中考数学反比例函数专项练习

反比例函数

课前检测

点（。、（）是反比例函数图象上的两点，则】、丫的大小关系是

1.A1,yB3,y2y=2y2（）

X

不能确定

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<y2D.

.如图，在同一平面直角坐标系中，直线】（）与双曲线丫=丝（）相交于

2y=kxkiWOk2^0A,

x

B两点，已知点A的坐标为（1,2）,则点B的坐标为（）

A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2)

3.如图，P（m,m）是反比例函数y=±在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边aPAB,

X

使AB落在x轴上，则APOB的面积为（）

1

A.B

23反呼.邛

4.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC

X

的两边AB,BC分别相交于M,N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN

的最小值是()

5.如图，点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=&上，点C,D,分别是x轴，y轴上的动点,

£

则四边形ABCD周长的最小值为()

A.6V5c.2\Z10+2A/2D.8\/2

D知识梳理

一、反比例函数的概念

1.反比例函数的概念

k

一般地，函数y=-(%是常数，原0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成y="一的

x

2

形式.自变量X的取值范围是中0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.

k

2.反比例函数y=上（%是常数，修0）中工，y的取值范围

x

反比例函数y=-（大是常数，原0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值

x

范围也是非零实数.

二、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限.由

于反比例函数中自变量/0,函数）¥0,所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支

无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.学！¥科网

2.反比例函数的性质

当Q0时、，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

当&<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，『随x的增大而增大.

3.反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线产x和产-x,对称中心为原点.

4.注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点.

k

（2）随着㈤的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y=勺中存0

x

且归0.

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情

况.当&>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当Q0时，y随x

的增大而减小.同样，当时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

三、反比例函数解析式的确定

1.待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y=X中，只有一个待定系数，因此只需要一

X

对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出女的值，从而确定其解析式.

2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

3

（1）设反比例函数解析式为y=-（M））；

x

（2）把已知一对x,y的值代入解析式，得到一个关于待定系数%的方程;

（3）解这个方程求出待定系数k

（4）将所求得的待定系数/的值代回所设的函数解析式.

四、反比例函数中我的几何意义

k

如下图，过反比例函数y=—（原0）图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PM则所得的矩形PMON

x

k

的面积S=P例•PN=|），|•凶=|xy|.♦..y=_,：.xy=k,S=|林

x

五、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量

的取值范围.

d考点突破

考向一反比例函数的定义

1.反比例函数的表达式中，等号左边是函数值》等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数A,

分母不能是多项式，只能是"的一次单项式.

2.反比例函数的一般形式的结构特征：①厚0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1.

典例引领

4

典例1已知函数产（"-2）/儿5是反比例函数，则”的值为

A.2B.-2C.2或—2D.任意实数

变式拓展

x21

1.下列函数：①丁二一；②>二一；③）二——；④y=2%T中，是反比例函数的有

2x2x

A.1个B.2个

C.3个D.4个

考向二反比例函数的图象和性质

当Q0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y

随x的增大而减小.

当R0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y

随x的增大而增大.

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两

个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

典例引领

k

典例2如图，反比例函数产一的图象可能是

x

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

k

典例4已知点A（1,m},B（2,〃）在反比例函数》二一（z<0）的图象上，则

x

A.m<n<0B.n<m<0

5

C.m>n>0D.n>m>0

变式拓展

4

2.对于函数>=一，下列说法错误的是

x

A.这个函数的图象位于第一、第三象限

B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C.当x>0时，y随x的增大而增大

D.当x<0时，y随x的增大而减小

—2

3.已知反比例函数>=-----当x>0时，y随x的增大而增大，则小的取值范围是

x

A.m<2B.m>2

C.m<2D.ni>2

如图是三个反比例函数产2,

4.

X

A.k\>k,2>ky

C.k»k»ki

考向三反比例函数解析式的确定

k

1.反比例函数的解析式y=-（后0）中，只有一个待定系数％,确定了左值，也就确定了反比例函数,

x

因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x,y的对应值或图象上一个点的坐标，代入y=4中

x

即可.

