2023-2024学年重庆市荣昌中学高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年重庆市荣昌中学高二数学上学期期中考试卷

2023.10

(试题总分150分；考试时间120分钟)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.直线丫=°的倾斜角为()

A.0°B.90°C.180°D.不存在

2.已知0为原点，点以。/为直径的圆的方程为()

A(X-1)2+3+1)2=2B.(xT)2+('+1)2=8

.(x+l)2+(y-l)2=222

cD(X+1)+(J-1)=8

3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数

学的对称美如图.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到

八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是()

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.求空间中点"(331)关于平面XOY的对称点A'与BL"⑸的长度为

A.6B.2瓜c.4币D.25/14

5.已知直线11,12分别过点P(—1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转，但始终保持平行，则

11,12之间的距离d的取值范围为()

A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+oo)D.(0,折]

6.三棱锥S-48C中，SN_L底面ABC,"=4,45=3,D为AB的中点，48c=90。，则点D到面

S8C的距离等于()

12963

A.5B.5C.5D.5

7.已知点4-2,0),点8(4,0),点尸在圆(x-3y+a-4>=20上,则使得以1尸8的点P的个数为()

A.0B.1C.2D.3

8.如图，在棱长为2的正方体中，纥尸,@.,.分别是48,863用,44℃|的中点,

过M,N的平面。与平面EFG平行，以平面a截该正方体得到的截面为底面，2为顶点的棱锥记为棱锥

1

。，则棱锥。的外接球的表面积为（）

25K257t257t

A.12B.3c."D.9

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/的方程为3》-2夕+6=°,贝।（）

A.直线/在x轴上的截距为2

B.直线/在＞轴上的截距为3

C.直线/的倾斜角为锐角

D.过原点°且与/垂直的直线方程为2x+3y=°

10.已知直线4："+2y+3a=°和直线/2：3x+（a-l）y+7-"=0,下列说法正确的是（）

A.当。=3时，"〃2B.当"一2时，

_2

C.当“一《时，4，/2D.直线4过定点（一二°）,直线12过定点（一21）

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距

离之比为定值力（儿＞°且/"）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

M=1

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中，/（-2,0）,8（4,0）点p满足「同2,设点p

所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

A.C的方程为（x+4『+/=16B在c上存在点口，使得D到点（1,1）的距离为10

C.在C上存在点M,使得|"°卜2|屐C上的点到直线3x-4y-13=°的最大距离为9

12.若正方体的棱长为I,且=+,其中则下列结论正

确的是（）

A.当“―5时，三棱锥尸-804的体积为定值

B.当时，三棱锥尸的体积为定值

指+/

C.当机+a=l时，尸/+尸8的最小值为2

2

D若=由点p的轨迹为一段圆弧

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设直线的方向向量分别为"=(1，2，-2)3=(-2,3,加)，若则实数m等于.

14.若直线乙的倾斜角为30。，直线则直线12的倾斜角为

15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，

且上底面圆半径为3,若半球的体积为四山〜则圆台的体积为

16.已知/是圆C:/+y2=i上一个动点，且直线/1：mx-〃y-3m+"=0与直线

4：外+叩-3m-〃=0(“,〃eR,加+/HO)相交于点p,则|尸榻的取值范围是

四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线1经过点尸(43),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.

(1)若点O到直线1的距离为4,求直线1的方程；

⑵若40AB面积为24,求直线1的方程.

18.如图，已知圆锥的底面半径厂=2,经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB,点Q为半圆弧AB的

中点，点P为母线SA的中点.

(1)求此圆锥的表面积；

(2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值.

19.已知圆Ux'y2-2y-4=0,直线/：〃?x-y+l-/M=0(/nwR)

(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线/与圆C的位置关系；

(2)设直线/与圆C交于A、B两点,若直线’的倾斜角为120。，求弦48的长.

20.如图，已知在矩形ABCD中，E为边48的中点，将VADE沿直线DE折起到(4任平面ABCD)

的位置，"为线段4c的中点.

