2022-2023学年江西省萍乡市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省萍乡市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列说法正确的是（）

A.60°=IB.~•堂数学考试（120分钟）时针旋转60。

C.1弧度的角大于1。的角D.三角形内角必为第一或二象限的角

2.设a,0是两个不同平面，直线znua,直线nu/?,则下列结论正确的是（）

A.若m〃n,则a〃/?B.若m_L0,则m_Ln

C.若m〃/?,则?n〃nD.若zn_Ln,则a_L0

3.已知平面向量，与弓的夹角为%且同=1,则日在了方向上的投影数量是（）

A.?B.jC.颉D.~b

4.cos70。+cos50。—coslO。的值为（）

A.0B._?C4D.1

5.如图，平面四边形ABCD中=J,乙4DC=乎,48=5,

z4

CD=<7,AD=2,则四边形4BCD绕4。所在的直线旋转一周所

成几何体的表面积为（）

A.56TT+yj~2nB.56TT+2\/~2nC.55TT+y/~2n:D.55TT+2\/~2n

6.秋收起义纪念碑（图1）是萍乡市的标志性建筑，也是萍乡市民的日常打卡地.为测量秋收起

义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取4B两处作为测量点（如图2）,测得4B的距离为

6m,/.OAB=45°,/.ABO=105°,在B处测得纪念碑顶端C的仰角为75。，则秋收起义纪念

碑的高度0C约为（参考数据：y/~2«1.4.C-1.7）（）

图1图2

A.26mB.31mC.36mD.41m

7.已知偶函数f(x)满足f(%+2)=/(%),且当％6[0,1]时，/(%)=cos^x,则X6

[2023,2024]时，/(%)的解析式为()

A./(x)=sin^xB./(x)=sinnxC./(%)=sinZxD./(%)=cos^x

8.在△ABC中，cos2B+3cosQ4+C)—l=0,点P在边AC上，BP=1,BP上BC,则总+

*=()

DC

A.1B.2C.V-3D.2/3

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知复数z满足(1-。/=2~3。是虚数单位)，则下列关于复数z的结论正确的是()

A.\z\=>/~2

B.复数z的共辗复数为£=-l+i

C.复平面内表示复数z的点位于第三象限

D.复数z是方程/-2x+2=0的一个根

10.己知正六边形4BCOEF的边长为1,下列说法正确的是()

A.向量前与屁可以作为平面内一组基底

B.AF+BC-DE=AC

C.AB-AE=0

D.|前+衲=9

11.关于函数f(x)=?篝，下列说法正确的是()

A.该函数的最小正周期为兀B.该函数在区间(0,1)上单调递增

C.该函数的图象关于点片,1)对称D.若f(x)=0,则x=0

12.已知三棱锥4-BCD的各顶点都在球。上，点M,N分别是4C,CD的中点,481平面BCD,

CD=2AB=2BC=2,AD=y/~6,则下列说法正确的是()

A.三棱锥力-BC。的四个面均为直角三角形

B.球。的表面积为67r

C.直线BD与平面4BC所成角的正切值是:

D.点。到平面BMN的距离是?

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知i是虚数单位，若复数z满足士=1-3则复数z的虚部为.

z-l

14.若以函数/(x)=Asin^x+w)(43>0)图象上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构

成一个菱形，则43=.

15.已知a,b,c分别为△力BC三个内角4,B,C的对边，若b=4+2C-c，cosB=

tanC=­则a=.

16.如图正三棱锥4-BCD底面边长为1,侧棱长为2,E,F分

另IJ为力C,AD上的动点，则截面ABEF周长的最小值

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量日=(1,6+k),b=(-7,fc).

(1)若k=0,试判断向量另与*一B是否垂直；

(2)若向量日与B的夹角为钝角，求实数k的取值范围.

18.(本小题12.0分)

如图，在正方体ABCD-4避1(71。1中，点E,F分别是棱BBi，的中点.

(1)求证：47/平面为GE；

(2)求异面直线41c与AF所成角的余弦值.

19.(本小题12.0分)

在A4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。是4B的中点，CD=2,记△ABC的面

积为S.

