三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总

题型1单调性与量值..............................................................1

题型2辅助角公式求最值..........................................................8

题型3一元二次函数与最值......................................................12

题型4sinx与cosx和差求最值....................................................21

题型5分式型最值...............................................................26

题型6绝对值型求最值...........................................................31

题型7三角换元法求最值.........................................................39

题型8三角换元法与向・求最值...................................................45

题型9三角换元法与根号型求最值.................................................56

题型10换元法求最值............................................................58

题型11距离与斜率型............................................................61

题型12参变分离................................................................67

题型13复合函数型..............................................................68

CKsai

题型1单调性与最值

.仙知#6

・王•、、、

利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题

【例题11（多选）（2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知函数

/(%)=Sin(3X+»在(0,4]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是

唯一的，则整数3的取值可能是()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】BC

【分析】利用整体思想与分类讨论思想，结合正弦函数的性质，可得答案.

【详解】当3>。时，3X+/643+,所以；<43+?<¥，得gW3<詈，

6\66J662612

当3<0时,a)x4-^6Uco+£3)/所以一9<43+£工一十，得一斗<co<—,

6L66/26633

选项BC是范围内的整数.

故选：BC.

【变式1-1]1.(多选I2023秋湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数/⑺=

sin(o;x+<p)(3>0)满足/'(xo)=f(x0+1)=y,且/"(x)在(和,％。+1)上有最大值,无最小

值，则下列结论正确的是()

A./■(&+1)=1B.若&=0,则/'(x)=sin(TTX+弓)

C./(x)的最小正周期为4D./(X)在(0,2024)上的零点个数最少为1012个

【答案】AC

【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有/+3=1,假设B中解析式成立，由&=0

得/0=1，进而验证解析式，令+(p=2/CTI+?,<o(x0+1)+中=2/cn+亨，k€Z,

作差求3,进而求最小正周期，根据所得周期及正弦型函数的零点性质判断区间零点个数.

【详解】A,由题意/(x)在(&,与+1)的区间中点处取得最大值，即/1。+J=1,正确；

B，假设若出=0,则/'(£)=sin(TTX+成立，由A知/&=1,

而f。=sin仁+：)=¥彳1,故假设不成立,则错误；

C,/(x0)=fix。+1)=y,且/'(x)在(&,x()+1)上有最大值,无最小值，

令3X。+<p=2fcn+:,w(x0+1)+<p=2Arn+乎，keZ,

则两式相减，得3=；,即函数的最小正周期T=5=4,故正确；

D,因为7=4,所以函数f(x)在区间(0,2024)上的长度恰好为506个周期，

当f(0)=0,即3=kTt,k6Z时，f(x)在区间(0,2024)上的零点个数至少为506x2-l=

1011个，故错误.

故选：AC.

【变式1-1]2.(2021秋•辽宁大连•高三大连八中校考阶段练习)关于函数"%)=sinx-

xcosx,下列说法正确的是()

A.f(x)是偶函数B.0是f(%)的极值点

C./⑺在(-若)上有且仅有2个零点D.f⑺的值域是R

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B

选项；利用函数八%)在(-，当上的单调性结合”0)=0可判断C选项；根据/(2MI)=

-2/cn(fcGZ),再分类讨论即可判断D正确.

【详解】对于A选项，函数f(%)=sinx-xcosx的定义域为R,

则/'(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-/(x),故函数/(x)为奇函数，A错；

对于B选项,f'(x)=cosx—cosx+xsinx=xsinx,

当一:<x<0时，sinx<0,止匕时，/(x)>0,此时函数人工)单调递增，

当。<x<用寸，sinx>0,此时，/0)>0,此时函数/(x)单调递增，

所以，。不是函数f(x)的极值点，B错；

对于C选项，由B选项可知，函数f(x)在(-若)上单调递增，且/0)=0,

所以，函数/(%)在(-，与上有且只有一个零点，C错；

对于D选项，因为函数/'(x)在R上连续，/'(2/m)=sin2fcTt—2/cTtcos2fcn=—2fcn,

所以当kf+8时，且keZ,f(x)--oo,

当kt-8时，且keZ,/(x)T+oo,

又f(0)=0,所以函数/(x)的值域为R,故D正确.