3

A\

M

(1)求证：8M〃平面4°E；

(2)已知48=240=2加,当平面4DE，平面时，求直线8”与平面4℃所成角的正弦值.

21.已知圆°：/+/_2”0,点6(4,2)

(1)求过点G并与圆C相切的直线方程；

(2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动(A在B左边),且=L求忸忸的最小值.

22.如图，三棱锥P-/8C中，点尸在底面的射影。在A/8C的高CD上，。是侧棱尸C上一点，截面以8

与底面N8C所成的二面角的大小等于NOPC的大小.

⑴求证：^^,平面以巴

(2)若DQ=4,PQ=DA=DB=2,求平面尸与平面BPC所成夹角的余弦值.

4

1.B

【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.

【详解】因为直线x=°与x轴垂直,

所以直线x=°的倾斜角为90°.

故选：B

2.A

【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解.

【详解】由题知圆心为°'一1）,半径'一近，

圆的方程为（1>+3+1）2=2.

故选：A.

3.C

【分析】将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB与CD所

成角的大小.

【详解】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点。为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为

2

则」（l,0,2）,5（0,l,2）,C（0,2,l）,D（l,2,0）

=8=（1,0,-1）,设异面直线AB与CD所成角为。

\AB-CD\1

COS0=

画.瓯二万/2

所以故8=60。

故选：C

4.D

【分析】先求出点“（331）关于平面XOY的对称点©的坐标，再利用空间两点的距离公式可得结果.

【详解】点“（331）关于平面XOY的对称点A'的坐标为GST）,

222

所以，©与网-1,1,5）的长度为⑷B=7（3+1）+（3-1）+（-1-5）=2拒

故选D.

5

【点睛】本题主要考查空间两点的距离公式的应用，属于基础题.

5.A

【分析】先判断当两直线11,12与直线PQ垂直时，两平行直线11,12间的距离最大，计算得到最大值,

进而得到范围.

【详解】当两直线11,12与直线PQ垂直时，两平行直线11,12间的距离最大，

最大距离为间kg4+[3-（T）T=5

所以11,12之间的距离的取值范围是

故选：A

6.C

【分析】在三角形SAB内作AE1SB交SB于E,进而根据条件证明AEL面SBC,算出AE的长度,

再根据D为AB的中点得到答案.

【详解】如图，

在三角形"8中，过A作AEJ_SB交SB于E,

因为“，面/8C,所以S/L8C,又ABJ.BC,SAcAB=A,所以8cl面”8,因为ZEu面S/8,

所以8C_LRE,而AELSB,且8CnS8=5,所以AE,面SBC.

AE=—

在三角形SAB中，由勾股定理易得58=5,则由等面积法可得：5,因为D为AB的中点，所以

D到平面SBC的距离为：5.

故选：C.

7.C

【分析】利用P/J-尸8求出点P的轨迹方程为（x-l>+V=9,再根据圆心距与两圆的半径的和的大小

关系可得两圆相交，从而可得结果.

【详解】因为点“（一2，°）,点尔4,0）,且41PB,所以点P的轨迹是以48为直径的圆，

圆心C（L0）,半径为3,其方程为（xTf+/=9,

所以两圆的圆心距为J（3-l）2+（4-0）2=而=2后,两圆的半径和为2有+3,

因为2逐+3>2石，所以两圆相交，所以满足条件的点P的个数为2,

6

故选：c

8.B

【分析】求出平面&与正方体的截面，利用棱锥外接球的性质求出球半径，即可得出球表面积.

