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文档简介
重庆一中2023-2024学年中考联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是()A.2 B.-2 C.4 D.-42.如图,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,交BC于点E,若DE=2,OE=3,则tan∠ACB·tan∠ABC=()A.2 B.3 C.4 D.53.若点A(1+m,1﹣n)与点B(﹣3,2)关于y轴对称,则m+n的值是()A.﹣5B.﹣3C.3D.14.如图,已知AB和CD是⊙O的两条等弦.OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为点M、N,BA、DC的延长线交于点P,联结OP.下列四个说法中:①;②OM=ON;③PA=PC;④∠BPO=∠DPO,正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.湿地旅游爱好者小明了解到鄂东南市水资源总量为42.4亿立方米,其中42.4亿用科学记数法可表示为()A.42.4×109 B.4.24×108 C.4.24×109 D.0.424×1086.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a﹣b,x﹣y,x+y,a+b,x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美,现将(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱美 B.宜晶游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌7.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点,如图2,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动,当它第一次回到起始位置时,这个图形在运动中扫过区域面积是()A.18π B.27π C.π D.45π8.如图1,点P从△ABC的顶点A出发,沿A﹣B﹣C匀速运动,到点C停止运动.点P运动时,线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示,其中D为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是()A.10 B.12 C.20 D.249.如图,在Rt△ABC中,∠B=90º,AB=6,BC=8,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE的最小值是(
)A.4 B.6 C.8 D.1010.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为A.6 B.8 C.10 D.1211.下列各式中正确的是()A.9=±3B.(-3)2=﹣3C.3912.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为()A.30° B.50° C.60° D.70°二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=,那么向量用向量、表示为_____.14.若4a+3b=1,则8a+6b-3的值为______.15.如图,已知在平行四边形ABCD中,E是边AB的中点,F在边AD上,且AF:FD=2:1,如果=,=,那么=_____.16.函数y=的自变量x的取值范围为____________.17.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2=_____°.18.在中,若,则的度数是______.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,在正方形中,点是对角线上一个动点(不与点重合),连接过点作,交直线于点.作交直线于点,连接.(1)由题意易知,,观察图,请猜想另外两组全等的三角形;;(2)求证:四边形是平行四边形;(3)已知,的面积是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.20.(6分)王老师对试卷讲评课中九年级学生参与的深度与广度进行评价调查,每位学生最终评价结果为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项中的一项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:(1)在这次评价中,一共抽查了
名学生;(2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在扇形的圆心角度数为
度;(3)请将频数分布直方图补充完整;(4)如果全市九年级学生有8000名,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的九年级学生约有多少人?21.(6分)两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动,凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次.小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表(如图)奖金金额获奖人数20元15元10元5元商家甲超市5101520乙超市232025(1)在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是,在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是;(2)请你补全统计图1;(3)请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元?(4)图2是甲超市的摇奖转盘,黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元,如果你购物消费了100元后,参加一次摇奖,那么你获得奖金10元的概率是多少?22.(8分)如图1,抛物线y1=ax1﹣x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y1.(1)求抛物线y1的解析式;(1)如图1,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q,点Q关于直线l的对称点为R,若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.23.(8分)在汕头市中小学标准化建设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经过市场考察得知,电子白板的价格是电脑的3倍,购买5台电脑和10台电子白板需要17.5万元,求每台电脑、每台电子白板各多少万元?24.(10分)某农场急需铵肥8吨,在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B,A公司有铵肥3吨,每吨售价750元;B公司有铵肥7吨,每吨售价700元,汽车每千米的运输费用b(单位:元/千米)与运输重量a(单位:吨)的关系如图所示.(1)根据图象求出b关于a的函数解析式(包括自变量的取值范围);(2)若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍,农场到A公司的路程为m千米,设农场从A公司购买x吨铵肥,购买8吨铵肥的总费用为y元(总费用=购买铵肥费用+运输费用),求出y关于x的函数解析式(m为常数),并向农场建议总费用最低的购买方案.25.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线,交AC边于点E,交AB边的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若∠F=30°,BF=3,求弧AD的长.26.(12分)如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为1.当m=1,n=20时.①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.27.(12分)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE,求证:∠DAE=∠ECD.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、C【解析】