故选：D.

【变式(多选I2020秋・福建厦门•高三厦门双十中学校考阶段练习H知函数f(x)=

等，xe(0,兀］,则下列结论正确的有()

A./(x)在区间(0,兀］上单调递减

B.若0<xx<x2<it,则•sinx2>x2-sinxj

C.f(x)在区间(0,可上的值域为［0,1)

D.若函数g(x)=xg'(x)+cosx,且g(?r)=-1,g(%)在(0,兀］上单调递减

【答案】ACD

【解析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，

对于选项A:当x€(05)时，可得f'(x)<0，可得f(x)在区间(0,9上单调递减；当%6崂，乃］,

可得(⑺<0,可得/⑺在区间椁，兀］上单调递减，最后作出判断；

对于选项B:由f(x)在区间(0,扪上单调递减可得f(%)>/(x2),可得皿>吧,进而作

xlx2

出判断；

对于选项C：由三角函数线可知sinx<x,所以陋<三=1,f(兀)=陋=0,进而作出判

xxn

断；

对于选项D：g，(x)=g'M+xg"(x)-sinx,可得g"(x)=等=/(x),然后利用导数研究

函数g'(x)在区间(0,网上的单调性，可得g'(x)Wg'S)=0,进而可得出函数g(x)在(0,汨上

的单调性，最后作出判断.

【详解】/，(x)=H『，xeco.TT］,

当x6(0,3时，cosx>0,由三角函数线可知X<tanx,

所以x<――,即xcosx<sinx,所以xcosx—sinx<0,

cosx

所以广⑺<0,所以f(x)在区间(0,9上单调递减，

当xG［］，兀］，cosx<0,sinx>0,所以xcosx—sinx<0,f'(x)<0,

所以f(x)在区间再同上单调递减，

所以f(x)在区间(0,用上单调递减,故选项A正确；

当0<<%2W兀时I/(X1)>f(x2),

所以照1>3,即XI•sin%2<x2.sinx,,故选项B错误;

X1x2

由三角函数线可知sinx<x,所以也<-=1,f(jr)=—=0,

xxn

所以当Xe(0,兀］时,/(x)G［0,1),故选项C正确;

对g(x)=xg'(x)+cosx进行求导可得：

所以有g'(x)=g'(x)+xg"(x)-sinx,

所以g〃(x)=等=/(%),所以g"Q)在区间(0,同上的值域为［0,1),

所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0,加上单调递增，因为g'S)=0,

从而g'(x)<g'S)=o,所以函数g(x)在(0,兀］上单调递减，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数f(x)=等的性质，可先求出其导

数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出

判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

【变式1-1J4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=sin(3x+*3>0，若/6)=

/偿)且/(x)在区间仁泻)上有最小值无最大值，则3=

【答案】4或10/10或4

【分析】根据/(£)=/(震)可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出3的表达式和

可能取值，结合y=sinx的图像，根据/⑶在区间&瑞)上有最小值无最大值判断3的取

值范围，从而判断3的取值.

n5n

【详解】••'f(xW/g)=/-g),.-.x=守=g是f(x)的一条对称轴，

•3+£=巴+ku,3k,

362’..to=1+k£Z,

・「3>0=1,4,7,10,13,....

.71T_/7T17157r,

当居)时,COX+-6(-3+一，——0)+

'6\4612

y=sinx图像如图:

’7T,7T,7T,37r(571/71，江,7兀

-<-0)+-<——

2146228,，52

：6：苦或=—<0)<一,

3/a_57r,7T一57r=4<-37加，57r,it97r35，

——<-O)+-<一

、2126、22126、2

此时3=4或10满足条件；

5713717T

区间&期的长度为专冶--——

12126

当3》13时，f(x)最小正周期T=g《普〈,则f(x)在弓冷)既有最大值也有最小值，故

3》13不满足条件.

综上，3=4或10.

故答案为：4或10.