［详解】分别取皿DC,4片,8c的中点P，。，S,R,依次连接M,P,Q,N,R,S得到正六边形，如图,

由EF//PQ,所(Z平面MPQNRS,P0u平面MPQNRS,

可知EFH平面MPQNRS,同理EG〃平面MPQNRS,

又EFCEG=G,EF,EGu平面EFG,

所以平面MPQNRS与平面EFG平行，所以该正六边形就是平面a与正方体的截面,

设该棱锥的外接球球心为°,半径为*，如图，

连接世,$。,”?相交于点长，连接A",则球心°在线段上，连接衣。,

因为KR=〃K=P0=g/C=应，="+”」=逐,

所以=6,

所以在Rt△。就中可得*=(◎+®R),

解得“¥

S=4成"=—

所以外接球的表面积为3

故选：B

9.BCD

【分析】根据直线方程，分别令x=°J=°即可判断AB,由直线斜率可判断C,求出原点°且与/垂直

7

的直线方程即可判断D.

【详解】在以―2歹+6=0中，令y=0,得x=-2,所以A不正确；

令x=°,得>=3,所以B正确；

k=->0

因为直线1的斜率为2,所以直线1的倾斜角为锐角，故C正确；

因为与1垂直的直线方程可设为2x+3y+"?=。，又直线过原点，所以加=0,故D正确.

故选：BCD

10.ACD

【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述

过程中注意区分。等于1和不等于1的情况.

a_3

［详解］对A和B,如果〃〃2,贝M和4的斜率相等，awl时2a-1,/-a=6,解得a=3或a=-2.

当。=1时，4：x+2y+3=o,4：x=-2,两直线既不平行也不垂直.

当a=3时，4：3x+2y+9=0,/2：3x+2y+4=0,,人对.

B

2

==

2512

a----1

5对

时5

当

对C52C

对D,《：ax+2y+3a=0转化为斜截式为了=_5"_3）,即尸°=一5（'-3）,所以4过定点（一对）洞

3x13x

4：3x+（a-l）y+7-a=0,时转化为斜截式为）a_^2）+:即尸a_^之）/过

理,

定点（々I）；”1时，4为x=-2,也过定点（々I）,口对.

故选：ACD.

11.AD

【分析】由题意可设点尸（"'A,由两点的距离公式代入化简可判断A选项；由两点的距离公式和圆的

圆心得出点（1,1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B选项.设“（X。，%）,由已知得

«+只=24%+2）-+*,联立方程求解可判断c选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线

3x-4y-13=°的最大距离，由此可判断D选项.

\PA\_1j（x+2）=J

【详解】解：由题意可设点KM,由"（々°）,3（4,0）,>2；得2,

化简得/+/+8》=0,即（X+4『+/=16,故人正确；

8

点（1,1）到圆上的点的最大距离JT-l）+°一°）+4<10,故不存在点D符合题意，故B错误.

设"（x。,"）,由|苗。|=2|例/|,得也：+，=2+2）+y；,又1+4）+就=16,联立方程消去为得

*。=2,解得外无解，故C错误；

"3x-$

C的圆心（-4,0）到直线3X-4J，-I3=°的距离为5，且曲线C的半径为4,则C上

的点到直线缄-4）-13=°的最大距离"+『=5+4=9,故D正确；

故选：AD.

12.AC

【分析】当“一5时，可得点P的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P到平面80片的距离不

变，即可判断A的正误；当“一5时，可得点P的轨迹，利用反证法可证，P到平面的距离在变化,

即可判断B的正误；当加+〃=1时，可得4、P、。三点共线，利用翻折法，可判断C的正误；如图建系,

求得各点坐标，分别求得“尸。3和“8Q田的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D的正误，即可得

答案.

【详解】因为=+,其中"00,1],〃e[0,1],

所以点P在平面内运动，

对于A：取AD中点E、'Q中点F,连接EF,

所以EF//4A，/BB、

因为EF<Z平面BDB],BB、u平面BDB^

所以EE//平面

1—►1—>-.

m=-AP=-AD^-nAA]

