2022-2023学年山西省怀仁市高三年级上册期末考试数学试题

怀仁市2022-2023学年高三上学期期末考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1•答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并收回.

4.本卷主要考查内容：高考范围.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I.已知集合A={x|%2一%一2<。},8={%|log2%,1},则AcB=()

A.{x|0<*,2}B,{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{xl-1<x,,2]

2.已知复数z满足z(2+i7)=3+i,则复数z的虚部是()

A.72B，V2iC.i

3.某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：

则下列说法正确的是()

月至7月的月平均计划销售额为22万元

月至7月的月平均实际销售额为27万元

月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25

D.这4个月内，总的计划销售额没有完成

(3T、

4.已知函数/(x)=xa-3x---,则“a=1”是“函数/(x)为偶函数”的()

\aJ

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为()

A.-60C.-61B.-58

1夕c.八

二----77-tan—=2sin〃八

6.已知，02，则cos9=()

tan一

2

\/5—2口2—A/5r1—y/5「V5—1

4222

7.已知函数/(x)=tzlnx,g(x)=be',若直线y=kx{k>0)与函数/(x),g(x)的图象都相切，则a+'的最

小值为()

A.2B.2eC./D.yfe

22

8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:j—4=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为耳，凡，点A是以线段

ab~

£居为直径的圆与双曲线。在第一象限内的交点，过点A且与直线A。垂直的直线与x轴相交于点8,若

ZBAF2=\5,则双曲线C的离心率为()

A.72B.百C.2D.V5

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(力=疝切(。>0)的最小正周期为乃，则下列说法正确的是()

A.69=1

jrrr

B.函数/(X)的增区间为k7r-—,k7r+—(攵eZ)

C.当一代金军时，二颁(力1

632')

D.函数g(x)=cos2x的图象可由函数“X)的图象向左平移?个单位长度而得到

10.在平面直角坐标系中，圆。的方程为(尤―4了+⑶―与2=4,其中/+〃=4,点尸为圆C的圆心，

则下列说法正确的是()

A.原点。在圆。上

B.直线x+y=0与圆。有公共点

C.圆C与圆V+y?=16相内切

D.直线)'=》与圆C相交于A8两点，若AP上BP，则a=0,b=±2

11.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的

数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是()

A，(A)=g

B.事件A和事件B互为对立事件

C.P（⑷A）=g

D.事件A和事件8相互独立

12.如图，在四棱锥P—ABCD中，40_1平面243,8。〃4）,4尸，48,

AP=AO=2,8C=l,4?=2jD,M为A3的中点，过点用作MNLCD，垂足为N.则下列说法正确的是

（）

A.四棱锥P-ABCD的体积为3J5

B.DM1MC

C.BN，平面APN

|1Q

D.三.棱锥P-ACD外接球的表面积为一-

8

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量满足卜|=2忖，且（a+8）_L0,则。与的夹角为.

14.已知实心铁球。的半径为R,盛满水的圆柱杯的底面半径为R,高为2R,将实心铁球放入圆柱杯中，溢

出水的体积与圆柱杯中剩余水的体积之比为.（圆柱杯的厚度忽略不计）

15.若关于x的不等式"2一21nx+2。一工.0恒成立，则实数。的取值范围为.

16.已知产是抛物线。：：/=2勿5>0）的焦点，直线/与抛物线C相交于M,N两点，满足/M/W=60，

\MF\

则导

记线段MN的中点P到抛物线的准线的距离为d,若d

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在,ABC中，角A6,。所对的边分别为a,b,c,已知sinA+sinC=2"sinAsinC，且.ABC的外接圆的半

径为指.

（1）证明：—+—=1；

ac

TT

（2）若8=1，求cABC的面积.

18.（本小题满分12分）

已知等比数列｛a,,｝的前〃项和为S,,-q=90,S4=90.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）已知数列也｝中，满足a=a“+log24,求数列也｝的前〃项和却

19.（本小题满分12分）

如图，在几何体A8COPQ中，底面ABC。为直角梯形，/3,8。,3。〃4。,/%_1平面43。。，

PA//QD,AB=BC=^AD=PA=^QD=\.

（1）证明：平面B4C_L平面QC。；

（2）E为CD的中点，尸为CQ的中点，求平面APEE与平面CPQ所成锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的

概率均为义，答错的概率均为,；对于第三道题，答对和答错的概率均为工；对于最后一道题，答对的概率

662

为上1，答错的概率为7

33

（1）求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；

（2）设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X,求X的分布列.

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C:5+，=l（a>0〉0）的离心率为日，且过点（1,等），其左顶点

为A,上顶点为B.直线l-.y=-2x+t（teE）与乂V轴分别交于点M,N,直线AN,BM分别与椭圆C交于

点P,Q.（P异于点AQ异于点B）

（1）求椭圆C的方程；

（2）若［4"=忸。|,求直线/的方程.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=lnx-ar2+—x（a>0）.

（1）当。=:时，求函数“X）在x=e处的切线方程；

（2）若/（x）在％=/（0</<五）处取得极值，且/5）>（），求。的取值范围.

