猜想：以4月、AG、4C为边的三角形的形状，并说明理由.

②若/炉+/行=10,试求出正方形48。）的面积.

考查题型六等边三角形的性质与判定

典例6.（2022•湖南•中考真题）如图，点0是等边三角形/8C内一点，（）A=2,OB=1,（X：。，则A4O8

与MOC的面积之和为（）

A.也B.3C.也D.4

424

变式6-1.（2022•贵州铜仁・中考真题）如图，等边。4BC、等边［/即的边长分别为3和2.开始时点Z与

点。重合，0/;在上，。“在/C上，ILD//沿/月向右平移，当点。到达点8时停止.在此过程中，

设