2.确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于

点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上.（2）把点的横、纵坐标

相乘，若乘积等于左，则点在图象上，若乘积不等于左,则点不在图象上.

6

典例引领

典例5若反比例函数的图象经过点(3,-2),则该反比例函数的表达式为

66〃33

A.y=-B.y=—C.y=-D.y=----

xxx"x

典例6如图，某反比例函数的图象过点M(-2,1),则此反比例函数表达式为

2211

A.y=—B.y=--C.y=-—D.y=------

xx2X2x

、典例7已知点(3,-4)在反比例函数y=«的图象上,

.则下列各点也在该反比例函数图象上的是

X

A.(3,4)B.(-23,-4)

C.(-2,6)D.(2,,6)

变式拓展

5.已知反比例函数y=-9,下列各点中，在其图象上的有

X

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(2,-3)D.(L.6)

6.点4为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5,则x轴的距离为3,若点A在第二象限内，则这

个函数的解析式为

1212

A.y=—B.y=--

XX

11

C.D-尸一

12x12x

7.已知y与x成反比例，当x=3时，尸4,那么当产3时,X的值为

7

A.4B.-4

C.3D.-3

考向四反比例函数中々的几何意义

三角形的面积与〃的关系

(1)因为反比例函数y=K中的*有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上

X

绝对值符号.

(2)若三角形的面积为工|川，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过

2

此点向坐标轴所作垂线的垂足.

典例引领

典例8如图，点4为函数y=K(x>0)图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点8,连接0A,

X

如果△A03的面积为2,那么k的值为

A.1B.2

C.3D.4

8

典例9如图，已知点尸为反比例函数y=-9上一点，过点户向坐标轴引垂线，垂足分别为M,N,那么

X

四边形MONP的面积为

C.6D.12

变式拓展

4

8.如图，A、B两点在双曲线y=—的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1,则+S2二

x

C.5D.4

2

9.如图，在RtZiABO中，NAO3=90。，且03=240,点A在反比例函数y二一-的图象上，点3在反比例

x

m

函数y=—的图象上，则〃2是

x

A.4B.6C.-8D.8

10.如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在X轴的正半轴上，顶点C在函数产七(x>0)的图

X

象上运动，且AC=3C,则△A3C的面积大小变化情况是

9

A.一直不变B.先增大后减小

C.先减小后增大D.先增大后不变

考向五反比例函数与一次函数的综合

反比例函数与一次函数综合的主要题型：

（1）利用％值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；

（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；

（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式：

（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.

解题时.，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题.

典例引领

kb

典例10反比例函数尸一的图象如图所示，则一次函数产质+6（原0）的图象大致是

x

典例11在同一平面直角坐标系中，函数＞=-,与函数尸的图象交点个数是

X

10

A.0个B.1个

C.2个D.3个

典例12已知一次函数y尸丘+b与反比例函数—在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当yi<»时，x

x

的取值范围是

A.x<T或0a<3

C.-l<x<0D.x>3

变式拓展

11.已知反比例函数尸&(原0),当x>0时，y随X的增大而增大，那么一次函数产履-%的图象经过

x

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

12.如图，RtZ\AB。的顶点A是双曲线>="与直线y=-x-(Z+l)在第三纷艮的交点，4BL轴于点B

X

n3

2

(1)求这两个函数的解析式：

(2)求直线与双曲线的两个交点A,C的坐标；

(3)求△AOC的面积.

11

考向六反比例函数的应用

用反比例函数解决实际问题的步骤

(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

(2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；

(3)歹IJ：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；

(4)写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；

(5)解：用函数解析式去解决实际问题.学科@#网

典例引领

典例13某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了人员和设备安全迅速地通过这片湿地,

他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道，己知当压力不变时，木板对地面的

压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)请直接写出p与S之间的关系式和自变量5的取值范围：

(2)当木板面积为0.2m?时，压强是多少？

变式拓展

13.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光明且温度为18。＜3条件下生长

最快的新品种.如图，是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y3C)随时间x(小时)