【变式1-1]5.(2023•全国•高三专题练习)若a、b为实数，且a<b,函数y=sinx在闭

区间值句上的最大值和最小值的差为1,贝妨-a的取值范围是

【答案】［pn］

【分析】讨论a的取值，结合三角函数的图象，即可求解.

【详解】(i)当函数y=sinx在闭区间［a,b］内无最值，则函数丁=5也》在［a,b］内单调，

不妨取[a,b]C(-2,9,可知ae(-^,0),he(0,H),y=sinx在[a向内单调递增，

可知sin(a+9-sina=cosa-sina=V2cos(a4-

且ae(->0),则a+-39,则cos(a+qe01],

所以sin(Q+—sina=V2cos(Q+：)>1=sinb—sina,即sinb<sin(Q+]

可得匕VQ+,即力—Q<—

①若a=Y,b=I则最大值和最小值的差为:(T)=1,符合题意；

ooZ\，/

②若a€W),be(0,2),

贝!Jsin(Q+9—sina=^cosa-jsina=cos(a+

因为QE(一5，一£)，则。+££(一,0)1可得cos(a+])V1,

故sinb-sina=1>sin(Q+以一sina,可彳导sinb>sin(a+1

且a+*(—黑)/E(0,%则b>Q+『可得

③若aE(一20),b€(0彳)，

贝！Jsin(a+以一sina=ycosa—jsina=cos(Q+蓝)，

因为aE(一也°)，则。+?£(°W)，可得cos(Q+.)<1,

故sinb-sina=1>sin(a+：)—sina,可彳导sinb>sin(Q+；

且a+M已力武(0%则b>a+)可得

5\oa/\Zz5J

综上所述：*b-a<J

(ii)当函数y=sinx在闭区间［a,b］内有最值，不妨取最大值1,最小值为0,

由图象可知：不妨取a=0,当b=TT时,b-a取到最大值Tl；

当b=］时，b-a取到最小值T；

可得^<fa-a<n;

综上所述：b-a的取值范围是［,可.

故答案为：［pirj.

【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.它包含以

形助数和以数解形两个方面.一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问

题时，可考虑数形结合法.运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图

形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择.

题型2辅助角公式求最值

、一

即划重点

通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题

【例题2］（2023•天津东丽•校考模拟预测）已知函数f⑺=sins+cosa）x（co>0）图象的

最小正周期是TU，则（）

①/⑺的图象关于点管,0）对称

②将/（幻的图象向左平能个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

O

③f(x)在［o,3上的值域为

©人切在卜,。］上单调递增

A.①②④B.①②③C.②④D.②③④

【答案】A

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出3,即可得到函数的解

析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断

②；根据X的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式

可判断④.

【详解】因为/'(x)=sinwx+COSOJX=V2sin［a)x+,

••・函数的最小正周期是n,：,T=n=，，

=2,/(x)=V2sin(2x+T),

f管)=sin(2x詈+J)=sinn=0,.•./(>)关于管,o)对称，故①正确.

/(x+慨)=V2sin(2x+；)=V2cos2x，，/(x+：)关于y轴对称，故②正确.

当04x4物，有0W2xV兀，则依2x+*',所以一日<sin(2x+=)<l,

"(%)G［-1,72］，故③错误.

由一TW2x+TW,解彳导一(n<x<,

24288

所以/(X)的一个单调增区间为卜芸%而卜,o］£［-y,=］,

"(x)在卜：,0］上单调递增,故④正确.

故选：A.

【变式2-1】1(2023,天津•三模)5知f(x)=msincox—cosa)x(m>0,co>0),g(%)=2tanx,

若对VX1GR,3X2e［。,2，使得/(/)<g(%2)成立，若/(X)在区间［o,何上的值域为［-1,2］,

则实数3的取值不可能是.

A.-B.1C.-D.-

332

【答案】D

【分析】由题意首先确定函数外切的值域，然后数形结合得到关于3的不等式，求解不等式

可得3的取值范围，据此可得选项.

【详解】/(x)=msineox-coswx=Vm2+lsin(a)x+(p),其中tan>=!