对于一元二次方程a+bx+c=0,当Δ=-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.即16-4k=0,解得:k=4.考点:一元二次方程根的判别式2、C【解析】
如图(见解析),连接BD、CD,根据圆周角定理可得,再根据相似三角形的判定定理可得,然后由相似三角形的性质可得,同理可得;又根据圆周角定理可得,再根据正切的定义可得,然后求两个正切值之积即可得出答案.【详解】如图,连接BD、CD在和中,同理可得:,即为⊙O的直径故选:C.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质、正切函数值等知识点,通过作辅助线,结合圆周角定理得出相似三角形是解题关键.3、D【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,据此求出m、n的值,代入计算可得.【详解】∵点A(1+m,1﹣n)与点B(﹣3,2)关于y轴对称,∴1+m=3、1﹣n=2,解得:m=2、n=﹣1,所以m+n=2﹣1=1,故选D.【点睛】本题考查了关于y轴对称的点,熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数,纵坐标不变是解题的关键.4、D【解析】如图连接OB、OD;∵AB=CD,∴=,故①正确∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AM=MB,CN=ND,∴BM=DN,∵OB=OD,∴Rt△OMB≌Rt△OND,∴OM=ON,故②正确,∵OP=OP,∴Rt△OPM≌Rt△OPN,∴PM=PN,∠OPB=∠OPD,故④正确,∵AM=CN,∴PA=PC,故③正确,故选D.5、C【解析】
科学记数法的表示形式为的形式,其中为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,是正数;当原数的绝对值<1时,是负数.【详解】42.4亿=4240000000,用科学记数法表示为:4.24×1.故选C.【点睛】考查科学记数法,掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.6、C【解析】试题分析:(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2=(x2﹣y2)(a2﹣b2)=(x﹣y)(x+y)(a﹣b)(a+b),因为x﹣y,x+y,a+b,a﹣b四个代数式分别对应爱、我,宜,昌,所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”,故答案选C.考点:因式分解.7、B【解析】
先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.【详解】如图1中,∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由题意知,AB⊥DE,AG⊥AF,
∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;故选B.【点睛】本题考查轨迹,弧长公式,莱洛三角形的周长,矩形,扇形面积公式,解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形.8、B【解析】过点A作AM⊥BC于点M,由题意可知当点P运动到点M时,AP最小,此时长为4,观察图象可知AB=AC=5,∴BM==3,∴BC=2BM=6,∴S△ABC==12,故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据已知和图象能确定出AB、AC的长,以及点P运动到与BC垂直时最短是解题的关键.9、B【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小,根据三角形中位线定理即可求解.【详解】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小。∵OD⊥BC,BC⊥AB,∴OD∥AB,又∵OC=OA,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AB=3,∴DE=2OD=6.故选:B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是利用三角形中位线定理进行求解.10、C【解析】
连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.【详解】连接AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16,解得AD=8,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1.故选C.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.11、D【解析】
原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值.【详解】解:A、原式=3,不符合题意;B、原式=|-3|=3,不符合题意;C、原式不能化简,不符合题意;D、原式=23-3=3,符合题意,故选:D.【点睛】此题考查了立方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.12、C【解析】试题分析:连接BD,∵∠ACD=30°,∴∠ABD=30°,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°.故选C.考点:圆周角定理二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、+2【解析】
根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形,则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.【详解】如图,连接BD,FC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB.∴△DCE∽△FBE.又E是边BC的中点,∴,∴EC=BE,即点E是DF的中点,∴四边形DBFC是平行四边形,∴DC=BF,故AF=2AB=2DC,∴=+=+2=+2.故答案是:+2.【点睛】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.注意掌握三角形法则的应用是关键.14、-1【解析】
先求出8a+6b的值,然后整体代入进行计算即可得解.【详解】∵4a+3b=1,∴8a+6b=2,8a+6b-3=2-3=-1;故答案为:-1.【点睛】本题考查了代数式求值,整体思想的利用是解题的关键.15、【解析】
