中考数学知识点与经典题型练习 最值问题中的构造圆与隐形圆模型(解析版)

专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型

【模型展示】

隐形圆解决点圆最值

平面内一定的D和。O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值

和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d,。。的半径为r）

1、点D在。O外时，d>r,如图：

当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r,DM的最小值

为d-r;

2、当点D在。O上时，d=r,如图：

特点

当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r,DM最小值为d-r=O（即

点D与点M重合）

3、当点D在。O内时，d<r,如图

当点D、0、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r,DM最小值为∣d-r∣=r-d;

点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题：

构造圆解决点圆最值

一、定点定长

1,O为定点，OA=OB,且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P

在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：

P落到Pl处,O、PKQ三点共线时，PQ最小。

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,AB=4cm,Cf）是中线，点E、F同时从点

。出发，以相同的速度分别沿OC、OB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE

分别与CABC相交于G、H,则在点£尸移动过程中，点G移动路线的长度为（）

A.2B.πC.2πD.——π

2

【答案】D

【详解】解：如图，

*：CA=CB,N4C8=90。，AD=DBf

.∖CD±AB,

・•・NAOE=NCoF=90。，CD=AD=DB,

在4ΛDEfi∣∆CD尸中，

AD=CD

</ADE=NCDF,

DE=DF

MADE安ACDF(S4S),

：,/DAE=NDCF,

YNAED=NCEG,

：.NADE=NCGE=90。,

・・・A、C、G、。四点共圆，

・・・点G的运动轨迹为弧CzX

∙.∙48=4,AB=亚AC,

∙*∙AC=2.yp2»

：・0A=OC=母、

9

JDA=DC,OA=OC1

：.DO1.AC,

，NO。C=90。，

.∙.点G的运动轨迹的长为啊也=也π.

1802

故选：D.

2.如图，AACB中，C4=CB=4,NACB=90。，点P为CA上的动点，连BP,过点A作

AΛ∕L8P于当点P从点C运动到点4时，线段BM的中点N运动的路径长为（）

A

A.----πB.∕2πC.√3πD.2π

2λ

【答案】A

【详解】解：设A8的中点为。，连接N0,如图所示：

・・・N为的中点，。为48的中点，

：・NQ为卜HAM的中位线，

VAM±BP,

IQNLBN,

：・/QNB=90。,

•••点N的路径是以。5的中点。为圆心，^AB长为半径的圆交CB于。的”,

VCA=CB=4,NACB=90。，

.∙.ΛB=√2CA=4√2.NQBD=45。,

.,.ZDOQ=90°,

Ql)为。。的5周长，

A线段BM的中点N运动的路径长为：9。TX4&=也兀，

180-2

故选:A.

3.如图，在∕⅛ΔABC中，ZACB=RtN,AC=8cm,BC=3cm.。是BC边上的一个动点，

连接AO,过点C作CELAO于E,连接8E,在点。变化的过程中，线段5E的最小值是

()

E

A.1B.√3C.2D.√5

【答案】A

【分析】由乙4EC=90。知，点E在以AC为宜径的。M的CN上（不含点C、可含点N）,

从而得BE最短时，即为连接与。M的交点（图中点E点），8E长度的最小值B£=

BM-ME'.

【详解】如图，

.∙.E在以AC为直径的M的CN上（不含点C、可含点N）,

.∙.BE最短时，即为连接与0M的交点（图中点e点），

在RtΔBCM中，BC-3cm,CM=^AC=4cm,则BM=√βC2+CM2=5cm-

ME1=MC=4cm,

.∙.BE长度的最小值BE=BM-ME=∖cm,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大,

解题时，注意辅助线的作法.

4.如图，RtZVLBC中，ABJLBC,AB=S,BC=6,P是AfiC内部的一个动点，满足

NPAB=NPBC,则线段CP长的最小值为（）

【答案】D

【分析】结合题意推导得NAPB=90。，取AB的中点。，以点。为圆心，AB为直径作圆,

连接。尸；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=O8=gAB=4;根据圆的对称性，

得点P在以AB为直径的0。上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点。、点P、点C

三点共线时，PC最小：根据勾股定理的性质计算得0C，通过线段和差计算即可得到答案.

