2023年新高考数学大一轮复习 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题(原卷版)

专题21利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离的问题

【考点预测】

知识点1：线与线的夹角

.在而吉建J平行直线

（1）位置关系的分类：共面直［相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线,把"与，所成的锐角（或

直角）叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.

②范围：（0,-］

2

③求法：平移法：将异面直线a,6平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

②范围：［0*-］

2

③求法：

常规法：过平面外一点3做班'，平面a,交平面a于点3'；连接AB',则44sz即为直线与平

面。的夹角.接下来在中解三角形.即豆11/瓦:'=幽=云4玄（其中“即点3到面a的距离,

AB斜线长

可以采用等体积法求〃，斜线长即为线段4?的长度）；

知识点3：二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，

这两个平面称为二面角的面.（二面角或者是二面角A-CD-B）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于

棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围［0,万］.

（3）二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，

如图在二面角夕-/-£的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面£和月内作垂直于棱的射线。4和

OB,则射线和03所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就

相当于求两条异面直线的夹角即可）.

法二：三垂线法

在面々或面刀内找一合适的点A,作AO,月于O,过A作于3,则30为斜线"在面刀内的

射影，NABO为二面角a-c-夕的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作AO_L/?于＜9；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作AB_Lc于3,连接30；

③计算：/AB。为二面角力的平面角，在放△ABO中解三角形.

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面

积公式（cose='t=&g,如图2）求出二面角的大小；

斜

ssABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为

补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面

积法解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：过二面角内一点A作于8,作AC，乃于C,面ABC交棱a于点O,则ZBOC就是二面

角的平面角.如图3.此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了.

知识点4：空间中的距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解.

【题型归纳目录】

题型一：异面直线所成角

题型二：线面角

题型三：二面角

题型四：距离问题

【典例例题】

题型一：异面直线所成角

例1.（2022.吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCZ）-44aq中,

”,乂耳尸分别是。。,8（7,62的中点，则异面直线与EF所成的角为（）

D\F______0

AB

ABcDn

-1-1-i-7

例2.（2022•四川内江•模拟预测（理））如图，在直三棱柱ABC-A笈G中,BClffiACC^,CA=CC\=2CB,

则直线BG与直线A耳夹角的余弦值为（）

A/

BC3

A•当-T-TD.

5

例3.（2022.全国•模拟预测）已知正方体中ABCO-ABCQ,E,G分别为AA，GQ的中点，则直线

CE所成角的余弦值为（）

.屈V30r4君V145

zl•-----RD.-----（_z.-----LnJ.-------

10151515

例4.（2022•全国•模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为4石，母线长为4,点C是底面直径AB所

对弧的中点，点。是母线尸2的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

艮手C-f

例5.（2020•黑龙江•哈师大附中高三期末（文））如图，在正三棱柱ABC-48/G中，AB^AAi=2,M、N分

别是88/和的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）

A至

2

例6.（2023•全国•高三专题练习（文））如图，在四面体A8CD中，ZBCD=90°,AB_L平面BCD,AB=BC=CD,

尸为AC的中点，则直线8尸与所成的角为（）

A

例7.（2022.河南省杞县高中模拟预测（文））如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，44—平面ABC,ZACB=90。,

8。=然=后，AC=1,则异面直线A。与C4所成角的余弦值为（）

A.昱B.立C.BD.—

3425

例8.（2022.全国•高三专题练习）在正方体A8CD-A'C/Q中，过点C做直线/,使得直线/与直线34

和2/Q所成的角均为70,则这样的直线/（）

A.不存在8.2条

C.4条D.无数条

例9.（2022・湖南•长沙一中高三开学考试）已知点A为圆台502下底面圆。2的圆周上一点，S为上底面圆

。1的圆周上一点，且SOi=l,01。2=6,OiA=2,记直线SA与直线O1O2所成角为凡则（）

八（c兀八（rxn„7C71„717C

A,0,—B.0\0,—C.D.

