人教A版高中数学 课时跟踪检测（九）直线与椭圆的位置关系

课时跟踪检测(九)直线与椭圆的位置关系

一'基本能力达标

X2V2

1.直线产丘T+1与椭圆点+；=1的位置关系为()

A.相切B.相交

C,相离D.不确定

解析：选B直线y=Ax—儿+1可变形为y—l=A(x—1),故直线恒过定点(1,1),而该

22a2

点在椭圆]~+；=1内部，所以直线产Ax一4+1与椭圆方+；=1相交，故选B.

22

2.过椭圆乐=13乂＞0)的焦点尸(c,0)的弦中最短弦长是()

A2b22a2

A.—BM.f

ab

解析：选A最短弦是过焦点厂(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦.将点(c,y)的坐标代

入椭圆也+方=1,得尸土。故最短弦长是拳

3.若直线Ax-y+3=()与椭圆盖+?=1有两个公共点，则实数k的取值范围是()

Ad明

B挎阖

C(-8,一叫U圈+8)

D.J一与T鸣

(y=kx+39

解析：选C由彳£+已_]得(4/+1)炉+24依+20=0,当/=16(16/-5)＞0,即

心＞坐或衣一坐时，直线与椭圆有两个公共点.故选C.

4.已知椭圆C:^+^=1,过点，的直线与椭圆C相交于A,8两点，且弦A8

被点尸平分，则直线48的方程为()

A.9x—j—4=0B.9x+j—5=0

C.4r+2y-3=0D.4x-2j-l=0

解析：选B设A(xi,yi),5(X2,J2).

•.,点A,8在椭圆上，

.唔+R=1,①

g+M=l.②

①一②，得侬拄臀㈤+(X1+X2>(X1-*2)=0.③

VPQ,§是线段43的中点，

AX1+X2=1,Ji+j2=l,

代入③得郎音=-9,即直线A5的斜率为-9.

故直线AB的方程为y—2=-9(x—；),

整理得9x+y—5=0.

5.已知椭圆C：专+炉=1的右焦点为凡直线/：x=2,点4日，线段A尸交椭圆C

于点B,若铉=3了耳，则/7|=()

A.^2B,2

C.y/3D.3

解析：选A设点A(2,"),B(x0,jo).

由椭圆C：;+产=1知/=2,方2=1,

.\c2=l,即c=L...右焦点尸(1,0).

由启=3m得(1,n)=3(xo-l,yo).

l=3(xo—1)且n=3yo-

._4_1

•♦Xo-yJo-3〃・

将Xo,yo代入予"y2=l.

X

得-X

2

解得“2=1,

/.|AF|=^/(2-l)2+n2=Vi+i=隹

6.已知斜率为2的直线/经过椭圆?十号=I的右焦点为，与椭圆交于A,8两点，则

\AB\=.

解析：因为直线,经过椭圆的右焦点Fi(l,0),且斜率为2,则直线/的方程为y=2(x-

1）,即2x—y—2=0.

f2x—j—2=0,

由［已+已_］得3X2-5X=0.

设A（X1,Jl）,B（X2,J2）,则Xl+%2=*X1X2=O,

22-

所以|A31=1+k*y/（xi+x2）4XIX2

=W+22）［（沪4X0卜唔

答案：平

7.已知尸I，尸2是椭圆的两个焦点，满足谒•麻河=0的点M总在椭圆内部，则椭圆

离心率的取值范围是.

解析：•话•L碇，...点M在以尸1尸2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，：.c<b,

2222

.\c<b=a—c,即2c2Q2,即§<乎.又e>0,0<e<^.

答案：(o,9

8.已知椭圆的方程为各月=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,8两点，?2是椭圆的

右焦点，则445f2的周长的最小值为，△ABF?的面积的最大值为.

解析：设尸1是椭圆的左焦点.如图，连接AB.由椭圆的对称性，

结合椭圆的定义知1461+1861=20=6,所以要使△ABF?的周长y

最小，必有|A8|=2b=4,所以△ABB的周长的最小值为lO.SZkABFz

X2cX

=SAAFlF2=2M=y/5lyAl^2y/5,所以△A8F2面积的最大值为

2小.

答案：102y[5

9.设椭圆C：g=13>6>0)过点(0,4),离心率为g.

(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为玄的直线被C所截线段的中点坐标.

解：⑴将(0,4)代入C的方程得患=1,：.b=4.

„c3^a2~b29169

。5'25'a125'

=・・・的方程为

/•tz5,C去+旨L

4.4

(2)过点(3,0)且斜率为《的直线方程为y=g(上一3).

设直线与。的交点为A(xi,ji),3(工2,Ji),将直线方程y=%—3)代入C的方程，得嘲

3

(x—3)2XI+2XX2-J1+J2J2

2

+2-=1,即*2—3*—8=0,解得XI+M=3,的中点坐标

=|(xi+x2-6)=—I，即中点坐标为g,一

10.如图，已知椭圆7+6=l(a>b>0),Ft,尸2分别为椭圆的

左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线A尸2交椭圆于另一点反

(1)若/入A8=9()°,求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2,且京=2将，求椭圆的方程.