【详解】ZABC=90°,

.∙.ZABP+ZPBC=90°,

NPAB=ZPBC,

ZBAP+ZABP=90°•

.-.ZAPB=90°,

取AB的中点O,以点0为圆心，A8为直径作圆，连接。P,

A

-.OP=OA=OB=-AB=A

.・.点P在以AB为直径的。上，连接OC交（。于点以

当点。、点R点C三点共线时，PC最小

在RtA>8CO中，

NOBC=90°,BC=6,OB=4,

.-.OC=BOr+BC2=√42+62=2√13，

.∙.PC=OC-OP=2岳-4

.•.「。最小值为2加-4

故选：D.

【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识：解

题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而

完成求解.

5.如图，0的半径是太，P是。上一动点，A是-O内部一点，且AO=G,则下列

说法正确的是（）

①相的最小值为后-√L②心的最大值为灰+石；③当NO4P=90。时，△物。是等腰直

角三角形；④4∕¾0面积最大为∣.

A.①@④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知当A在线段P。上时，刑取最小值，A在PO延长线上时，附取最大值，可

以判断①②是否正确；当NoAP=90。时，根据勾股定理求出A尸的长度，可以判断③是否正

确；作出A点的轨迹圆，知当OA_LP。时，三角形附。面积取最大值，通过计算判断④是

否正确即可.

【详解】解：由题意知，当A在线段Po上时，〃取最小值，A在PO延长线上时，必取最

大值，

的最小值为#-G，出的最大值为几+6，

故①②正确；

当NoAP=90。时，根据勾股定理得：AP="@-（可=6,

即AP=O4,三角形以。为等腰直角三角形，

故③正确；

作出A点轨迹圆如下：

知当OAJ_P。时，三角形附。面积取最大值，最大值为：lx。XG=述,

22

故④错误，

综上所述，正确的序号为：①②③，

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的

最值是解决本题的关键.

6.如图，菱形ABCO边长为4,/4=60。，M是AO边的中点，N是4B边上一动点，将4AMN

沿MN所在的直线翻折得到AA，MM连接4C,则AC的最小值是（）

A.2GB.√3+lC.2√7-2

【答案】C

【分析】根据题意，在折叠过程中A，在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，

当A，C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A∖C三点共线，得出A，的位置，过

点M作MHlDC于点H,再利用含30。的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长,

进而求出A'C的长即可.

【详解】解：如图所示，:MA，是定值，AC长度取最小值时，即A，在MC上.

过点M作MHXDC于点H,

：在边长为4的菱形ABCD中，ZMAN=60o,M为AD的中点，

Λ2MD=AD=CD=4,NHDM=NMAN=60。，

.∙.MD=2,ZHMD=30o,

HD=TMD=I,

HM=yjDM2-DH2=G，CH=CD+DH=5,

∙'∙MC=y∣CH2+MH2=2√7>

ΛAfC=MC-MA,=2√7-2；

故选：C.

NB

【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关

健是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A，的位置.

3

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=：x-3分别与X轴、y轴相交于点A、B,点E、F

4

分别是正方形OACQ的边。£＞、AC上的动点，且DE=A/，过原点。作OH_LEF,垂足

为H,连接HA、HB,则一44B面积的最大值为（）

A.6+5√2B.12C.6+3√2D.三千丝

【答案】D

【分析】先证明ON=CN,再证点”在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上

时，点H到48的距离最大，由相似三角形的性质可求MK,KQ的长，由三角形的面积公

式可求解.

【详解】解：如下图，连接A。，交EF于M连接0C,取ON的中点M,连接MH,过点

M作MQ_LAB于。，交Ao于点、K,作MP_L04与点P,

点A(4,0),点点(0,-3),

.∙.O8=3,OA=4,

-AB=^OB2+OA2=716+9=5»

•・・四边形AeoO是正方形，

ΛODIIAC,AO=AC=OD=AfOC=4正，NCoA=45。，

：.AEDN=ZNAFi/DEN=NAFN,

又YDE=AF,

.∖ΛDEN^^AFN(ASA),

JDN=AN,EN=NF,

・・・点N是AQ的中点，即点N是。。的中点，

・,.ON=Ne=2桓,

OHLEF.