I6」（3」|_63j|_42J

例10.（2022.湖北武汉.模拟预测）已知异面直线。，b的夹角为8,若过空间中一点尸，作与两异面直线夹

角均为三的直线可以作4条，则e的取值范围是.

例11.（2022.江苏常州.模拟预测）在三棱锥A-BCD中，己知平面BCD,BCLCD,若AB=2,

BC=CD=4,则AC与80所成角的余弦值为.

题型二：线面角

例12.（2022福建.三明一中模拟预测）己知正方体ABC。-4AG2中，AB=2。点E为平面4?。内的

动点，设直线AE与平面42。所成的角为a,若sinc=竽，则点E的轨迹所围成的面积为.

例13.（2022•全国•模拟预测（理））如图，在三棱台A8C-A4G中，平面ABC,ZABC=90°,

AAl=AiBl=BlCi=l,AB=2,则AC与平面BCC4所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

例14.（2022•河南安阳•模拟预测（理））如图，在三棱锥尸-4BC中，底面A8C是直角三角形，AC=BC=2,

PB=PC,。为AB的中点.

（1）证明：BCLPD-

（2）^AC±PB,B4=3,求直线R1与平面PBC所成的角的正弦值.

例15.（2022・河南安阳•模拟预测（理））如图，在四面体A8CD中，AB=AD,BC=CD,E为8。的中点,

尸为AC上一点.

A

(1)求证：平面ACE±平面BDF；

(2)若/BCD=90。，ZBAD=60°,AC=0>BC,求直线BP与平面AC。所成角的正弦值的最大值.

例16.(2022•吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习)如图，已知四棱锥尸-ABCD中，PD_L平面ABCD,

且A8〃DC,4AB=DC,PM=gp(J.

(1)求证：PA平面MOB；

TV

(2)当直线PG丛与底面ABC。所成的角都为二，且。C=4,D4，AB时，求出多面体的体积.

例17.(2022•全国•高三专题练习(文))已知正三棱柱A8C-A8c中，AB=2,M是与G的中点.

(1)求证：AG〃平面AMB；

(2)点尸是直线AG上的一点，当AG与平面A3C所成的角的正切值为2时，求三棱锥尸-4MB的体积.

例18.(2022•四川省模拟预测(文))如图，在四棱锥6-ABCD中，底面ABCD为矩形，SAD

为等腰直角三角形，SA=SD=2A/2»AB=2,尸是BC的中点.

(1)在上是否存在点E,使得平面SEF，平面A3CD,若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明

理由.

(2)ASBC为等边三角形，在(1)的条件下，求直线SE与平面S8C所成角的正弦值.

例19.(2022•江苏南通・模拟预测)如图，在矩形ABC。中，AB=2AD=4,M,N分别是AB和CD的中点,

产是的中点.将矩形沿MN折起，形成多面体AAffi-LWC.

(1)证明：平面ANP；

(2)若二面角A—MN—2大小为120。，求直线AP与平面ABC。所成角的正弦值.

题型三：二面角

例20.(2023•河北•高三阶段练习)如图，ABCD为圆柱OO'的轴截面，斯是圆柱上异于A£>,3C的母线.

F

(1)证明：BE1平面DEF；

(2)若AB=BC=#，当三棱锥5-DE厂的体积最大时，求二面角3-。尸-E的正弦值.

例21.(2023•全国•高三专题练习(理))如图，在三棱锥P-ABC+，AB^BC^2,PA=PB=PC=AC=2^2，

。为AC的中点.

(1)证明：P。，平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为布，求二面角M-妖-。的平面角的余弦值.

例22.(2022•广东•大埔县虎山中学高三阶段练习)如图，A8是圆的直径，出垂直圆所在的平面，C是圆

上的点.

(1)求证：平面以C_L平面尸BC；

(2)若A2=2,AC=1,B4=l,求：二面角C-PRA的正切值.

例23.(2022•北京•景山学校模拟预测)如图，正三棱柱ABC-AAG中，E,尸分别是棱人4,CG上的点,

平面3EFJL平面M是A3的中点.

