2023年辽宁省鞍山市中考数学试题卷（含答案与解析）

2023年辽宁省鞍山市初中学业水平考试

数学试题

（考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）

I.实数-2023的绝对值是（）

A.2023B.-2023-----D.

2023---------------------2023

2.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（

手

3.下列运算正确的是（

A.（4洲=8.2b2B.2a2+a2=3a4

Ca6=a2D.（6f+Z?）2=a2+b2

4.九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表:

得分/分01234

人数134148

则这道题目得分的众数和中位数分别是（）

A.8,3B.8,2C.3,3D.3,2

5.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg,甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg

所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物.设甲每小时运输xkg货物，则可列方

程为（）

500800500800八500800500800

A.——=--------B.——=--------C.--------=——D.---------=——

xx+60xx-60x+60xx-60x

6.如图，直线将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若Nl=25。，那么N2的大小

C.45°D.35°

7.如图，为的两条弦，D,G分别为AC,3C的中点，的半径为2.若NC=45°,则

3

A.2B.V3C.一D.72

2

8.如图，在矩形A8CD中，对角线AC,3。交于点O,AB=4，BC=4也，垂直于的直线MN从

A6出发，沿BC方向以每秒G个单位长度的速度平移，当直线MN与C。重合时停止运动，运动过程

中分别交矩形的对角线AC,8。于点E,F,以所为边在左侧作正方形9设正方形

EFGH与-AOB重叠部分的面积为S,直线MN的运动时间为rs,则下列图象能大致反映S与r之间函数

关系的是（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五

一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次.将数据274000000用科学记数法可表示为

10.因式分解：3x2-9x=

II.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中

随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红

球，则口袋中红球约有个.

12.若关于x一元二次方程f+3x—a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系中，矩形AQBC的边08,分别在x轴、丁轴正半轴上，点。在8C边

上，将矩形AOBC沿A。折叠，点。恰好落在边08上的点E处.若04=8,06=10,则点。的坐标

是.

14.如图，_ABC中，在C4,CB上分别截取CO,CE,使CD=CE,分别以。，E为圆心，以大于

-DE长为半径作弧，两弧在ZAC3内交于点尸,作射线。尸，交A8于点M，过点〃作

2

MNJ.BC,垂足为点N,若BN=CN,A〃=4,BM=5,则AC的长为

顶点C,8分别在x轴的正、负半轴上，点4在第一象限，经过点A

的反比例函数y=%x>0）的图象交AC于点E,过点E作砂_Lx轴，垂足为点凡若点E为AC的中

则女的值为

16.如图，在正方形ABC。中，点M为CO边上一点，连接AM，将A4DM绕点A顺时针旋轮90。得

到,4BN,在AM、AN上分别截取AE、A77,使A£=Ab=6C,连接£F，交对角线BO于点

G,连接AG并延长交8C于点若AM=—，CH=2,则AG的长为

3

AD

三、解答题（每小题8分，共16分）

(1八x~+6x+9

17先化简，冉求值：-+1h---j---,其中x=4.

(x+2)X2-4

18.如图，在口ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为0,分别交AD,BC于E,F,连接

BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

四、解答题（每小题10分，共20分）

19.在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永

不过时.某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动.评比结果共分为四项：A.非凡创

意；B.魅力色彩；C.最美设计；D.无限潜力.参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项.活动结束

后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

手抄报评比结果条形统计图手抄报评比结果扇形统计图

图1图2

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了名学生.

（2）请补全条形统计图.

（3）本次评比活动中，全校有800名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“A.非凡创

意”奖的学生人数.

20.二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，

并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间

玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A.惊蛰”“从夏至”“C.白

露”“D霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的

节气的由来与习俗.

（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“4惊蛰”的概率是.

（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的

方法，求两人却没有抽到“B.夏至”的概率.

五、解答题（每小题10分，共20分）

21.某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示.在截面图中，墙面垂直于地面

CE,遮阳棚与墙面连接处点8距地面高3m,即BC=3m,遮阳棚A6与窗户所在墙面BC垂直，即

ZABC=NBCE=90。.假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地

面点。处，则NAO£=60。），为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即C£>=lm,求遮阳棚的宽

度45.（结果精确到0.1m.参考数据：&°1.73）

图1图2

k

22.如图，直线与反比例函数y=—（x<0）的图象交于点A（-2,〃z）,B（〃,2）,过点A作ACy轴

交x轴于点C,在x轴正半轴上取一点。，使OC=2OD,连接BC,AD.若ACD的面积是6.