怀仁市2022-2023学年高三上学期期末考试

数学

参考答案、提示及评分细则

8.A

10.

24

13.----

3

14.2:1

15.[1,+(»)

16.2或,

2

17.(1)证明：因为外接圆半径为迷，且sim4+sinC=2疯inAsinC，

所以2#sinA+2#sinC=(2V6)2sinAsinC,

由正弦定理，可得。+。=改，

所以_L+』=1；

ac

(2)解：因为8=(,由正弦定理，可得6=2遥sin8=3后，

由(1)可知，a+c=ac,

由余弦定理，可知/=/+°2一2。8055，

即18=a?+c?-ac=(a+c)?-3«c=(acf-3ac,

解得ac=6,所以S.sc=gacsinB=圭，.

18.解：(1)记等比数列｛a'｝的公比为4,由%产。可知<7工1，4_%=%q4_q=90,"'""’=90'

「q

解得4=6应=2,所以数列｛对｝的通项公式为a“=6-2"T=3.2"；

nn

(2)bn=an+log2azi=3・2"+log23-2=3-2+n+log23,

2

Tn=3(2+2+,+2")+(l+2++«)+/i-log23

2(l-2")n(n+l).+

=3:2l+.2，+〃,log23=32+\，+〃/og23-6-

19.(1)证明：•：A6=BC=1,A5，BC,BC〃AO,，/CAr>=45,

\AD=2BC=2,:.CD=S=血,

AC=Vl2+12=V2,AC=CD,ZCDA=45，

.-.ACA.CD.

PA±平面ABC。,CDu平面ABCD,PAA.CD,

PA±CD,AC±CD,PA,ACu平面PAC,PAcAC=A,:.CD±平面PAC

■,CD_L平面PAC,CDu平面QCD平面Q4C，平面QC。；

（2）解：由AB,ARAP两两垂直，以A为坐标原点，向量43,AO,AP方向分别

为x，y，z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系.

A（0,0,0）,C（l,l,0）,D（0,2,0）,P（0,0,l），e（0,2,2）,£fi|,0

设平面APEE的法向量为加=（x,y,z）,

由AE=（；,|,0）,AP=（0,0,l）,

f.13,、

有，22取x=3,y=-l,z=0,可得平面AP/话的一个法向量为m=（3,-1,0）.

AP-7/2=Z=0,

设平面CP。的法向量为〃=（a,"c）,

由6=（-1,—l』）,P0=（O,2,l）,

有〈取。=3/=-1,。=2,可得平面CPQ的一个法向量为〃=（3,-1,2）.

APn=2b+c=0,

设平面PAC与平面CPQ所成锐二面角为e,

由加•〃=10,|m|==V14

10

有cos6=

VioxVu

故平面APFE与平面CPQ所成锐二面角的余弦值为叵.

7

20.解：（1）设得分不低于15分为事件A，

1511⑶2

则尸（A）X—X—X—X—

66238

（2）易知X的取值可能为0,5,10,15,20,

、2

则P（X=0）=［）121

x——X—=-----

723108

P"=5）七|xlx2+jxZ+C占心金

123612326623216

、2

20）=（"+5

6723-6623-66232168

、

52

p（X=l5'）=C\x-x-x-x-+

72

'66236723⑹23216

则X的分布列为

X05101520

12338525

P

1082168216216

21.解：（1）由题意可知，

a2

13

因为椭圆。过点1,'所以/+/=1'

又因为/=〃+，，解得。=2,〃=1,

2

所以椭圆C的方程为—+y2=l；

4

（2）由⑴可知，A（-2,0）,B（0,l）,且

一

_k12

则就2，、BM

t-所以心N-kBM=T

2

设AN的斜率为3则4V:y=^（x+2）,BM:y=-Lx+l,

k

y=Z（x+2）

将直线AN与椭圆。的方程联立，〈

—X'+y2=1,

I4

消去y,整理得（4公+1）+16—x+16/一4=。,

16公—4匚匚八］—8k~+2

因为乙=-2,且％•/=，所以巧,=——z——

4k2+1P4二+1

4扬+i

则|AP|=kp+2|42+l

4"+1

将直线与椭圆。的方程联立，＜2，消去V，

—%+V2=1.

I4

整理得（&?+4卜2_8收=0,

因为》8=0,且——，

°K+4

,8k

所以q=E

则陶也|商=/'

由题意可知,需="

解得k=±——,

7

又因为所以，=±当4,则直线/的方程为y=—2x土当N.

1v.2

22.解：(1)当。=一时，/(x)=inx---+ex,

1?r

则/'(x)=-----+e，

所以/(e)=e2_e+L/'(e)=e+」―2,

所以切线方程为.v=[e+:—21x—e)+e2—e+l=(e+：—2]x+e；

(2)/⑴2ax+：=-2〃-『+x+a,设g(x)=-2a2%2+x+a,

xaax

因为g(0)=a>0,—2片<0,

所以存在通〉0,使得g($)=0,即F'(%)=0,

列表可知(表