2024年高考数学重难点突破第7讲 隐零点

第7讲隐零点利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类:(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下:第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程,并结合的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.第二步:以一阶导函数零点为分界点,说明导函数在左、右两边的正、负号,进而得到的极值表达式.第三步:将零点方程适当变形,整体代人极值式子进行化简证明.有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用幂函数替换,这是简化函数的关键.无参隐零点问题隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数,导函数方程的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为:第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程的根为.第二步:写出零点等式成立.第三步:取点找出注意确定的合适范围。第四步:把零点等式变形反带回,进行简化,从而求解.【例1】已知函数.证明:.【解析】证明：设为增函数,可设..当时,.当时,..又..,.【例2】已知函数,求证:.【解析】证明：在区间,上单调递增,又,在上有唯一实根,且.当时,.当时,.从而当时,取得最小值.由,得,.【例3】已知函数.证明:存在唯一的极大值点,且.【解析】证明：.设,则.当时,.当时,.在单调递减,在单调递增.又在零点只有，在零点只有1,且当时,.当时,.当时,.,是在上的唯一极大值点.由得..由得.是在的最大值点,由得..含参隐零点问题含参函数的隐零点问题:已知含参函数,其中为参数,导函数方程0的根存在,却无法求出,其解题步骤为:第一步:设方程的根为.第二步:写出零点等式成立时,含的关系式.第三步:取点找出的合适范围,该范围往往和有关.第四步:反带回进行求解,通常可以消参.【例1】设函数.(1)讨论的导函数零点的个数.(2)证明:当时.【解析】(1)的定义域为①当时,没有零点.②当时,单调递增,单调递增.在单调递增.又,当满足且时,,故当时,存在唯一零点.(2)(证明)由(1)题,可设在的唯一零点为,当时,.当时,.故在单调递减,在单调递增,当时,取得最小值,最小值为.由于,.故当时,.【例2】已知函数.当时,证明:.【解析】证明：函数的定义域为,则.设.,在上单调递增.又在上有唯一实根.当时,.当时,,从而当时,取得最小值为.由方程的根为,得故,当且仅当时,取等号.又时,.取等号的条件是,及同时成立,这是不可能的,,故.【例3】已知函数.(1)求的单调区间.(2)证明:当时,方程在区间上只有一个零点.(3)设,其中,若恒成立,求的取值范围.【解析】(1),,令得.令得.故的单调减区间为,单调增区间为.(2)证(明)设,,则.由(1)题可知在上单调递增,又,在上只有一个零点.故当,方程在区间上只有一个零点.(3)由题意得,.令,则.由(2)题得,在区间上单调递增且只有一个零点.不妨设的零点为,则当时,,即0,此时单调递减.当时,,即0,此时单调递增,函数的最小值为,且.由得,故.根据题意,即,解得.故实数的取值范围是.隐零点求最值利用隐零点求最值的步骤:第一步:求出一阶导函数,并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定).第二步:利用零点存在定理判定存在零点,写出零点方程,并确定零点取值范围.第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式.第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式:【例1】求函数的最大值.【解析】由已知得令,则函数在上单调递增.,存在,使得,其中(指对互化).当时,.当时,.在上单调递增,在上单调递减.【例2】求0时的最小值.【解析】.令.上单调递增.，存在唯一的使得当.故在上单调递减,在上单调递增.,由于得,再对两边取对数得..【例3】求的最大值.【解析】令，单调递减又由零点存在性定理知,存在唯一零点两边取对数可得,即.由函数为单调增函数可得当时，.在上单调递增,在上单调递减..隐零点求参数取值范——参变分离参变分离法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分离的基本步骤.不同的只是分离参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。【例1】已知函数,若对任意的恒成立,求正整数的最大值.【解析】..单调递增，。....为3.【例2】已知函数,,若,且不等式在上恒成立,求的最小值.【解析】不等式为在上恒成立,不等式在上恒成立.成立.设,则.当时,.设,在上是增函数,,存在,使得.当时,.当时,.在上单调递增,在上单调递减.,则 的最小值为2.【例3】知函数，若恒成立,求实数的取值范围.【解析】由可得分离可得.令..,设.则.在上单调递增.存在唯一的,使得当时,,即.当时,,即.故在上单调递减,在上单调递增.,由于,得.再对两边取对数得...即实数的取值范围.隐零点缩小参数取值范围——分类讨论分类讨论法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类讨论的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满足条件时,要利用隐零点来辅助验证,从而排除并缩小范围.【例1】若不等式在上恒成立,求的取值范围.【解析】由题意,在上恒成立.(1)若,当时,显然有恒成立,不符题意.(2)若,记,则，显然在单调递增.(1)当时,.时,.(2)当时,,.存在,使.当时,.当时,.在上单调递减,在上单调递增.当时,,不符合题意.综上所述,所求的取值范围是.注意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.【例2】设函数),对任意恒成立,求实数的取值范围.【解析】令,则成立等价于,①若,当,则,而,即恒成立.②若,则,当,由得是减函数,.又在上是减函数,此时当.③若,在有零点.在区间,设,在上是减函数,即在有唯一零点,且在上,.在为增函数,即在上.,不合题意.综上可得,符合题意的的取值范围是.注意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.【例3】已知1),,若恒成立,求实数的取值范围.【解析】令问题转化为在上恒成立.,注意到.①当时,,,,.存在,使.当时,单调递减,,不满足题意.②当时,.,在上单调递增.,满足题意.综上所述,.【例4】已知函数,若对任意恒有不等式成立,求实数的值.【解析】由