（1）求反比例函数的解析式.

（2）点尸为第一象限内直线上一点，且AP4c的面积等于84c面积的2倍，求点P的坐标.

六、解箝题（每小题10分，共20分）

23.如图，四边形4BCO内接于OO,AB为。0的直径，过点。作1BC,交BC的延长线于点

F,交84的延长线于点及连接BZ）.若/£4£）+/6。/=180°.

（1）求证：EF为。的切线.

2

（2）若BE=10，sinZBZ）C=-,求的半径.

24.网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元

/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售

发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求，与x的函数解析式.

（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？

七、解答题（本题满分12分）

25.如图，在..ABC中，AB=AC,NB4C=a,点。是射线BC上的动点（不与点3,C重合），连接

AD,过点。在AO左侧作£坦上A£），使A£）=ZDE,连接AE,点F,G分别是AE,3。的中点，

连接£）E，FG,BE.

AA

备用图

(1)如图1,点。在线段8C上，且点。不是的中点，当&=90。，左=1时，A5与BE的位置关系

(2)如图2,点。在线段3c上，当&=60°,攵=JJ时，求证：BC+CD=2y[3FG-

(3)当e=60°,左=后时，直线CE与直线AB交于点N.若BC=6,CD=5,请直接写出线段CN

的长.

八、解答题(本题满分14分)

26.如图1,抛物线丁=改2+：%+,,经过点(3,1),与)，轴交于点6(0,5),点E为第一象限内抛物线上一

动点.

(1)求抛物线的解析式.

2

(2)直线y=§x—4与x轴交于点4,与y轴交于点。，过点E作直线EFLx轴，交AO于点凡连接

BE.当BE=DF时,求点E的横坐标.

3

（3）如图2,点N为x轴正半轴上一点，0E与BN交于点、M.若OE=BN,tanZBME=-,求点E

4

的坐标.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）

1.实数-2023的绝对值是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案.

【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，-2023的绝对值等于2023.

故选：A.

【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键.

2.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（）

七

正面B

A口IIL0

【答案】D

【解析】

【分析】根据左视图是从左面看到的视图,进行判断即可.

【详解】解：几何体的左视图为：

&

故选D.

【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键.

3.下列运算正确的是（）

A.=Sa2b2B.2a2+a2-3«4

C.ab-T-a4=a2D.^a+by=a2+b2

【答案】C

【解析】

【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数基的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可.

【详解】解：A、（4。。）2=16/层，选项计算错误，不符合题意；

B、2a2+/=3/,选项计算错误，不符合题意；

C、选项计算正确，符合题意；

D、（”+»2=储+2"+。2,选项计算错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数基的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正

确的计算，是解题的关键.

4.九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：

得分/分01234

人数134148

则这道题目得分的众数和中位数分别是（）

A.8,3B.8,2C.3,3D.3,2

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行

求解即可.

【详解】解：得分为3分的人数有14人，次数最多，

众数为3；

将数据排序后，第15个和第16个数据均3,

•••中位数为:3；

故选c.

【点睛】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法.

5.甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg,甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg

所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物.设甲每小时运输xkg货物，则可列方

程为()

500800500800500800500800

A.——二B.——=c.------=D.---------=

Xx+60Xx-60x+60Xx-60X

【答案】A

【解析】

【分析】根据乙比甲每小时多运60kg,甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方

程即可.

【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输(x+60)kg货物，由题意，得：

500800

---=-------

xx+60'

故选A.

【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程.解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程.

6.如图，直线将含有30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若Nl=25。，那么N2的大小

【答案】B

【解析】

【分析】根据含有30。角的直角三角尺，得到N4的值，再利用平行线的性质得到N3的值，即可解答.

【详解】解：图中是含有30。角的直角三角尺，

.•.Z4=60°-Zl=35°,

a//b>

.•.N3=N4=35°,

...N2=180°-90°-Z3=55°,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关

键.

7.如图，AC,8c为。。的两条弦，D,G分别为AC,8c的中点，的半径为2.若NC=45。，则

3

C.D.72

2

【答案】D

【解析】

【分析】连接圆周角定理得到NAQB=2NC=90°，勾股定理求出AB，三角形的中位线

定理，即可求出。G的长.