(1)从下面的条件①②③中选择一个作为已知条件，求角C；

(2)在(1)的条件下，求S的最大值.

①b(ccos4+acosC)=c2-a2+ab；

②V3方质+2S=0;

zxxtanC2a-b

®tanB=b*

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.(本小题12。分)

在如图所示的空间儿何体中，两等边三角形△4CD与△ABC互相垂直，AC=BE=2,DE〃平

面ABC,且点E在平面ABC内的射影落在乙4BC的平分线上.

(1)求证：DE_L平面ACO；

(2)求二面角。-AC-E的正切值.

AB

21.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=sin(3x+s),(3>0,切<今的图象在半个周期内过做0,?)，B船,1),

飞，?)，。给,T)四点中的三点•

(1)求函数f(x)解析式；

(2)在锐角△力BC中，a,b,c分别是内角Z,B,C所对的边，若/(今=?,c=2,求b的取

值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=sinx+cosx—asinxcosx,a&R.

(1)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若x6(0,兀)，关于％的方程f(x)=0有三个不等的实根，求a的取值范围.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：4因为60。冶,故A错误;

B：一堂数学考试（120分钟）时针旋转的角度为-60。，故8错误；

C：1弧度=（产）。*57。18',故C正确；

D：三角形的内角为锐角或钝角或直角，直角不在象限内，故。错误.

故选：C.

AC：利用弧度与角度的互化即可判断；B：根据角的定义即可判断；D：根据三角形内角的定义

即可判断.

本题考查了象限角，轴线角的定义，涉及到弧度与角度的互化，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：a,是两个不同平面，直线?nua,直线nu0,

若m〃九，则。〃£或a,0相交,故A错误；

由TIU?,ml/?,则m1九，故3正确；

若m〃/?,则m〃九或Tn,九异面，故。错误；

若mJ.几，则0〃0或a,夕相交，故。错误.

故选：B.

由面面的位置关系可判断4D；由线面垂直的性质可判断8；由线面平行的性质可判断C.

本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：已知平面向量G与万的夹角为且⑷=1,

则日在石方向上的投影数量是|a|cos^=1x殍=殍.

故选:A.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的投影的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的投影的运算，属基础题.

4.【答案】A

【解析】解：cos700+cos50°—coslO°=cos50°+cos(40°+30°)—cos(40°—30°)=cos500+

cos40°cos30°—sin400sin30°—cos40°cos30°—sin40°sin30°=cos50°—sin40°=0.

故选：A.

直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：四边形A8CD绕40旋转一周所成的几何体,

如图所示:

BC=7AE2+{AB-EC)2=V(1+2)2+(5-I)2

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面

=nAB2+兀(CE+AB)BC+nCE-DC

=兀♦52+7r(l+5)X5+TTX1X

=(55+。)兀.

故选：C.

旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧

面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积.

本题考查了旋转体的表面积计算问题，也考查了转化思想与计算能力，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：在AAOB中，

..4B_0B

•sin/.AOBsxnLBAO1

・•・.=.°，6,解得OB=6\Z-2,

sin30sin45

在RMBOC中，

tanZ-BCO=器，

•••tanl5°=解得OC=6yJ-2(2+V_3)®31m.

故选：B.

利用正弦定理和直角三角形正切函数即可求解.

本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：设xe[-1,0],则-xG[0,1],

则/(一尤)=cos(-^x)=cos^x,

又f(x)为偶函数,

则/(X)=f(~x)=cos^x,xe[-1,0],

依题意，/(X)的周期为2,

设xe[2023,2024],则%-2024e[-1,0],

则f(x)=f(x-2024)=cos碎(x-2024)]=cos(^x-1012TT)=cos^x.xe[2023,2024].

故选：D.

先利用偶函数的性质可知xG[-1,0]时的解析式，再根据函数的周期性可得x6[2023,2024]时的解

析式.

本题考查函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：cos28+3cos(4+C)—1=0即为2cos2鸟一3cos8—'

2=。，

化为(2cosB+l)(cosB-2)=0,力

解得cosB=—

即内角8=120°.