由题意可知：［/'(x)］maxW［g(x)］max，即：Vm2+1<2,

则函数f(x)的值域为［-2,2］的子集，

设函数f(x)的最小正周期为r,f(x)在区间［0,比］上的值域为,则：(W7TW|7,

即：复工"襄解僵W3S2

结合选项可知实数3的取值不可能是^

故选D.

【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力

【变式2-1］2.(2023秋•江苏南通•高三江苏省如皋中学校考阶段练习)已知函数f(x)=

sintox+cos(5+9,(3>0)在［0用上的值域为［-今1］,则3的取值范围为.

【答案】生|］

【分析】根据给定条件，化简函数f(%),再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.

【详解】依题意，f(%)=gsinax-ycosatx=sin(wx—^),

由x6［O^TT］,>0,得一~Wcox—；WTito-］i

函数y=sinx在［-翳］上单调递增，函数值集合为［-今1］,在碎,等上单调递减，函数值

集合为［一及1］,

因为函数/⑶在［0同上的值域为［-今1］,则有TWTW-”与，解得三3咛，

所以3的取值范围为

O3

故答案为：区勺

O5

【变式2-1］3.(2023・陕西铜川•统考二模)已知函数/(x)=cos(x+以cos1+；),若

%€卜%可，则函数/(为的值域为一.

【答案】［序日

【分析】利用诱导公式、三角恒等变换化简/'(X),再应用正弦型函数性质求值域即可.

【详解】/(x)=—sinx(孝cosx—ysinx)=一孝sinxcosx+^sin2x=—sin2x+yx

l-cos2x

2

V2,oV2o,V21/V2.o,V2\.>/21.n\.V2

="_sln2X_-cos2x+T=--(ysm2x+ycos2x)+-=--sm［2x+-)+-,

xe

-【—黑］时勿+：6［*,乎］,sin(2x+［)e［-y(l］,得:fM€［宇,等.

故答案为：与，用

【变式2-1］4.(2023•四川达州统考二模)函数y=2sin(ox+2V5cos2-V5(6)>0)在

区间［0,m］上的值域为［逐,3］,则simna的取值范围为.

【答案】［|,竽］

【分析】化简函数y=2sinwx+2V5cos2号-V5(eo>0)得y=3sin(tox+0)其中sin。=?,

cos。=|,再利用函数y=3sin(o)x+。)在区间［0即］上的值域为［低3］,可得等<mto<

n-20,从而得到sin-U)工sinmco<sin(7r一2。)，再结合sin6=y,cos。=|,利用三

角恒等变换化简即可得出结果.

【详解】由题意可得

y=2sintox+2\/5cos2/-V5=Zsinwx+V5^2cos2/-1)

=2sina>x+V5costox=3sin(a>x+0)r其中sin。=彳,cos0=|,co>0,

;函数y=3sin(cox+6)在区间［0,m］上的值域为［63］,

.•.当y=3sin(o)x+。)=3时,cox4-0=^,即x=，

当时，)=。或3%+乃则％=或冗=，

y=3sin(tox+0)=6&%4-06=-6,03

11-20n—26rji.iTT-20)℃

:，-----<m<----,贝!J------<mo)<71—26,

2332

vsin0=->^=sin-,cos0=?,・••-<9<-,

324342

・・•£V2。V兀，0V7T—28V巳，则ov£—ev£,

2224，

,sin(；—6)4sinmaj<sin(;r—20),

又s"zC_9)=cos0=|,sin(zr-20)=sin20=2sin0cos0=竿r

24V5

:.-<sinmco<—

•••sinnuo的取值范围为：[|,竿].

题型3一元二次函数与最值

、，*

*E划重点

类比一元二次函数，求解最值

【例题3](2023・全国•高三专题练习)已知函数/(乃=4sin2g+x)+4sinx,xG[0,a]的

值域为[4,5],则实数a的取值范围为()

A-[=>•[=-?]C-[MD-[>1

【答案】c

【分析】首先化简函数f(%)的解析式，再利用复合函数的值域，求实数a的取值范围.