当2时，则2,

所以点P在线段EF上运动，

因为斯//平面

所以无论点P在EF任何位置，P到平面8。纥的距离不变，即高不变，

所以三棱锥尸一8。片的体积为定值，故人正确；

9

Di

对于B：取"4中点G,中点H,连接GH,

1——1—

n=—AP-mAD-\--AA,

当2时，2所以点P在GH上运动，

假设G"//平面

又GA//BB、,6/0平面8。4，88IU平面8。81,所以G4//平面,

因为G4cG，=G,GH,GAu平面G/fflZ,

所以平面G"D4//平面与已知矛盾，故假设不成立，

所以GH不平行平面

所以P在GH上运动时，P到平面的距离在变化，

所以三棱锥尸一8。鸟的体积不是定值，故B错误；

对于C：连接"/，BD,当机+〃=1时，可得4、P、。三点共线,

将“4A沿4。翻折至与平面4即共面，如下图所示

连接AB,当P为AB与40交点时，P/+P8最小，即为AB,

10

因为4民4。,8。均为面对角线,

所以4。=80=拒，即为等边三角形,

又4/。=90°,A,A=AD=\

所以NADB=N443=1°5。，^ADB^AA.B

所以乙480=30。

ABAD

在△408中，由正弦定理得sinZJOBsinZABD,

所以小焉xsm,=2(sm45…s6(T+8s45加6”

故C正确;

对于D：分别以DA、DC、°乌为x,y,z轴正方向建系，如图所示,

则5(1,1,0),Dx(0,0,1),设P(x,0,z),

所以。尸=(工,0,2-1),。8=(1,1,—1)

DpD]B_x-z+1

cosNPD]B=

|郎||而「/2+(z_l)2.百

所以

因为BB\1平面48|CQ|,B\D\U平面4B]CQi,

所以

又B\D\=6.,BD\=6,

cosZ5lr>1s=^-=—

所以犯3

x-z+1_V6

所以Jx2+(z-3,整理得/+z?+2xz-2x-2z+l=0,

所以(x+z-l)2=0,即x+z-l=0,xe[0,l],ze[0,l]

II

所以P点轨迹为线段，故D错误

【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，

难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.

13.2

1I

【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，=计算即可.

I1

【详解】因为4U，则其方向向量hB，“m=以(-2)+2'3+(-2)加=0,解得〃?=2.

故答案为：2.

14.120°

【分析】由直线垂直及直线倾斜角的定义确定直线4的倾斜角大小.

【详解】由即直线给4夹角为90。，又直线倾斜角©范围为0°4夕＜180。，

而直线4的倾斜角为30。，所以直线4的倾斜角为120°.

故答案为：120。

15.63&

【分析】设半球半径为R,圆台上底面圆半径为尸=3,圆台的高为力，进而并根据轴截面中的几何关系

得〃=3石，再计算体积即可得答案.

【详解】解：设半球半径为火，圆台上底面圆半径为，=3,圆台的高为力.

所以，作出轴截面，如图，

一一噎=-兀店=144兀

因为半球的体积为1447，所以2"3解得R=6,

12

由题意知R2=〃+必，代入解得"=3若，

尸的愉台=/(S上+SF+S^7)=；X3后＜(9兀+36/J9丽367tA63品

所以，圆台体积J3

故答案为：630”

16[72-1,372+1]

【分析】根据直线系求出定点，再由垂直确定动点轨迹为圆，根据圆心距离判断圆的位置关系，利用圆

的几何性质求出归M取值范围即可.

【详解】依题意，直线心皿》7)-"。一】)：。恒过定点43，1),

直线/2:〃(x-1)+m(y-3)=0恒过定点5(1,3),

因为加〃+(-〃加=°,所以直线人,£

因此，直线4与,2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，

其方程为：(*一2)2+3-2)2=2,圆心N(2,2),半径々=&,

而圆C的圆心c(o，°),半径4=1,如图：

1NC|=2近"+/,两圆外离,

由圆的几何性质得：|PMImin=1NC|-，i-2=V?-l,|PA/\=|NC|+4+々=30+1,

所以「"I的取值范围是：[五-1，30+1].

故答案为：[夜—J五+1]

[7（]）7x+24y-100=0

（2）3x+4y-24=0

13

【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解;

（2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解.