由SMBC=S&ABP+S^PBC'BP=1，

111

可得扣B・BC-sinl20°=-BC+^AB-BP・s讥30。,

即有号4B-BC=BC+^AB^

所以嘉+3

/IDDC

故选：c.

由二倍角的余弦公式，解方程求得cosB,B,再由S-BC=SMBP+SAPBC，结合三角形的面积公

式，化解可得所求值.

本题考查三角形的面积公式，以及二倍角的余弦公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：（1—）Z=2T3,

赃=言=溜捣=li

对于4|z|=yjI2+(—l)2=V-2>故A正确;

对于B,z=l+i,故B错误;

对于C,复平面内表示复数z的点位于第四象限，故C错误;

对于(1-i)2—2(1—i)+2=-2i—2+2i+2=0,

故复数z是方程/—2x+2=0的一个根，故。正确.

故选：AD.

根据已知条件，结合复数的四则运算，先求出z,即可依次求解.

本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意，如图正六边形力BCDEF,

依次分析选项:

对于A,向量而与反不共线，可以作为平面内一组基底，4正

确;

对于B,AF+BC-^E=AF+7E+EDB错误;

对于c,AB-AE=AB-(AF+FE)=AB-AF+AB-BC=I2x

cosl20°+12cos60°=0,C正确;

对于。，前+m=近+而+^?+荏=配+编+2森=3而，则|丽+乔|=3,。错误.

故选：AC.

根据题意，作出正六边形4BCDEF,由向量的线性运算以及数量积的计算公式依次分析选项，综

合可得答案.

本题考查平面向量基本定理，涉及向量模的计算，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于4,由于y=tanx的最小正周期为兀，

而/(乃并不能再对角进行化简，

所以其最小正周期为兀，4正确；

2

对于B,当xG(0,1),tanx*0>所以/'(%)=i,

■+1

由于y=tanx在(0,1)上单调递增且为正数，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，8正确；

37r

对于C,/(X)+唔-X)=+2tan(针=警上+=2,

)、'八2，1+tanxl+tan(等一%)1+tanxtanx+1

可见该函数的图象关于点(),1)对称，c正确；

对于D,由于f(n)=0,显然。错误.

故选：ABC.

结合函数旷=tanx的周期性和增减性进行分析.

本题主要考查正切函数的的性质，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：选项4,由AB_L平面BCD,可得AABC、△4BD为直角三角形,

AB=1,BC=1,AD=R,由勾股定理得4C=q,BD=口,

又•：BC=1,CD=2,贝IBC?+。。2=8。2,AC2+CD2=AD2t

.MDBC、AaCD为直角三角形，故A正确；

选项8,三棱锥A-BCD可看作由长、宽、高分别为2、1、1的长方体截得，

。为4D的中点，球。的直径为V22+F+F=/石,

故球。的表面积S=4兀x(?)2=6兀，故B正确；

选项C,直线BD与平面4BC所成角的平面角为WBC,

tann0BC=^=2,所以C不正确；

DC

选项。，在Rt/iABC中，BM=g4C=殍，

△4C。中，MN=^40=?，又BN=0,

，△BMN为直角二角形,SABMN=：x号x号=、^，

设点。到平面BMN的距离为伍

由于。到平面BMN的距离与C到平面BMN的距离相等

•••^O-BMN~^C-BNM~^M-BCN9

111

则§SABCNx54B=-S«BMNxh.,

则3xgx1x1xTgx-xh，解得九=一，故O正确.

故选：ABD.

根据线面垂直的性质和勾股定理的逆定理可得△ABC、&ABD、&DBC、△4CD为直角三角形，

进而判断4根据三棱锥外接球的结构求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可判断B；结合

线面角的定义即可判断C；根据三棱锥等体积法即可求出点。到平面BMN的距离，可判断D.

本题考查空间中点、线、面的位置关系，球的表面积公式，线面角的定义及等体积法求点到平面

的距离，属中档题.