【详解】f(x)=4cos2%+4sinx=-4sin2x+4sinx4-4

=-4(sinx—0+5,

设1=sinx,g(t)=-4(t-+5,函数的对称轴为£=|

且/(0)=9(0)=4,g=5,g(l)=4,

因为函数/(X)在区间［0,a］的值域为［4,5］,所以t=sinx在区间［0,0上能取得t=J但是t不

能小于0,

所以？<a<TT.

故选：c

【变式3-1］1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知函数/■(%)=2sin2%-3sin|x|+1,

则()

A.是偶函数B.f(x)在区间(-三,0)上单调递增

C./Xx)在上有4个零点D./(x)的值域是［0,6］

【答案】AB

【分析】对A，根据偶函数的定义判断即可；对BCD,换元构造复合函数y=2(t-》—《，

\4/o

结合复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.

【详解】对于A,函数y="x)的定义域为R,

且/(一%)=2sin2(—%)—3sin|—%|4-1=2sin2x一3sin|x|+1=f(%),

所以函数y=/(%)是偶函数，A正确；

对于B,当％e(0,；)时,0<sinx<华,f(x)=2sin2%—3sinx+1=2(sinx—|)-*

令1=sinx,由于函数y=2(t-—海e(0,')时单调递减，

函数t=sinx在xe(0,媒时单调递增，所以函数y=/⑺在区间(0,；)上单调递减，

故函数y=f(x)在区间(-;,0)上单调递增，B正确；

对于C,当xE［Ojr］时,由f(x)=2sin2%—3sinx+1=0,得sinx=g或sinx=1,

所以x=?或“强"=》所以偶函数y=/(%)在［-5］上有6个零点，C不正确；

对于D,当无6［0,+8州寸，f(x)=2sin2%—3sinx+1=2(sinx—

因为T<sinx<1,所以当sinx=:时，/(%)min=-1当sin%=-1时,/(x)max=6.

由于函数y=/(x)是偶函数，因此，函数y=/0)的值域为卜，6],D不正确.

故选：AB.

【变式3-1]2.(2023秋•江西宜春•高三江西省丰城中学校考开学考试)设函数f(x)=

-|cos2x+asinx+a+|,R.若方程/(无)=0在(0㈤上有4个不相等的实数根，则a的

取值范围是.

【答案】(-3,6-6V2)

【分析】/(%)=3sin2x+asinx+a+3,%€(0,TT)令sin%=t,tE(0,1],贝！J九(t)=3t2+at+

a+3=0,由题意，原问题等价于h(t)=3/+而+Q+3=0在区间(0,1)上有两个不相等

的实数根，由一元二次方程根的分布即可求解.

【详解】解：/(%)=-|(1-2sin2x)+asinx+a+1=3sin2x+asinx+a+3,x€(0,九),

令sin%=t,t6(0,1],则九(t)=3t2+ai+a+3=0,

当0<£V1时,sinx=t有两个不相等的实数根，当"1时,sinx=t有且仅有一个实数根，

因为方程f(x)=。在(0,兀)上有4个不相等的实数根，

所以原问题等价于八a)=3/+Qt+。+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根,

(0<--<1

6

所以有,△=十一12(。+3)>°,解得一3<"6-6或，

/i(0)=Q+3>0

I/i(l)=2a+6>0

故答案为：(―3,6—6V2).

【变式3-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=sin2x-cosx+a,x6怎刀)有

两个零点.

(1)求实数a的取值范围；

(2)设/,牝是g(x)的两个零点，证明：匕+&<三.

【答案】Q)(+，T)

⑵证明见解析

【分析】(1)由g(%)=0可得a+1=cos2%+cosx,然后令t=cos%,则cos?%+cos%=t+

t2E[—；，0)，再分a+1N0或a+1V—]a+l=—；和—<a+1<0讨论即可；

(2)函数g(X)有两个零点%i,X2,令4=COSXj<0,t2=cosx2<0,则转化为“，■为

方程a+1=t+产的两根，然后根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得cos/>

cos(^-%2),再利用余弦函数的单调性可证得结论.

