高中数学 函数的应用(一) 知识点精讲及重点题型训练

3.4函数的应用(一)

❾知识导图

----------------------------OL函数的意义

"-1J。2、一次函数模型

函数的应用图—一|3、

----------------------------)4、分段的数横型

----------------------------15、生产生活中的**最优化”问题

@知出精讲

知识点一用函数模型解决实际问题的一般步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.

可将这些步骤用框图表示如下：

实际问题|分析'联想'抽象'转化♦建立函数模型

数

问

学

题

解

解

答

决

▼

转译

实际问题结论数学问题结论

知识点二常见的函数模型

（1）一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小.现实生活中很多

事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等.

（2）二次函数模型二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故最

优、最省等问题常常是二次函数的模型.

（3）分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实

际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.

.重点题型_

（一）一次函数模型的应用

一次函数为：y=kx+b（k0）

例1.（1）、（2021•全国•高一专题练习）甲、乙两人沿着同一方向从A地去B地，甲前一半的路程使用速度

匕，后一半的路程使用速度匕；乙前一半的时间使用速度匕，后一半的时间使用速度匕，关于甲，乙两人从

A地到达8地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴，表示时间，纵轴$表示路程匕<3）可能正确的

图示分析为（）

（2）、（2022•高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案,

方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：

方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公

里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算.以下说法正确的是（）

A.方案二比方案一更优惠

B.乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二

C.乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二

D.乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二

【变式训练1-1】、（2022•高一单元测试）（多选题）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）

记为》，观影人数记为x,了关于x的函数图像如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人

员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后V关于x的函数图像.给出下列四种说

法，其中正确的说法是（）

A.图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本

B.图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本

C.图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变

D.图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本

【变式训练1-2】、（2020•全国高一课时练习）一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度

如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水;

③4点到6点不进水不出水.其中一定正确的论断序号是.

（-）二次函数模型的应用

二次函数：形如y=a/+bx+c（aw0）

例2、（1）、（2022•全国•高二课时练习）把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这

两个正三角形面积之和的最小值是（）

3

A.—>/3cm-B.4cm2C.3V2cm2D.2^3cm2

（2）、（2023•全国•高一假期作业）（多选题）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品

获得的月利润。（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费

不高于16万元，且?（》）=-42+6>20,利润率了=M2现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确

5x

的是（）

A.此时获得最大利润率B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润

【变式训练2-1】、（2021•全国•高一专题练习）（多选题）某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.

经过调查，若单册价格每提高02元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂

志可以定价为（）

A.2.5元B.3元

C.3.2元D.3.5元

【变式训练2-2]、（2022秋・广西桂林•高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500

个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为元.

例3.（2022•全国•高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩

形花园/BCD,己知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为x米.

<---------25m-------->

MA~\[D_N

BC

（1）当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

（2）若围成的矩形/BCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【变式训练3-1】、（2022•高一单元测试）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成

一个矩形花园/8C。，已知院墙儿W长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面N8的长为x

米.

（1）当43的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米?

（三）分段函数模型的应用

例4.（1）、（2021•全国•高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租

车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1

公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元,

超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算.以下说法正确的是（）

A.方案二比方案一更优惠

B.乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二

C.乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二

D.乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二

（2）、（2022秋・河南开封•高一校考期末）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为

4x,l<x<10,xeN*

y=<2x+10,10<x<100,xeN\其中x代表拟录用人数，了代表面试人数，若面试人数为60,则该公司拟

1.5X,X>100,XGN*

录用人数为（）

A.15B.40C.25D.13

【变式训练4-1】.（2023•全国•高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到

公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程Mkm）

与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0。^30时，了与x的关系式为了=二苫

【变式训练4-2】.(2022・高一课时练习)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品,

f12

400x—x0<x<400

成本增加100元，已知总收益及与年产量X的关系式R(x)=<j2'一一,则总利润最大时，每

80000,%>400

年生产的产品数量是.

例5.(2022秋•云南曲靖・高一校考期末)巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙

的运河之一，假设运河上的船只航行速度为v(单位：海里/小时)，船只的密集度为x(单位：艘/海里)，

当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只

的速度为45海里/小时，数据统计表明：当54x450时，船只的速度是船只密集度x的一次函数.

⑴当0W尤W50时，求函数v(x)的表达式；

(2)当船只密度x为多大时，单位时间内，通过的船只数量/(x)=xv(x)可以达到最大值，求出最大值.(取

整)

【变式训练5-1】.(2022秋•黑龙江伊春•高三校考开学考试)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅

行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人,

飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000

元.

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

.（四）生产