变化的函数图象，其中BC段是双曲线y=K的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

x

(1)恒温系统这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？

(2)求一值;

(3)当415时，大棚内的温度约为多少度？

12

达标测评

1•点4(xi,yi)、B(X2,>2)在函数产一的图象上，若0<灯5,则巾、”的大小关系是

x

A.B.y\=yi

C.y\<yiD.y、丁2的大小关系不确定

L一3

2.若反比例函数尸一的图象在二、四象限，则攵的取值范围是

x

A.fc>3B.k>0C.k<3D.k<0

3.若点A(2,3)、B(a-1,-2)都在函数产人的图象上，则a的值是

X

A.3B.2C.-3D.-2

19

4.如图，两个反比例函数丁=一和y=一-的图象分别是乙和血设点尸在八上，PC_Lx轴，垂足为G

xx

交/2于点A,PZ)_Ly轴，垂足为。，交，2于点3,则△PA8的面积为

2

5.一次函数y尸Mx+6和反比例函数”=幺(由•攵29)的图象如图所示，若则x的取值范围是

x

A.-2a<0或A>1B.-2<x<l

C.xv—2或x>lD.x<—2或0<x<l

13

9

6.如图，P(〃?，〃?)是反比例函数产乙在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△%以使48落

X

在X轴上，则△POB的面积为

C9+1273D9+373

B.3也

42

7.如图，反比例函数尸&(x<0)与一次函数产x+4的图象交于A、8两点的横坐标分别为-3,-1,则关

X

于X的不等式人<x+4(x<0)的解集为

X

A.x<-3B.-3<x<-l

C.-l<x<0D.x<-3或-l<x〈O

8.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形。ABC的边。小。。分别落在x、y轴上，点B坐标为(6,4),

反比例函数尸9的图象与AB边交于点O,与BC边交于点E,连接。E,将△8OE沿OE翻折至△FOE

X

处，点8恰好落在正比例函数产区图象上，则攵的值是

14

y

2111

A.B.C.D.

52124

k

9.如图，直线尸c与双曲线y=-(A>0)的一个交点为A,且04=2,则A的值为

X

23

10.如图，直线分别与反比例函数>=--和y=—的图象交于点A和点B,与y轴交于点尸，且P为线段

xx

A5的中点，作轴于点C,轴交于点O,则四边形A8CD的面积是.

11.如图，正方形A3。的边长为2,边在x轴负半轴上，反比例函数产七(x<0)的图象经过点B和

X

CO边中点区则左的值为.学科——网

15

12.如图，已知点尸(6,3),过点尸作PM_Lx轴于点M,PN_Ly轴于点N,反比例函数产一的图象交

X

PM于点A,交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12,则仁

13.如图，已知反比例函数y=&与一次函数y=x+6的图象在第一象限相交于点A(1,d+4).

x

(1)试确定这两个函数的表达式;

(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的

值的x的取值范围.

16

14.如图，设反比例函数的解析式为y=—（抄0）.

x

（1）若该反比例函数与正比例函数尸2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求女的值；

（2）若该反比例函数与过点M（-2,0）的直线/：产fcv+匕的图象交于A,B两点，如图所示，当△ABO

的面积为3时，求直线/的解析式.

3

15.一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中

AB,BC为线段，CO为双曲线的一部分）.

（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式：

（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家

庭作业的高效时间是多少分钟？

—实战演练

1.点A（-2,5）在反比例函数尸乙（原0）的图象上，则左的值是

X

17

A.10B.5

2.如图，在同一平面直角坐标系中,,反比例函数产：与一次函数尸依-1(%为常数，且Q0)的图象可能

X

是

VA

中“伞

3

3.若点A(-1,yi),B(1,>2),C(3,>3)在反比例函数产--的图象上，则yi,”，券的大小关系是

X

A.>1勺2勺3B.>2勺3勺1

C.y3<yi<y\D.>2<%勺3

3

4.反比例函数尸-二(x<0)如图所示,则矩形OAP3的面积是

X

♦>>,

AO\~x

A.3B.-3

C.2D.-2

22

它的一个顶点C在反比例函