【详解】解：连接。4,08,A3,

A

•・Y。的半径为2.NC=45°,

OA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,

；•AB=A/OL42+O52=2V2，

,：D,G分别为AC,BC的中点,

。G为_A8C中位线，

DG=-AB=41.

2

故选D.

【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理.熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键.

8.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,5。交于点。，A6=4，BC=48，垂直于的直线MN从

AB出发，沿方向以每秒6个单位长度的速度平移，当直线MN与CO重合时停止运动，运动过程

中MN分别交矩形的对角线AC,8。于点E,F,以所为边在MN左侧作正方形£FG〃，设正方形

EFG”与重叠部分的面积为5,直线MN的运动时间为时则下列图象能大致反映S与r之间函数

关系的是（）

【解析】

【分析】求出MN在。点左侧时的两段图象，即可得出结论.

【详解】解：当M2V在。点左侧，即：f<2时：

①当正方形£FG〃的边G"在的外部时，重叠部分为矩形，如图:

M

设HE,FG分别交AB于点/,K,

V垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒有个单位长度的速度平移,

/.IE=FK=5

•.•在矩形ABC。中，AB=4,BC=4也,

AC=yjAB2+BC2=8>

OA=OB=4=AB,

•••一ABO为等边三角形，

NOAB=NOBA=60°，

AI-BK=IE+tan60°=t,

AIK=4-2t,

:.S=IK-IE=Ct（4-2t）=-2®2+4底,图象为开口向下的一段抛物线；

②当正方形EFG”的边6”在_4。8的内部时，与重叠部分即为正方形EFG"，如图:

由①可知：EF=IK=4-2t,

;.S=(4—2r)2,图象是一段开口向上的抛物线；

当MN过点。时，即r=2时，E,F重合，此时，5=0；

综上：满足题意的只有B选项，

故选B.

【点睛】本题考查动点的函数图象问题.解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想

进行求解.

二、填空题(每小题3分，共24分)

9.2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五

一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次.将数据274000000用科学记数法可表示为

【答案】2.74xlO8

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：274000000=2.74x1O';

故答案为：2.74x108.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1W同＜10,〃

为整数，表示时关键要正确确定”的值以及”的值.

10.因式分解：3x2—9x=.

【答案】3x(%-3)

【解析】

【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.

【详解】3f-9x=3x(x—3)

【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，

要分解到不能分解为止.

11.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中

随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红

球，则口袋中红球约有个.

【答案】3

【解析】

【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为根据概率公式即可求出答案.

4

【详解】解：设红球有x个，

皿x50

则—=--->

12200

x-3

答：红球的个数约为3个.

故答案为：3.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数.

12.若关于x的一元二次方程/+3%一。=0有两个不相等的实数根，则“的取值范围是.

9

（答案】a〉—

4

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解.

【详解】解：；x2+3x—a=0有两个不相等的实数根，

•••△=/—4ac=9+4a>0，

9

解得：a>—

4

9

故答案为：ci>—.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程依2+灰+c=o（awO,a,b,c为常数）的根的判别式

△="2—4。心理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当A>0时，方程有两个不相等的实

数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根.

13.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边08,分别在x轴、）轴正半轴上，点。在3c边

上，将矩形AOBC沿A0折叠，点。恰好落在边08上的点E处.若0A=8,OB=10,则点。的坐标

是.

【答案】(10,3)

【解析】

【分析】根据折叠的性质得出A£=AC=10,在RtaAOE中，勾股定理求得OE=6,进而得出3E=4,

在Rt二DBE中，勾股定理建立方程，求得5。的长，即可求解.

【详解】解：：四边形4Q8C是矩形，

，AC=O8=10,

•••折叠，

A£=AC=1(),

在RtzXAOE中，OE=y/AE2-AO2=7102-82=6

EB=OB-OE=10-6=4,

设DB=m,则CD=8—加，

・・・折叠，

DE-CD=8—机，

在Rt△。后3中，DE1=EB1+BD1，

(8-m)2=m2+42,

解得：m=3,

DB—3，

...£)的坐标为(10,3),

故答案为：(10,3).

【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关

键.

