超几何分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册++

第七章

随机变量及其分布超几何分布学习目标复习旧知

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

1、二项分布：如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).2.二项分布的均值与方差：若X~B(n,p)，则有情境导学问题1

已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

显然，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率均为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4,0.08).情境导学问题1

已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？概念生成一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为超几何分布：其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．注意：超几何分布模型是一种不放回抽样.小试牛刀1.判断下列随机变量是否服从超几何分布，如果服从，其中的N,M，n，k的取值分别是什么？（1）某射击选手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X；（2）盒中4个白球和3个黑球，不放回地摸取3个球，摸到黑球的个数X；（3）袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，每次不放回地从中摸出一个球，X是首次摸出黑球时的总次数；（4）从4名男演员和3名女演员中选4人，其中女演员的人数X；（5）10个村庄中有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选7个村庄中交通不方便的村庄个数；小试牛刀新知探究探究：

服从超几何分布的随机变量的均值是什么？令

，则p是N件产品的____________,

而

是抽取的n件产品的_______________,

因而可猜想：次品率次品率典例剖析例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.典例剖析例5一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有一件不合格的概率.归纳提升求超几何分布的分布列的策略：1、判断随机变量是否服从超几何分布；2、根据已知条件，确定M,N,n对应的值；3、代入超几何分布的概率公式，求出结果：（1）将总体分为两类，各有M件和N-M件；（2）分别从两类元素中取个体，利用组合数求基本事件数：（3）利用概率公式典例剖析例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)

分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(1)

对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B(20,0.4)，X的分布列为对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为典例剖析例6

(2)

分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率.典例剖析样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表计算得因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(图7.4-4)看，超几何分布更集中在均值附近.归纳总结二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.巩固练习1、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是____________.2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，恰有2名男生的概率为________（用组合数表示）．巩固练习巩固练习4.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．课堂小结注意：1．超几何分布的总体里只有两类物品．2．超几何分布的模型是不放回抽样