根据,只要求出、即可解决问题;【详解】∵四边形是平行四边形,,,,,,,,.故答案为.【点睛】本题考查的知识点是平面向量,平行四边形的性质,解题关键是表达出、.16、x≥-1【解析】试题分析:由题意得,x+1≥0,解得x≥﹣1.故答案为x≥﹣1.考点:函数自变量的取值范围.17、40【解析】如图,∵∠1=50°,∴∠3=∠1=50°,∴∠2=90°﹣50°=40°,故答案为:40.18、【解析】
先根据非负数的性质求出,,再由特殊角的三角函数值求出与的值,根据三角形内角和定理即可得出结论.【详解】在中,,,,,,,故答案为:.【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1);(2)见解析;(3)存在,2【解析】
(1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可;(2)由(1)可知,则有,从而得到,最后利用一组对边平行且相等即可证明;(3)由(1)可知,则,从而得到是等腰直角三角形,则当最短时,的面积最小,再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.【详解】解:(1)四边形是正方形,,,,,,在和中,在和中,,故答案为;(2)证明:由(1)可知,,四边形是平行四边形.(3)解:存在,理由如下:是等腰直角三角形,最短时,的面积最小,当时,最短,此时,的面积最小为.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质,平行四边形的判定,掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键.20、(1)560;(2)54;(3)详见解析;(4)独立思考的学生约有840人.【解析】
(1)由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可;(2)由“主动质疑”占的百分比乘以360°即可得到结果;(3)求出“讲解题目”的学生数,补全统计图即可;(4)求出“独立思考”学生占的百分比,乘以2800即可得到结果.【详解】(1)根据题意得:224÷40%=560(名),则在这次评价中,一个调查了560名学生;故答案为:560;(2)根据题意得:×360°=54°,则在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度;故答案为:54;(3)“讲解题目”的人数为560-(84+168+224)=84,补全统计图如下:(4)根据题意得:2800×(人),则“独立思考”的学生约有840人.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.21、(1)10,5元;(2)补图见解析;(3)在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖分别为10元、8.2元;(4).【解析】
(1)根据中位数、众数的定义解答即可;(2)根据表格中的数据补全统计图即可;(3)根据计算平均数的公式求解即可;(4)根据扇形统计图,结合概率公式求解即可.【详解】(1)在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是=10元,在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数5元,故答案为:10元、5元;(2)补全图形如下:(3)在甲超市平均获奖为=10(元),在乙超市平均获奖为=8.2(元);(4)获得奖金10元的概率是=.【点睛】本题考查了中位数及众数的定义、平均数的计算公式及简单概率的求法,熟知这些知识点是解决本题的关键.22、(1)y1=-x1+x-;(1)存在,T(1,),(1,),(1,﹣);(3)y=﹣x+或y=﹣.【解析】
(1)应用待定系数法求解析式;(1)设出点T坐标,表示△TAC三边,进行分类讨论;(3)设出点P坐标,表示Q、R坐标及PQ、QR,根据以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,分类讨论对应边相等的可能性即可.【详解】解:(1)由已知,c=,将B(1,0)代入,得:a﹣=0,解得a=﹣,抛物线解析式为y1=x1-x+,∵抛物线y1平移后得到y1,且顶点为B(1,0),∴y1=﹣(x﹣1)1,即y1=-x1+x-;(1)存在,如图1:抛物线y1的对称轴l为x=1,设T(1,t),已知A(﹣3,0),C(0,),过点T作TE⊥y轴于E,则TC1=TE1+CE1=11+()1=t1﹣t+,TA1=TB1+AB1=(1+3)1+t1=t1+16,AC1=,当TC=AC时,t1﹣t+=,解得:t1=,t1=;当TA=AC时,t1+16=,无解;当TA=TC时,t1﹣t+=t1+16,解得t3=﹣;当点T坐标分别为(1,),(1,),(1,﹣)时,△TAC为等腰三角形;(3)如图1:设P(m,),则Q(m,),∵Q、R关于x=1对称∴R(1﹣m,),①当点P在直线l左侧时,PQ=1﹣m,QR=1﹣1m,∵△PQR与△AMG全等,∴当PQ=GM且QR=AM时,m=0,∴P(0,),即点P、C重合,∴R(1,﹣),由此求直线PR解析式为y=﹣x+,当PQ=AM且QR=GM时,无解;②当点P在直线l右侧时,同理:PQ=m﹣1,QR=1m﹣1,则P(1,﹣),R(0,﹣),PQ解析式为:y=﹣;∴PR解析式为:y=﹣x+或y=﹣.【点睛】本题是代数几何综合题,考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定,熟练掌握相关知识,应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键.23、每台电脑0.5万元;每台电子白板1.5万元.【解析】
先设每台电脑x万元,每台电子白板y万元,根据电子白板的价格是电脑的3倍,购买5台电脑和10台电子白板需要17.5万元列出方程组,求出x,y的值即可.【详解】设每台电脑x万元,每台电子白板y万元.根据题意,得:解得,答:每台电脑0.5万元,每台电子白板1.5万元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,找出之间的数量关系,列出二元一次方程组.24、(1)b=;(2)详见解析.【解析】
(1)分别设两段函数图象的解析式,代入图象上点的坐标求解即可;(2)先求出农场从A、B公司购买铵肥的费用,再求出农场从A、B公司购买铵肥的运输费用,两者之和即为总费用,可以求出总费用关于x的解析式是一次函数,根据m的取值范围不同分两类讨论,可得出结论.【详解】(1)有图象可得,函数图象分为两部分,设第一段函数图象为y=k1x,代入点(4,12),即12=k1×4,可得k1=3,设第二段函数图象为y=k2x+c,代入点(4,12)、(8,32)可列出二元一次方程组,解得:k2=5,c=-8,所以函数解析式为:b=;(2)农场从A公司购买铵肥的费用为750x元,因为B公司有铵肥7吨,1≤x≤3,故农场从B公司购买铵肥的重量(8-x)肯定大于5吨,农场从B公司购买铵肥的费用为700(8-x)元,所以购买铵肥的总费用=750x+700(8-x)=50x+5600(0≤x≤3);农场从A公司购买铵肥的运输费用为3xm元,且满足1≤x≤3,农场从B公司购买铵肥的运输费用为[5(8-x)-8]×2m元,所以购买铵肥的总运输费用为3xm+[5(8-x)-8]×2m=-7mx+64m元,因此农场购买铵肥的总费用y=50x+5600-7mx+64m=(50-7m)x+5600+64m(1≤x≤3),分一下两种情况进行讨论;①当50-7m≥0即m≤时,y随x的增加而增加,则x=1使得y取得最小值即总费用最低,此时农场铵肥的购买方案为:从A公司购买1吨,从B公司购买7吨,②当50-7m<0即m>时,y随x的增加而减少,则x=3使得y取得最小值即总费用最低,此时农场铵肥的购买方案为:从A公司购买3吨,从B公司购买5吨.【点睛】本题主要考查了方案比较以及函数解析式的求解,解本题的
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