14.如图，.一ABC中，在C4,CB上分别截取CO,CE,使CD=CE,分别以。，E为圆心，以大于

的长为半径作弧，两弧在内交于点尸，作射线。尸，交AB于点M,过点M作

2

MN1BC,垂足为点N,若BN=CN,AM=4,BM=5,则AC的长为

A

【答案】6

【解析】

【分析】由线段垂直平分线性质定理得到=因此N8=NBCM,由角平分线定义推出

srAI\4

ZACM^ZB,又NC4M=NC4B,推出ACMABC,得到一=——，代入有关数据，即可求

ABAC

出AC的长.

【详解】由题中作图可知：CM平分/AC3,

ZACM=NBCM,

'：MNIBC,BN=CN,

：.MB=MC,

：.ZB^ZBCM,

：.ZACM=ZB,

：ZCAM=ZCAB,

：.cAGVfsqABC,

.ACAM

••耘—而‘

AM-4>BM-5,

AB=AM+BM=4+5=9,

.AC_4

：.AC=6,

故答案为：6.

【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形

ArA/LI

的判定和性质，解题的关键是证明，ACA/s.ABC,得到——=——，从而求出AC的长，

ABAC

15.如图，在一ABC中，BA=BC,顶点C,8分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点4

k

的反比例函数y=1(x>0)的图象交AC于点E,过点E作Eb_Lx轴，垂足为点F.若点£为4。的中

点，BD^2AD，BF—CF=3,则％的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】过点A作A”_Lx轴于点H,证明得AH=2EF,CF=HF,再根据

3F—CF=3,可得3H=3,再证明LDOBsABHA，得到。氏的长，设CE="尸=a,石尸=6,

得到A,E的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得。的值，从而可得84=50=5,再利用勾股定理

解得AH=4,从而求得人的值.

【详解】解：如图，过点A作轴于点〃，

EF_Lx轴，

.-.AH//EF，

ZHAC=NFEC,

:.△AHCSXEFC，

E是AC的中点，

.ACHCc

•(——2,

ECFC

:.HF=FC,

BF—FC=3,

，BF-FC=BF-HF=3,

即34=3,

同理可得AAHBsADOB,

BD=2AD,

*_A_B___B_H____3

"BD~BO~1'

：.BO=2,OH=BH-BO=\,

设FC=a,EF=b,则Hb=a,AH=2h,

A（l,2Z?）,E（l+a,/?）,

QAE都反比例函数上，

.­.lx2Z?=（l+a）xZ?,

解得a=l,

.-.BA=BC=-BH+HF+FC=5,

在RtaABH中，AH7AB2-BH?=4,

:.k-\x4-4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的

点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键.

16.如图，在正方形A8CO中，点例为CO边上一点，连接A"，将绕点A顺时针旋轮90°得

至在AM、AN上分别截取AE、AF）使A£=AF=3C,连接瓦交对角线于点

25

G,连接AG并延长交于点儿若AM=，，CH=2,则4G的长为.

3

AD

405

【答案】—##5<

77

【解析】

［分析］根据题干条件可得EF=BD，所以△ABf段VADE，得到BG=EG,又证明得ABG四△AEG,

ZBAG^ZEAG,所以.ABH四△AEH,NAB”=ZAEH=90。；设正方形的边长为。，列双勾股方程解

得正方形的边长，再根据V3G”S/^4£>G，即可求出答案.

【详解】解：由题意可得，—ABN丝AWA/,

:.ABAN=ZDAM,

：.ZFAE=ZBAD^90°,

AB=AD=AE=AF,

：.AFAE^84。是等腰直角三角形，

；.EF=BD；

连接OE、BF,

AAB*7ADE，

：.BF=DE，

连接BE,

EF=BD，BE=EB,

...BEF丝A£BD，

:.NGEB=NGBE,

BG-EGi

又，AB=AE,AG=AG，

:._ABG^/\AEG,ZBAG^ZEAG,

连接EH、HM，

AH^AH,AB=AE，

：._ABHg/\AEH,ZABH=ZAEH=90°,

设AB=8C=CD=AZ)=a,

25

AM=y,CH=2,

DM=7AM2-AD2

BH=EH=a-2,

EH2+EM2=CM2+CH2，

得3a2-3la+56=0，

(3a-7)(a-8)=0,

7八

解得4=§(舍)，4=8，

；.A£>=8,BH=6,AH=10,

又-ABGHsAADG，

GHBH3

,AG-AB-4'

“八40

..AG——♦

【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出

双勾股方程计算求解是解题的关键.