(1)证明：CM〃平面BEF；

(2)若AC=AE=2,求平面3所与平面43c夹角的大小.

例24.(2022・湖南•雅礼中学二模)如图，在正方体ABC。一中，点E在线段皿上，CE=2EDt,

点尸为线段AB上的动点.

(1)若E尸，平面ADRA，求"AF的值;

FB

(2)当尸为A8中点时，求二面角E-DP-C的正切值.

例25.(2022.天津•耀华中学一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面MCD_L平面ABE,AB//DC,AB1BC,

AB=2BC=2CD=2,AE=BE=5点用为BE的中点.

（1）求证：CM■〃平面ADE；

（2）求平面EB£（与平面3DC夹角的正弦值;

例26.（2022•浙江・海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形4BCD中，AD//BC,ABLAD,AD=AB=-BC.

2

现将△ABD沿BD折起，使得点A到E的位置.

（1）试在BC边上确定一点F,使得BDYEF-,

（2）若平面平面80,求二面角E-BC-D所成角的正切值.

例27.（2022・湖北武汉•模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，平面R4C，平面A3C,PA=PC=4,AB1BC,

D,E分别为PC,AC中点，且应），AC.

（1）求”的值；

DC

（2）若AC=4,求二面角E—BD—C的余弦值.

例28.（2022•陕西•西北工业大学附属中学二模（理））在如图所示的圆锥中，以、9、PC是该圆锥的三条

不同母线，/、N分别为上4、PB的中点，圆锥的高为底面半径为r,h:r=3:2,且圆锥的体积为32Tl.

p

（1）求证：直线MV平行于圆锥的底面;

（2）若三条母线R4、尸3、PC两两夹角相等，求平面MNC与圆锥底面的夹角的余弦值.

例29.（2022•天津河北•二模）如图，四边形ABC。是边长为2的菱形，ZABC=60°,四边形B4CQ是矩形,

上4=1,且平面PACQ-L平面A2CD

（1）求直线8P与平面B1C。所成角的正弦值;

（2）求平面8P。与平面DP。的夹角的大小；

例30.（2021•江苏苏州•高三阶段练习）已知四棱锥Q-A8C。的底面A8CD是边长为2的正方形，且平面

QAD_L平面ABCD.

（1）证明：AB±QD.

（2）若点Q到平面ABCD的距离为2,记二面角的正切值为加，求,+QD的最小值.

m

题型四：距离问题

例31.（2022・四川广安•模拟预测（文））如图，四棱锥E-ABCD中，底面A2CD为直角梯形，其中ABL3C,

CD//AB,面面ABC。，5.AS=AE=SE=2BC=2CD=4,点M在棱AE上.

(1)若2EM=AM,求证：CE〃平面BOM.

(2)当AE_L平面MBC时，求点E到平面的距离.

例32.(2022•全国•模拟预测(文))如图，在三棱锥P-ABC中，平面上钻，平面ABC,AC=BC,PA=PB,

且点C在以点。为圆心AB为直径的半圆AB上.

(1)求证：AB1PC；

(2)若AC=2,且PC与平面ABC所成角为二，求点3到平面PAC的距离.

例33.(2022•河南安阳•模拟预测(文))如图，在三棱锥尸-ABC中，底面A8C是直角三角形，AC=BC=2,

PB=PC,。为A8的中点.

B

(1)证明：BC±PD；

（2）若Rl=3,PB=布,求点A到平面PCC的距离.

例34.（2022・全国•高三专题练习）如图，在直棱柱ABC。-42。口中，底面A3CD是直角梯形，

ABHDC,ABLBC,AB=3Z）C=3,BC=6,点尸在面AOQA上，过点尸和棱台片的平面把直棱柱分成体

积相等的两部分.

（1）求截面与直棱柱的侧面BCC内所成角的正切值;

（2）求棱D2到截面的距离.

例35.（2021•湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知.ABC为等边三角形，D,£分别为AC