【详解】(1)解：g(%)=sin2%—cosx+a=—cos2%—cosx4-a+l,xe(，冗).

由g(%)=。可得Q+1=cos2%+cosx,

令t=cosx,由％E(1,!1)可得一1Vt<0,

故cos2%+cosx=t+产E[—：,0),

当a+1>0或Q+1V-]即Q>一1或a<一:时，a+1=t+严无解,

所以g(X)不存在零点；

当a+1=-J即Q=-加寸，a+l=£+/有一解t=一]此时X仅有一解年,

所以g(x)只存在一个零点；

当—工VQ+1V0,即一勺<Q<—1时,a+1=t+产有两解

44

t=-|±Ja+：,此时cosx=-1±Ja+;在xe(Q)各有一解，故g(x)有两个零点.

综上，实数a的取值范围为(-：,-1).

(2)证明：函数g(x)有两个零点与，%2,

令±1=COS%1<0,=COSX2<0,则0,J为方程Q+1=t+/的两根，

则G+心=，1也=一(。+1)，所以cos%1+cosx2=-1,

2

两边平方得cos?%1+COSX2+2COSX1COSX2=1，因为2cosjqcos%2>0,

222

所以cos?/+COSX2<1=COSX2+sinx2/

22

所以cos2/<sinx2=cos(乎-,

由］<小<n可得/<y-X2<n,所以cos(y-x2)<0»

则cos/>cos-冷)，因为y=cos%在&Tl)上单调递减，

所以X］<^-%2<即久1+%2<当

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查余弦函数性质的应用，第(2)

问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根与系数的关系结余弦函

数的性质可证得结论，考查数学思想和计算能力，属于难题.

【变式3-1］4.(2022秋•上海虹口•高三统考阶段练习)已知aeR,函数/'(x)=sin2x-

asinx.

Q)当a=2时,求/'(x)的值域；

⑵若函数y=f(x)-f0-x)在区间［0用上是严格增函数，求a的最大值；

(3)设a=l，ueR.方程/(x)=a的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差

数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.

【答案】⑴f(x)的值域为；

(2)a的最大值为-鱼;

(3)u=:或u=|满足条件，理由见解析.

【分析】Q)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求f(x)的值域；(2)由已知可得尸。)-

/'C-x)20在上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最

大值；(3)结合已知条件及正弦函数图象及性质可求u的值；

【详解】(1)因为a=2,/(x)=sin2x—asinx，所以f(x)=sin2x—2sinx=(sinx—I)2—1,

因为-1<sinx<1，所以-2<sinx-1<0，所以-1<f(x)<3，所以/(%)的值域为［-1,3］；

(2)因为/(x)=sin2x-asinx,y=/(x)-，

所以y=sin2x-asinx-sin2-+asin-,

化简得y=sin2x-asinx-cos2%+acosx,

因为函数y=%)在区间［o(］上是严格增函数，

所以y'=2sinxcosx-acosx+2cosxsinx-asinx>0在［o用上恒成立,所以4sin%cosx—

a(sinx+cosx)>0在卜瑞上恒成立，令t=sinx+cosx，则t=V2sin［+，因为％W［°用，

2

所以1<t<y/2,又2sinxcosx=1—tr

所以2-2t2-at>0在［1,回上恒成立，所以a<1-2t在［1,网上恒成立，又函数y=1-

2t在［1,夜］上单调递减，所以当x=或时,y=、2t取最小值，最小值为-鱼，所以a<-夜,

所以a的最大值为一夜；

(3)因为/'(x)=sin2x—asinx,a=|,所以不等式/'(x)=比可化为sin?%—isinx=u,

令t=sinx,则一=作函数y=t2<t<1)的图象，

又当t=；时,12T=-七.