三、解答题（每小题8分，共16分）

r+9

17.先化简，再求值：f—^-+lV--其中x=4.

（x+2；x2?-47

x—2?

【答案】---4

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的

值代入求解.

【详解】解：(与+。+正怨

(x+2)x—4

_l+x+2(x+2)(x-2)

x+2(x+3)-

x-2

x+3

4-22

当x=4时，原式=----=—

4+37

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

18.如图，在。ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为0,分别交AD,BC于E,F,连接

BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

【答案】证明见解析.

【解析】

【详解】【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出AD0E丝△B0F,得到OE=OF,

利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的

平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形.

【详解】••,在“BCD中，。为对角线BD的中点，

；.BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在ZiEOD和AFOB中，

ZEOD=ZFBO

<OD=OB,

ZEOD=ZFOB

/.△DOE^ABOF(ASA),

.,.OE=OF,

又•；OB=OD,

四边形EBFD是平行四边形，

VEF1BD,

四边形BFDE为菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出

OE=OF是解题关键.

四、解答题(每小题10分，共20分)

19.在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永

不过时.某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动.评比结果共分为四项：A.非凡创

意；B.魅力色彩；C.最美设计；D.无限潜力.参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项.活动结束

后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

手抄报评比结果条形统计图手抄报评比结果扇形统计图

图1图2

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了名学生.

(2)请补全条形统计图.

(3)本次评比活动中，全校有800名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“A.非凡创

意”奖的学生人数.

【答案】(1)100

(2)见解析(3)64人

【解析】

【分析】(1)从两个统计图可知，样本中获得无限潜力”的有20人，占调查人数的20%,由频率

等于频数除以总数可求出调查人数；

(2)求出样本中获得“B.魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；

(3)求出样本中获得“A.非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获得“A.非凡创意”奖的学

生所占的百分比，进而求出相应的人数.

【小问1详解】

解：20+20%=100（名），

故答案：100；

【小问2详解】

样本中获得“8.魅力色彩”的人数为：100—8—48—20=24（名）,

补全条形统计图如下：

答：全校有800名学生中获得“A.非凡创意”奖的学生大约有64人.

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，从统计图中获取信息，是解题的关键.

20.二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，

并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间

玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A.惊蛰”“B.夏至”“C.白

露”“D.霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的

节气的由来与习俗.

（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“4惊蛰”的概率是.

（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的

方法，求两人都没有抽到“反夏至”的概率.

【答案】（1）-

4

【解析】

【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案;

（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可.

【小问1详解】

解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A.惊蛰”的只有1种，

惊蛰”的概率是,,

所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.

4

故答案为：一;

4

【小问2详解】

解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下:

共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“艮夏至”的有6种,

所以两人都没有抽到“从夏至”的概率为2=,.

122

【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键.

五、解答题（每小题10分，共20分）

21.某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示.在截面图中，墙面垂直于地面

CE,遮阳棚与墙面连接处点8距地面高3m,即BC=3m,遮阳棚AB与窗户所在墙面8C垂直，即

ZABC=ZBCE=9（r.假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°（若经过点A的光线恰好照射在地

面点。处，则NA0E=6O°）,为使正午时窗前地面上能有1m宽的阴影区域，即C0=lm,求遮阳棚的宽

度A3.（结果精确到0.1m.参考数据：百"1.73）

EDC

图1图2

【答案】遮阳棚的宽度AB约为2.7m

【解析】

【分析】过点。作。尸_LAB,垂足为E，根据垂直定义可得NOEB=NOE4=90。，从而可得四边形

3C0E是矩形，然后利用矩形的性质可得8C=OE=3m,CD=BF=\m,AB//CE,从而可得

ABAD^ZADE=60°,在RjADF中,利用锐角三角函数的定义求出A尸的长，从而利用线段的和差关

系进行计算，即可解答.

【详解】解：过点。作DbJ_AB，垂足为R，

.-.ZDFB^ZDFA^90°,

ZABC=ZBCE=90°,

四边形5C0E是矩形，

.•.3。=。产=3m,CD=BF=lm,AB//CE,

.•.Z5L4D=ZADE=60。，

在网的中',二磊二白二也⑺)，

•••AB=+=1+73*2.7(m),

遮阳棚的宽度AB约为2.7m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

22.如图，直线AB与反比例函数y=K（x<0）的图象交于点A（—2,〃。，8（〃,2）,过点4作y轴

X

交X轴于点C,在X轴正半轴上取一点。，使0C=20。，连接BC,AD.若ACD的面积是6.

