2024年湖南省郴州市桂阳县蒙泉学校中考数学一模试卷+

2024年湖南省郴州市桂阳县蒙泉学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）1．（3分）在实数﹣1，，0，﹣2中，最小的数是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣22．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截止2022年2月17日，湖南省免费接种数量已达1.3亿剂次（）A．13×107 B．1.3×107 C．1.3×108 D．1.3×1094．（3分）下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．+＝ D．（﹣3a）2＝9a25．（3分）已知一组数据：58，53，55，54，51，这组数据的中位数和众数分别是（）A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，556．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜47．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，燕俱轻；一雀一燕交而处；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两（）A． B． C． D．8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，E，F，且AD＝3，BE＝2，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．159．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线 B．PA＝PB C．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ＝∠BPQ10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8小题，将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）11．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是．12．（3分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝．13．（3分）因式分解：x2﹣4＝．14．（3分）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是．15．（3分）为从甲乙两名射击运动员中选出一人参加竞标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，方差分别是S甲2＝0.8，S乙2＝13，从稳定性的角度看，的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）16．（3分）如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠CAD＝24°，则∠C＝°．17．（3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y＝（k≠0），交AB于点D，则k＝．三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分0分）19．计算：．20．先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．21．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．22．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？23．如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上（1）求BE的长；（2）求DE的长（结果精确到0.1）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，点D在BA的延长线上，BC平分∠DBE，且BE⊥DC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CBA＝30°，AC＝6，求的长．25．综合与实践【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题；【深入探究】：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，AC＝8，求AH的长．请你思考此问题26．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AB⊥BE，ED⊥BD，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，若存在，求出点M的横坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）1．（3分）在实数﹣1，，0，﹣2中，最小的数是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣2【解答】解：∵（﹣2）2＝3，（﹣）2＝2，∴4＞2，∴﹣8＜﹣，在四个实数：﹣1，﹣5，0，﹣中，﹣3＜﹣＜﹣1＜5，∴最小的数是﹣2，故选：D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、图形是轴对称图形，故A不符合题意；B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形；C、D、图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形．故选：B．3．（3分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截止2022年2月17日，湖南省免费接种数量已达1.3亿剂次（）A．13×107 B．1.3×107 C．1.3×108 D．1.3×109【解答】解：1.3亿＝130000000＝6.3×108，故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．+＝ D．（﹣3a）2＝9a2【解答】解：A.＝5；B．（x﹣y）2＝x2﹣4xy+y2，所以B选项错误；C.+≠，所以C选项错误；D．（﹣3a）5＝9a2．所以D选项正确．故选：D．5．（3分）已知一组数据：58，53，55，54，51，这组数据的中位数和众数分别是（）A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、54、55，中位数为54，∵55出现的次数最多，∴众数为55，故选：A．6．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣8m＞0，解得m＜4．故选：D．7．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，燕俱轻；一雀一燕交而处；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两（）A． B． C． D．【解答】解：∵五只雀、六只燕，∴5x+6y＝16，∵雀重燕轻，互换其中一只，∴6x﹣x+y＝6y﹣y+x，即4x+y＝5y+x，∴，故选：A．8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，E，F，且AD＝3，BE＝2，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，E，F，∴AD＝AF，BD＝BE，∵AD＝3，BE＝2，∴AF＝6，BD＝2，∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝3，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18．故选：A．9．（3分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线 B．PA＝PB C．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ＝∠BPQ【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，PA＝PB，∴点A、B到PQ的距离相等．故选：C．10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，∴①正确；当x＝0时，y＝3，8）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x7＞﹣2，则y1＞y7；当a＜0时，x1＞x4＞﹣2，则y1＜y6；∴③错误；当y1＝y2，则x2+x2＝﹣4，∴④错误；故正确的有8个，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）11．（3分）要使二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是x≥﹣1．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣6．12．（3分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝1．【解答】解；将方程移项得，2x＝2，系数化为6得，x＝1．故答案为：1．13．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+3）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣4）．14．（3分）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是10．【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得：（n﹣2）180°＝144°×n，解得n＝10，故答案为：10．15．（3分）为从甲乙两名射击运动员中选出一人参加竞标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，方差分别是S甲2＝0.8，S乙2＝13，从稳定性的角度看，甲的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【解答】解：∵S甲2＝0.2，S乙2＝13，∴S甲2＜S乙5，∴成绩更稳定的运动员是甲，故答案为：甲．16．（3分）如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠CAD＝24°，则∠C＝52°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案为：52．17．（3分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为15πcm2．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6cm，即底面圆的半径为3cm，所以圆锥的母线长＝＝5，所以这个圆锥的侧面积＝•2π•3•3＝15π（cm2）．故答案为15πcm2．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y＝（k≠0），交AB于点D，则k＝．【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴，由勾股定理得，在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，，∴，由勾股定理得，∵点C是OA的中点，∴，，∵点C在第一象限，∴点C的坐标是，∵反比例函数的图象经过OA的中点C，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分0分）19．计算：．【解答】解：＝5+6﹣3﹣2＝2．20．先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：÷+＝＝＝＝＝，∵x＝0，8，﹣1，原分式无意义，∴x＝﹣2，当x＝﹣3时，原式＝．21．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有3种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．22．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+2×3x＝550，∴x＝50，经检验，符合题意，∴3x＝150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，根据题意得，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个，垃圾箱49个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，当y＝52时，所需资金最少．23．如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上（1）求BE的长；（2）求DE的长（结果精确到0.1）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）由题意得，∠E＝90°，∵AB＝30km，∠BAE＝58°，∴BE＝AB⋅sin58°≈30×0.82＝25.5（km）．（2）∵BC＝10km，∴CE＝BC+BE＝35.5（km），∴DE＝CE÷tan37°≈35.6÷0.75≈47.3（km）．答：BE的长为25.6km，DE的长为47.3km．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，点D在BA的延长线上，BC平分∠DBE，且BE⊥DC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CBA＝30°，AC＝6，求的长．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，∴∠OCB＝∠DBC，∵BC平分∠DBE，∴∠EBC＝∠DBC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥DC，∴∠OCD＝∠BED＝90°，∵OC是⊙O的半径，且DE⊥OC，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵OC＝OA，∠COA＝2∠CBA＝2×30°＝60°，∴△COA是等边三角形，∴OC＝AC＝5，∴＝＝2π，∴的长是4π．25．综合与实践【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题；【深入探究】：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，AC＝8，求AH的长．请你思考此问题【解答】解：（1）四边形BCGE为正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形BCGE为矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE为正方形；（2）①AM＝BE．理由如下：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴S△ABN＝AN•BC＝，∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②如图4：设AB，DE的交点为M，∵△ACB≌△DEB，∴BE＝BC＝7，DE＝AC＝12，∠ABC＝∠DBE，∴∠CBE＝∠DBM，∵∠CBE＝∠BAC，∴∠D＝∠BAC，∴MD＝MB，∵MG⊥BD，∴点G是BD的中点，由勾股定理得AB＝＝15，∴DG＝BD＝，∵cos∠D＝＝，∴DM＝＝＝，即BM＝DM＝，∴AM＝AB﹣BM＝15﹣＝，∵AH⊥DE，BE⊥DE，∴△AMH∽△BME，∴＝＝，∴AH＝BE＝，即AH的长为．26．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AB⊥BE，ED⊥BD，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，若存在，求出点M的横坐标．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠A＝∠EBD，在△ACB和△BDE中，，