解：⑴若NFiA3=90°,则△4。尸2为等腰直角三角形.所以有|。4|=|0尸2|,即b=c.

所以a=pc,e=^=•

⑵由题知A(0,b),尸2(1,0),设成x,y),

9展

-

449

避解得

------>------>3hi?2十

一

由尸解得，产―•代入方官

A2=2/2B,x=25u+=1层

a2=3,力2=2,

所以椭圆方程为¥+9=1.

二、综合能力提升

1.若直线町=4和圆O：炉+72=4没有交点，则过点P(/n,〃)的直线与椭圆方+

?=1的交点个数为(

A.2

C.0D.0或1

4

解析：选A由题意，得/,>2,所以/«2+/»2<4,则一—2<n<2,所以

\jm2+n2

点PQ〃，")在椭圆]+§=1内，则过点PQ",")的直线与椭圆方+[=1有2个交点.故选

2.椭圆“A+HyZui与直线7=1-汇交于知，/V两点，过原点与线段M/V中点所在直

线的斜率为乎，则々的值是()

A普B.平

「岖n2^3

227

/nx2+nv2=1,

解析：选A由.消去y得，

ly=l-x

(m+n)x2-2nx+n-l=0.

设AfgJi),MM,J2),M/V中点为(Xo,JO),

则Xl+X2=〃?+”,•••X0=〃?+〃，

代入y=i一"得

由题螳邛,.谭邛，选A.

Xo/Hit

3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上，则二、的最小值为(

X/

A.1B.-1

C.一¥D.以上都不对

解析：选C设一匕=4，则y=A(x—2).

x/

4x2+j2=4,

由消去y,整理得

y=k(x~2)

(*2+4)*2-4it2x2+4(Jt2-1)=0,

J=16Jl4-4X4(Jl2-l)(*2+4)=0,

解得《=；.Amin=一斗士选C.

4.已知椭圆E：，+g=l(a»>0)的右焦点为尸(3,0),过点F的直线交E于A,5两点.若

A3的中点坐标为(1,一1),则E的方程为()

A•各导1X2V2

B-36+27=1

焉+g=l

解析：选D因为直线AB过点歹(3,0)和点(1,-1),

所以直线AB的方程为J=T(X-3),

代入椭圆方程,+方=1消去外

得仔+庐）*2—泰2*+/2一层加=0,

3,

2a

所以AB的中点的横坐标为7-----^=1,即〃=2",

2”）

又〃2=炉+。2,所以力=c=3.

所以E的方程为』■gE.

5.过点"（1,1）作斜率为一:的直线与椭圆C：5+g=l（a>/»0）相交于A,8两点，若

M是线段48的中点，则椭圆C的离心率等于.

解析：设4（凡山），5S,四，分别代入椭圆方程相减得越出詈土应+但二军吐以

=0,根据题意有XI+M=2X1=2,yi+y2=2Xl=2,且;_；；=-：,所以宗+专义（一；）=

0,得。2=2从，所以“2=2（，一。2）,整理得”2=2C2,所以^=#，即e=哗.

a乙乙

答案：乎

6.（2019•浙江高考）已知椭圆至+点=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若

线段PF的中点在以原点。为圆心，|。为为半径的圆上，则直线尸石、的斜率是.

解析：依题意，设点尸（孙〃）（心0）,

由题意知尸（-2,0）,

所以线段尸产的中点4一2乡在圆》2+丁2=4上，

所以仔泻2+0•①

又点、P（m,〃）在椭圆］+为=1上，所以l"+gn.②

联立①②，消去n,得4m2—36/n—63=0,

工„3上2i..、

所以旭=-5或机=5"（舍去），〃=々一,

警。

所以kpF==yj15.

一一（一2）

答案：y/15

7.在平面直角坐标系xOy中，点尸到两点(0,一仍)，(0,小)的距离之和等于4,设

点P的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设直线y=h+l与C交于4,3两点，k为何值时市LOB?此时以5|的值是多少.

解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知，点尸的轨迹C是以(0,一小),(0,5)为焦点，

长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长6=722—(小)2=1.

故曲线C的方程为目+*2=1.

y=kx+1

(2)设A(X1,J1),5(X2,J2),联立|2_l_4294

[y2+4x2=4.

消去以并整理，得(d+4)工2+2h一3=0.

由根与系数的关系得

,_2k_3

X\~VX2—一炉+4，Xl"2—一女2+4，

若OA±OB,则xiX2+jij2=0.

因为JU2=(kx\+l)(kx2+1)

=k2XlX2+k(Xl+x2)+l,

圻33k22k2

所以不切+刈力__/+4_/+4_标+4+1

4A2—11

=一费不了=o，所以&=±亍

1412

当A=±5时，工1+皿=号万，不必=一丁彳

所以\AB\=y]l+k2*y](X}+x2)2^4x\X2

=[9[(珞＞+4'用=嗜.

8.在直角坐标平面内，已知点4(2,0),仇一2,0),P是平面内一动点，直线E4,P8斜

率之积为一;.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

⑵过点Q,0)作直线/与轨迹C交于E,F两点,线段E尸的中点为M,求直线K4的

斜率G