（1）求反比例函数的解析式.

（2）点尸为第一象限内直线AB上一点，且△P4C的面积等于-B4C面积的2倍，求点P的坐标.

Q

【答案】（1）y=

x

（2）P（2,8）

【解析】

【分析】（1）根据OC=2O£>,可得三角形面积之比，计算出040。的面积，面积乘2即为网=8,解析

式可得；

（2）根据点的坐标求出直线AB的解析式为y=x+6,设符合条件的点P（m,〃?+6）,利用面积的倍数关

系建立方程解出即可.

【小问1详解】

解：：OC=2QD,ACD的面积是6,

S7Aoe=4,

.•.网=8,

•.•图象在第二象限，

*#-k=—8,

Q

・••反比例函数解析式为：y=--；

x

【小问2详解】

Q

•.•点A（-2,〃z）,B（n,2）,在〉=的图象上,

X

m=4,n=—4,

A（—2,4）,8（T,2）,

设直线AB的解析式为y="+"

-2k+b=4

-4k+b=2

k=l

解得：，

b=6

；•直线AB的解析式为y=x+6,

VACy轴交X轴于点C,

C（-2,0）,

SABC=—x4x2=4,

设直线AB上在第一象限的点P（m,m+6）,

SPAr=—x4x（m+2）=2SARC=8，

2〃z+4=8,

••HT=2,

/.尸（2,8）.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式.

六、解籍题（每小题10分，共20分）

23.如图，四边形ABCQ内接于「。，AB为0。的直径，过点。作±BC，交8c的延长线于点

F,交84的延长线于点E,连接8。.若NE4D+N6O/=180°.

（1）求证：EF为。的切线.

2

（2）若BE=10,sinZBDC=-f求：。的半径.

3

【答案】（1）见解析（2）0。的半径为4

【解析】

【分析】（1）连接。。，根据同角的补角相等，得到尸等角的余角相等，得到

/DBF=ZABD，等边对等角，得至UNDBF=ZABD=NODB，推出OD//BF,得到

NODE=/尸=90°，即可得证；

（2）连接AC，推出NE=NB4C=NBZ）C,利用锐角三角函数求出3尸的长，设二。的半径为,，证明

ODEs.BFE,列出比例式进行求解即可.

【小问1详解】

证明：连接。£），

VZ£AD+ZBDF=180°,ZEAD+ZBAD=}S00,

NBDF=NBAD，

为O。的直径，DF上BC,

：.ZADB^90°,ZBFD=90°,

/.ZBDF+/DBF=ABAD+ZABD=90°,

；•ZDBF=ZABD，

OB=OD,

/DBF=ZABD=ZODB,

OD//BF,

：.ZODE=ZF=90°,即：OD1EF,

又0。为。。的半径，

.••所为：。的切线；

【小问2详解】

连接AC,则：/BAC=/BDC，

48为〈。的直径，

，ZACB=90°=ZF,

：,ACEF,

：.ZE=NBAC=NBDC,

在RtABFE中，BE=10,sinE=sinZBOC=—,

3

BF^BEsinE^lOx-^—,

33

设，。的半径为r,则：OD=OB=r,OE=BE—OB=10—r,

,?OD//BF,

：,「ODEs二BFE.

/.r=4；

:。的半径为4.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和

性质.题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

24.网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元

/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售

发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系.

(1)求>与x的函数解析式.

(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元?

【答案】(1)y=-100x+3000

（2）当销售单价定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元

【解析】

【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解：

（2）设销售销这种荔枝日获利卬元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解.

【小问1详解】

解：设＞与x的函数解析式为＞=丘+6,

:改函数图象经过点（8,2200）和点（14,1600）

.‘82+8=2200

•「14攵+0=1600

攵=—100

解得：〈

力=3000

y与*的函数解析式为y=-ioox+3000；

【小问2详解】

解：设销售销这种荔枝日获利卬元，

根据题意，得，w=（x-6-2）（-100x4-3000）

=-100%2+3800%-2400

=-100（x-19）2+12100

。=_1（）0＜0,对称轴为直线％=19,

.••在对称轴的左侧，y