13.【答案】1

【解析】解：型=1,

Z-1

则z+i=(z-i)(l-i)=z—zt-i—1,

故zi=-1—2i,即z==—2+3其虚部为1.

i

故答案为：1.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

14.【答案】4

【解析】解：令3x+<p=W+kTi,kez,则x=lz"段，k&Z,

N0)

n357r

不妨取相邻四个最值所在的点分别为8(誓,4)，以空2-4)，D(Z=,4)，如图,

•••以4,B,C,。为顶点的四边形恰好构成一个菱形，

MB=3；♦J(24)2+f="."2+*=警

…会.

故答案为：?兀.

作出部分图象，借助图象的性质可得4,3的等量关系式，求解即可.

本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题.

15.【答案】2

【解析】解：,•,在△4BC中，cosB=ptanC=-7.

4

：•sinB=V1—cos2F=—，

4cosC

vsin2C+cos2C=1,

・•・sinC<T4

4

设△ABC的外接圆半径为R,

则b=2RsinB=2Rx?=?R,

c=2RsinC=2R

•・•b=4+2A/~~2—c，

.・・？/?=4+2q-^^R，

解得：”罕

..zr-».z-«\c门、c—/V-2>,,3V14V14

vsinA=sin(B+C)=smBcosC+cosBsinC=——x(———)+-x——=——

、)4v47448

.04^nra\Oi4

**•CL=2.RSITIA=2x--—x―--=n2•

7o

故答案为:2.

由已知条件可求出sbiB,sinC,sinA,由正弦定理与△力BC的外接圆半径R的关系求出R,再由正

弦定理即可求a.

本题考查运用正弦定理和三角恒变换解三角形，属于中档题.

16•【答案】弓

【解析】解：把正三棱锥A-BCD的侧面展开,

两点间的连接线8B'即是截面周长的最小值.

vBB'//CD,

•MADB'SAB'FD,

.DF_DB'

‘~DB'=而'

其中AD=2,DB'=1.

1

・・.DF=3

又&AEFSXACD,

FTF13

-=-14=F-2-

C-DD2,24-2-2-

3

-

EF4-

截面周长最小值是B8'=2+'=4，E、F两点分别满足4E=4F=*

442

故答案为：号，

4

首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线BB'即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可.

本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题.注意等价转化思想的灵活运用.

17.【答案】解:⑴若％=0,则有=(1,6),b=(-7,0)，故24—坂=2(1,6)—(—7,0)=(9,12)，

K.(2a-K)=-7X9+0X12=-630.所以，当k=0时，向量方与2,一族不垂直；

(2)•••向量2与B的夹角为钝角，a.h<0,且益了不共线，

"k+7(6+k),0'解得-7<k<1，且kK-彳，

所以，向量日与各的夹角为钝角时，实数k的取值范围是(一7,—4)U(—日,1).

【解析】(l)k=0时可得出日石的坐标，然后求出2a-坂的坐标，进行数量积的坐标运算判断小

(2五一3)是否为0，为0时垂直，否则不垂直；

(2)进行数量积的坐标运算，求出方.5=卜2+61一7,根据旨与3的夹角为钝角得出一7<k<l,

并且江与另反向时得出人=-生，然后即可求出k的取值范围.

本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量数量积的计算公

式，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.

18.【答案】(1)证明：取CG的中点为G,连接BG,FG,

由力B//CD,CD//FG,可得4B//FG,

又4B=CD,CD=GF,可得4B=GF,

即有四边形4BGF为平行四边形，可得4/7/BG.

又BE=GG，BE//GClf可得四边形BGQE为平行四边形,

即有8G〃GE,

则AF〃GE,

又4FC面&GE,GEu面&GE,

则4/7/平面4C[E；

(2)取41cl中点为0,连接OG,OB,

•••0,G分别为4G，CG的中点，•••OG〃力也，

由(1)知BG〃4F,NBG。为异面直线”与aC所成的角或其补角,

设正方体的棱长为2a,贝iJOG=%C=Ca,BG=屋*OB=<6a，

“八OG2+BG2-OB2(门炉+心炉-⑺炉<15

UGO=2.0G而=-2xfxF-=十,

••・异面直线4F与4C所成角的余弦值为誉.