由图象可得当u<-白或t>:时，方程t2--a=0在上没有解，方程/(x)="没

IONZ

有解；

当U=-2时，方程t2一、一“=0的解为t=1,贝！Isinx=i,方程sinx=:的正实数解按从

162444

小到大的顺序排列记为%1，久2，X3，乂4,….如图，

y

OX\%2、_^打、X

y=sinx

则X】G(o,H),X2e管,TT),%3=Xl+2TT,所以该数列不是等差数列，

当一今<u<：时，方程£2一'—U=0在［—1,1］内有两个解，设方程的解为G，t2，且一左

IoZLL

方程sinx=6和sinx=七的正实数解按从小到大的顺序排列记为/，％2，%3，%4,…，

设数列乙,g/3，*，…为等差数列，设数列的公差为虑,因为&-%=2TT,所以d=£,/+

f

x2=n,则%1=：,所以*3=Y,则0=_.，12=乎与0+2=［矛盾，

当然”用寸方程t2-*一比=0在［-1,1］内有一个解设方程的解为t3，且-1WJ-］

方程Sinx=，3的正实数解按从小到大的顺序排列记为Xl，X2，X3/4,…，

设数列…为等差数列，设数列的公差为义,因为光3-X】=2n,所以d=n,X】+

x2=3n,则Xi=n,所以t3=0,与一1<t3<-择盾，

若a=|，则方程t2=。在［-1,1］内的解为t4=-1，所以sinx=-1，所以x=2fcn+

|TT,所以方程/Xx)=u的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为｛2/CTT-品，该数列

为等差数列，满足条件；

_

当u=(时，方程t?一1-u=。在内有两个解ts=1,t6=|，由sinx-1，可得x-

2/CTT4--,kEZ,由sin%=--,可得x=2mTT-=2mn——,m6Z,

2266

所以方程/(x)=U的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足巧k-2=3+(k-l)2n,

叼h1=?+(人一D2n,%3k=半+(k—l)2n,所以$==+(n-l)^,所以该数列为

等差数列，

综上所述，当a=:或a=时，方程/(x)=a的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列

为等差数列.

【变式3-1]5.(2022秋•广东佛山・高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习)已知函

数/(x)=^cos2x+bcosx+C.

(1)当b=l,c=1,则/(X)的最大值为；

(2)若对任意/、x2ER,都有If(X1)-/(x2)|<4,则b的取值范围为

【答案】7[-2,2]

【分析】(1)化简得出“X)=J(cosx+1)2+：,由一1<COSX<1以及二次函数的基本性质

可求得f(X)的最大值；

(2)设£=cosx6[-1,1],g(t)=产+儿+(：-；，问题转化为当te时,g(t)max-

g(t)min<4,对实数b的取值进行分类讨论，分析二次函数g(t)在[-1,1]上的单调性，求出

g(t)min、g(t)max，可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围•

【详解】(1)当b=c=l时，/(x)=-cos2x+cosx+1=-(2cos12x*4-1)+cosx+1=

44

1..3

-COS^2X+COSX+-

24

=((COSX+I)2+J

因为一1<COSX<1,当COS为=1时，f(X)取最大值，即/O)max=2+：=：；

44

(2)函数/(%)=；cos2x+bcosx+c=|cos2x+bcosx+c—，

设t=cosx,则te[-1,1].

问题等价于g(t)=“2+儿+c—3对任意的q、t2e［-1,1］,都有历⑺-g(t2)\<4,

即9(t)max—g(t)min—4.

①当-b<-1时,即当b>1时,函数g(t)在上单调递增,

则g(t)max-g(t)min=9(1)-g(T)=(^+b+c-^-(^-b+c-^=2b<4,

解得b<2,此时,l<b<2；

②当—1<-bW0时，即当0<b<1时，

函数g(t)在［-1,一m上单调递减,在(-h1］上单调递增，

故g(t)min=g(")=+c-i,

g(t)max=max{g(-l),g⑴}=max^-b+c-^,^+b+c-+b+c-,

则有9(t)max-9(t)min=++C-［)=\b2+b<4,

可彳导£>2+2b—7<0,解彳导一1—<b<—1+2^2,止匕时,0<h<1；

③当0<-b<1时，即当一1<b<0时，

函数g(t)在［-1,一m上单调递减，在(-h1］上单调递增，

故g(t)min=g(-b)=-1h2+c-i,

9(t)max=max{g(-l),g(l)}=max［i-h+c-i^+h+c-^i-b+c-i,

则有9(t)max-9(t)min=(1-^+c_j)-+C_4)=2^--4*

可得力2—2b—7<0,解得1—2A/2<h<1+2A/2,此时)—1<&<0；

④当-b>1时，即当b<-1时，函物⑴在［-1,1］上单调递减，

则9(t)max一19(t)min=9(一D-9(X)=+=-2b<4,

解得b>—2,此时t—2<b<—1.