【详解】（1）由题意知直线1的斜率存在，

设直线1的方程为N-3=©X-4）,即日一y—必+3=0,

"」5+3|7

则点0到直线1的距离«+1,解得24.

7（1}

故直线1的方程为24.I24）,即7x+24y-100=0

（2）由题意知直线1的斜率存在，

设直线1的方程为k3=的-4）,即丘-尸妹+3=0,

令x=0,可得y=4+3,

,3

八x二4—

令y=o,可得k,

13

S'ABC=-x(3—44)(4_2)=24

所以2k，,即16-9+244+9=0,

解得4,

故所求直线方程为3x+外-24=0.

76

18.（1）127t（2）4

【分析】（1）根据圆锥轴截面及表面积公式计算即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角的余弦即可.

【详解】（1）•••圆锥的底面半径，=2,

经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB,可得"=4,

S，=7tx224--x47tx4=127T

，・・圆锥的表面积2.

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

14

由题意可得SO=26,则5(0,0,26),0(0,0,0),2(020)0(2,0,0),尸伍,1,同

则为=（0,0,-2百），网=（2,-1,一百）

设异面直线PQ与SO所成角的大小为仇

|SOPO|_6V6

COS®=

则瓯|珂一丽；

76

故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为4.

19.（1）圆心（°」），半径君，/与圆相交；

⑵后.

【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r,求出直线1经过的定点，判断定点与

圆的位置关系即可判断1与圆的位置关系；

（2）求出圆心到直线的距离d,根据MM=2犷牙即可求弦长.

【详解】（1）由题设知圆C：

.♦.圆C的圆心坐标为c（°』），半径为r=有.

又直线/可变形为：丁-1="（'-1）,则直线恒过定点M（U）,

..12+（1-1）2=1<5

•,

.•.点M在圆c内，故直线/必定与圆相交.

（2）由题意知机二°,

二直线1的斜率k="?=tanl20°=-JJ,

圆心c（°/）到直线/：百-『°的距离&6¥+，2,

|AB|=2yjr~-d'=2J—-J7-

2痴

20.（1）证明见解析（2）15

【分析】（1）延长C8与。E相交于点P,连接根据中位线证明8M〃4尸，得到证明.

15

(2)证明40,°N,以。为原点，°N,°DQA所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一个z,

计算平面40C的一个法向量为‘"二0』’1),根据夹角公式计算得到答案.

【详解】(1)延长CB与DE相交于点P，连接4P,

为48边的中点，四边形为8。为矩形，

BE=-CD-

：.BE//CDy2为APCO的中位线，为线段CP的中点，

M为线段4c的中点，；.BMH4尸...BMtz平面4DE,4尸U平面A.DE

二〃平面

(2)•.•Z5=2/Z),E为边45的中点，.•.ZQ=ZE,即40=4」,

取线段DE的中点。，连接4°,ON，则由平面几何知识可得40工DEON，CE,

又•；四边形4BCD为矩形，AB=2AD,E为边AB的中点，

•DEICEDELON

,,,,

・.・平面AQE1平面ABCD,平面ADEA平面ABCD=DE1,4。1DE,...AQ1平面ABCD,

・.・ONq平面ABCD,.・・4。-LON,

..•以。为原点，所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一型，

则

5(1,-2,0)C(2,-l,0)4(0,0,1)。(0,1,0)就=(2,-l,T)DC=(2-2,0)

，，，，，，，

in-AiC=0[2x—y—z=0

设平面的一个法向量为加=(x,y,z),则[而・℃=(),即⑵-2y=0,

不妨取x=l,则k1,z=l,即机=(1，1，1),

16

设直线与平面"QC所成角为e,则

2_2730

sin^|cos^^l=15wi

2痴

【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

2].⑴8x-15y-2=0或y=2⑵3近一1

【分析】（1）设切线方程为V-2=%（X-4）,利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；

（2）“刁的