【解析】(1)由平行四边形的判定和性质，以及线面平行的判定定理，可得证明：

(2)由异面直线所成角的定义和余弦定理，计算可得所求值.

本题考查线面平行的判定和异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于

中档题.

19.【答案】解:(1)若选①:由正弦定理得，sinB(sinCcosA+sinAcosC)=sin2C—sin2?1+

sinAsinB,

则siMB=sin2c—sin2A+sinAsinB,

由正弦定理化简得，b2=c2-a2-Vab,整理得M+加一c?=Q/J,

由余弦定理得a?+b2—c2=2abeosC,

可得cosC=g,而C£(0,7T),

解得C=2；

若选②：根据题意得，3ab[-cose]+absinC=0,

整理可得sin。—yT^cosC=0,即£。九。=y/~3

而ce(o,TT),

解得C=f；

若选③：由正弦定理得,sinCcosB_2sinA—sinB

cosCsinBsinB

AsinCcosB=2sinAcosC—sinBcosC,艮|Jsin(B+C)=2sinAcosC,

即=2sinAcosCf三角形中W0,

可得cosC=",而CW(0,7T),

解得C=I；

(2)：•点。是4B中点，.•.丽=；(方+k),

两边平方可得而2=1(C42+CB2+2CX-CB)=i(h2+a2+2abeosC)=4,

/.16=a24-fo2+ah>2ab+ab=3ab,当且仅当a=b="R时等号成立，这时ab=当

3J

mil1I.,4x厂5

贝！JSc=-absinCr=——ab<，

243

所以，在(1)的条件下，面积S的最大值为容.

【解析】(1)若选①：两次利用正弦定理，再由余弦定理可得C角的余弦值，再由C角的范围，可

得C角的大小；若选②，由向量的运算性质及三角形的面积公式，可得C角的正切值，再由C角的

范围，可得C角的大小；若选③正弦化弦整理可得C角的余弦值，再由C角的范围，可得C角的大

小；

(2)由。是中点，可得向量而的表达式，平方后由均值不等可式得ab的最大值，进而求出三角形面

积最大值.

本题考查正弦定理，余弦定理，均值不等式的应用，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：如图，取4C中点。，连接BO,DO,EO,

设点尸是点E在平面ABC上的射影，•••△ABC为等边三角形，•••B。

为乙4BC的平分线，

则点F在BO上，连接EF,则EF_L平面ABC,

•.•平面4c0J■平面4BC,平面4coe平面48c=4C,DO1AC,

DOu平面/CD,

则D。1平面4BC,D0//EF,则DEB。为平面图形，

•••DE〃平面4BC,OEu平面DEB。，平面DEB。n平面ABC=B。，:.BO//DE,

•••平面ACD_L平面4BC,平面4con平面ABC=AC,BOu平面ABC,BO1AC,

•••BOI,平面4CD,•••£)£■1平面ACD,

(2)解：vBO1AC,DOLAC,DOCB。=0,AC_L平面BOD,

•••EOu平面BOD,.-.AC1EO,二400E为二面角D-AC-E的平面角，

•••EF_L平面ABC,0。J_平面ABC,AEF//DO,vDE//FO,DE1DO,

.•・四边形DEFO为矩形，DO=EF=C，又BE=2,根据勾股定理，BF=1,OF=DE=C-1，

则tan/DOE=华竦=1一?，故二面角。一力。一E的正切值为1一孕.

V333

【解析】(1)证明B。，平面4CC即可；(2)ND0E为二面角。-4C-E的平面角，在直角三角形OOE

中，可得正切值.

本题考查二面角，考查面面垂直，线面垂直，属于中档题.

21.【答案】解：(1)B,D两点关于x轴对称，4D,C组合的图象大于半个周期，故函数图象过4,

B,C三点，

(.<3

sin(p=—

―7T+(p=3+2kn,kEZ7r

将A,B,C的坐标代入函数可得：•122,解得3=2,<P=g

sin+</?)=—

It</TT

<-2<<P<2

所以/(x)=sin(2x+1)；

(2)由⑴可得胫)=sin(A+E)=?，在锐角△4BC中，可