全国高考数学一轮复习-椭圆知识点总结

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点尸到两个定点不入的距离之和等于常数（|尸月|+|尸居|=2a＞比可），

这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若|P£\+\PF2|=|F,F2|,则动点P的轨迹为线段五石；

若|P£\+\PF2|＜阳闾，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

2222

椭圆：与+2r=1（。＞0〉0）与之+j=1（。＞。＞0）的简单几何性质

a'h-ab

2222

「+当=1(。>。>0)*■+£=1(a>b>0)

标准方程a2b2

y1

e.

图形k_*

尸X

焦点K(-c,O),F2(C,0)耳(0,-c),F2(0,C)

焦距|桃2|=2c"鸟|=2c

1x<h|

范围y1%9y<a

对称性关于x轴、y轴和原点对称

性质

顶点(±a,0),(0，土份(0,±a),(土仇0)

轴长长轴长=2a,短轴长=2。长半轴长=a,短半轴长=8（注意看清题目）

离心率—(0<e<1)

a

=%巴|=a-c；A}F21=|A2Fj|=tz+c；a-c<\PFx|<6T+C;

（p是椭圆上一点）（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

几点说明:

（1）长轴：线段A4，长为2"；短轴：线段4线，长为2也焦点在长轴上。

（2）对于离心率e,因为a>c>0,所以离心率反映了椭圆的扁平程度。

由于（,=/业了1=，一「所以。越趋近于1,人越趋近于0,椭圆越扁平；。越趋近于0,

〃越趋近于“，椭圆越圆。

（3）观察下图，所以所以椭圆的离心率e=cosZOF^

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等;

②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1.椭圆标准方程中的三个量a仇c的几何意义a2=b2+c2

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦，其长2尤

a

2b2

最短的焦点弦为通径长——，最长为20.

焦点弦：椭圆过焦点的弦。〃

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，/6PB为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

S=I）2taxi—

焦点三角形的面积—2,其中e=N片尸工（注意公式的推导）

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）.

（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.

(2)设方程：

2222

①依据上述判断设方程为—y+=1(a>b>0)或一-+二*=1(a>。>0)

abb'a-

②在不能确定焦点位置的情况下也可设+〃〃>0且

或设成工+3=1(〃产#M)的形式.

nrn

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c或〃z,"的方程组.

(4)解方程组，代入所设方程即为所求.

6.点与椭圆的位置关系：

222222

彳+4<1,点在椭圆内；*+==l,点在椭圆上；*点在椭圆外。

a2h2a2b2a2b2

7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y="+〃z,若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：加十

/?x+c=0(aW0).

(l)A>0；直线与椭圆有两个公共点;

(2)A=0,直线与椭圆有一个公共点;

(3)A<0,直线与椭圆无公共点.

8.弦长公式：(注意推导和理解)

若直线/:y=辰+。与圆锥曲线相交与A、8两点，A(玉,y),3(工2，y2)则弦长

I=yJ(X]-工2厂+(y1必)-=)-+*X[一3)-=J1+|xI—x2\

J+aI>2I-

-J]+女2J（X]+12）2—4元]彳2

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用

直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后

利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为(X2,V7),其中点坐标为则得到关

系式：XI+*2=2检，Vl+V2=2珈..

②把（xz,内）分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进

行因式分解.其结果为根（X]-%2）（%1+%2）+〃（%一%）（%+%）=0

③利用卜=蜉求出直线斜率，代入点斜式得直线方程为f=矩的』

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

.V2y2

AB为椭圆7+庐=l（a>b>0）的弦，A（xuyD，B（x2,y2）,弦中点M（x（）,y0）,

①斜率：k=——$；②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定

av„

b2

值一

后

公3._(x=acos0

10.参数方程彳.八（。为参数）。几何意义：离心角

y=bsin0

11、椭圆切线的求法

Y22

1）切点（/儿）已知时，=~+=V=1（。>〃〉0）切线学+岑=1

矿bab~

22

夕+*"＞0)切线浮+年=1

ab-

元2v2

2）切线斜率k已知时，\+==1（。>方>0）切线y=kx±y1a2k2+h2

矿b2

22

当+a=1(。＞。＞0)切线y=依士Jb%?+a2

12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22

二+\=1（。>〃〉0）厂=。土叫）（加减由长短决定）

a~b

22

-^-+p-=l（«>&>0）r=a+eya（加减由长短决定）

13.离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方

法：①求出aC代入公式e=£；②只需要根据一个条件得到关于"，b,c的齐次式，结

a

合〃2=〃2一/转化为a,c•的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或42转化为关于e

或e2的方程0等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

14.焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常

用到结论有：（其中，0=—F\PFQ

①|户石|+|尸+|=2。；

②4c2=|?用2+上心『一2|尸产肃P心卜3仇

③当。为短轴端点时，8最大.

④S”陋=5仍用P心回12

1221+cos0

=力2tan—=c.\y0\.

h

当y0=±，即。为短轴端点时，S*5有最大值为be.

⑤焦点三角形的周长为20+<〉.

15.椭圆的范围或最值问题

内1的范圉或最值问题常常涉及一些不等式，例如一〃-/；<v</^0<^<b

求桶圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.

知识点四：椭圆了解知识

1、椭圆面积：=7i-a-b

2、椭圆的第二定义：

由此可知，当点.”与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数「=二(0＜。＜1)时，这个点的