综上所述，实数b的取值范围是［-2,2］.

故答案为：(1)；；(2)[-2,2].

4

【点睛】方法点睛："动轴定区间"型二次函数最值的方法：

(1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

(2)根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端

点对应的函数值进行分析；

(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.

题型4sinx与cosx和差求最值

电划重点

利用sinx+cosx与sinxcosx的关系，通过换元可以进行代数式的化简

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=怒窝，将/(%)的图像向右平移;

个单位长度，得到g(x)的图像，则()

A-TT为/'(X)的一个周期

B.f(x)的值域为卜1,1]

C.g(x)的图像关于直线x=0对称

D.曲线y=八功在点(一，/(-习)处的切线斜率为日

【答案】B

【分析】由/(x+n)=-/(x)可判断A;令《=sinx+cosx,则y=表,求出值域可判断

B；由三角函数的平移变化求出g(x),由g(-x)=-g(x)可判断C;由导数的几何意义可判

断D.

【详解】对于A,/(x+n)=妥署=-/(x),故n不为f0)的一个周期，故A不正确；

对于B,令1=sinx+cosx=V2sin(x+Je[-V2,V2],且sinxcosx=,

所以原函数变为丫=备，当t=0时，y=0,当"0时，:施+。，

又卜+力22,所以:<-1,agi>1,所以-1<y<OaEO<y<1,

所以f⑺的值域为[-1,1],故B正确;

对于C,将/(》)的图像向右平就个单位长度，得到g(“)的图像，

则-sin(x-»cos("9__sinx

则9⑺sin(x-2)cos(x-2)+li*s2x'

又g(-x)=字受=-9W，故g(x)为奇函数，不是偶函数，所以g(x)的图像关于直线x=o

1——COSzX

不对称，故C不正确；

对于D,尸(久)=美鬻黑箸，所以f'(—9=2/，故D不正确；

故选：B.

cos2x+2sinxcos2x-2sin2xcosx.

【变式4-1]1.(2022•全国高三专题练习)函数“为=的值域

&cos(%+勺

为()

A.(-V2+1,V2+1)B.[-V2+1,V2+1)C.[-|,V2+1]D.[-3，鱼+1)

【答案】D

【分析】将原式化简为f(x)=cosx+sinx+2sinxcosx，再令t=cosx+sinxG(—V2,V2),

将/Xx)转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解值域.

22

【详解】解：/(%)cos2x+2sinxcosx-2sinxcosx

&cos(x+^)

cos2x—sin2x+2sinxcosx(cosx-sinx)

cosx-sinx

则/(x)=cosx+sinx+2sinxcosxfix工：+kn,kEZ,

令t=cosx+sinx=V2cos(%一：)£(-V2,V2),则2sin%cosK=t2-1,

则/(%)=/+t—1,tE(—V2,A/2),

当t=夜时，f(x)</(V2)=V22+V2-1=V2+1,

当t=时，/(x)min=f(~?=(-1)2+(-1)-1=-；«

故/(x)的值域为卜：，壶+1).

故选：D.

【点睛】本题二次型三角函数的最值问题考查换元法求函数值域，要注意新元的取值范围，

是中档题.

【变式4-1]2.(2023•辽宁•大连二十四中校联考模拟预测)已知函数"%)=sinx+cosx-

asinxcosx,aeR.

Q)当a=。时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若XG(0,n),关于x的方程/(%)=0有三个不等的实根，求a的取值范围.

【答案】Q)[-/十2时,声2对心eZ;

(2)(2V2,-Foo)

【分析】(1)当Q=0时，得到/(%)=或sin1+J)