：.NoHN=90。,

・・・点”在以ON直径的圆上运动，

工当点H在QM的延长线上时，点，到AB的距离最大,

Y点M是ON的中点，

・•・OM=MN=0

VMP±OP,NCoA=45。，

OP=MP=↑,

.∖AP=3f

,：ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB+ZAKQ,

/.NAKQ=NABO=NMKP,

又・・・/AOB=/MPK=90。,

JXMPKSS,

.MP_PK_MK

・•拓―/一布，

.1PKMK

**4--3Γ,

：・MK=PK=-,

44

•∙AK—-，

4

VZAKQ=ZABOfZOAB=ZKAQf

：.XNKQsXaBO,

.AK=KQ

••花一丽’

9

∙'∙4_KQ,

~5~~Γ

27

/.KQ=-,

20

52713

・・加=KQ+例K丁犷~5

・•・点〃到AB的最大距离为w+及,

.∙.ZXZMB面积的最大值=1x5x（=+应）=13+5及,

252

故选：D.

【点睛】本题考查」'勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长.

二、填空题

8.如图，长方形ABCQ中，Aβ=2√3,BC=I,点E是QC边上的动点，现将△BEC沿直线

BE折叠，使点C落在点尸处，则点。到点F的最短距离为.

【答案】2

【分析】由题意易得点F的运动轨迹是以点8为圆心，BC长为半径的圆弧，连接BQ,然

后根据隐圆问题可进行求解.

【详解】解：由题意得：点F的运动轨迹是以点8为圆心，BC长为半径的圆弧，

连接BZ）,交圆弧于点H,如图所示：

当点F与点、”重合时，点D到点尸的距离为最短,

：四边形A8C。是矩形，AB=2。8C=2,

DC=AB=2√3,ZBCD=90°,

∙>∙BD=-JBC〜CD。=4>

.*∙DH=BD-BH=4-2=2,即点。到点尸的最短距离为2；

故答案为2.

【点睛】本题主要考查隐圆问题，矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是分析得出点F的

运动轨迹.

9.如图，RrZkABC中，ZACB=90o,NeAB=60。，AB=4,点尸是BC边上的动点，过点

C作直线记的垂线，垂足为Q,当点尸从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为.

【详解】'：AQLCQ,

：.NAQC=90。，

.∙.当点P从点C运动到点B时，点。的运动的轨迹是以AC为直径的半圆匕路径是120

度的弧长，

在RtAABC中，VAB=4,ZB=30o,

：.AC=-AB=I,

2

10.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=S,AB=IO,。是AC上一点，且CO=3,E是

BC边上一点,将△OCE沿OE折叠,使点C落在点F处,连接BF,则BF的最小值为.

A

【答案】3√5-3**-3+3√5

【分析】先由折叠判断出厂的运动轨迹是为以。为圆心，CO的长度为半径的圆，当从。、

尸共线且尸在8、。之间时8尸最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时80、8尸的长度即

可.

【详解】解：由折叠知，尸点的运动轨迹为：以。为圆心，CQ的长度为半径的圆，如图所

可知，当点B、。、F共线，且尸在5、。之间时，BF取最小值，

∙.'NC=90°,AC=S,AB=IO,

.∙.8C=6,

在RfABCO中，由勾股定理得：BD=√CZ)2+βC2=√32+62=3√5.

∙*.BF=BD-DF=36-3，

故答案为：3\[5-3.

【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最

值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出厂点运动轨迹是解题关键.

11.如图，在锐角AABC中，A8=2,AC=R,NABC=60。.力是平面内一动点，S.ZADB

=30。，则CD的最小值是

，D

【答案】3-√3⅛⅛-√3+3

【分析】作于”，证明△AC”为等腰直角三角形，求得BC=石+1,在BC上截取

Bo=AB=2,则AOAB为等边三角形，以。为圆心，2为半径作Θ0,根据/458=30。，可得

点Z)在OO上运动，当经过圆心。时，CD最小，其最小值为OO的直径减去8C的长.

【详解】解：如图，作A〃_LBC"于“，

.".BH=-AB=I,

2

AH=y∣AB2-BH2=√22-l2=√3•

CH=^AC2-AH2=^(√6)2-(√3)2=√3，

.••△AC”为等腰直角三角形，

/.ZACB=45o,

BC=CH+BH=G+1，

在BC上截取BO=AB=2,则4OAB为等边三角形，

以。为圆心，2为半径作。。，

,//408=30。，

点。在。。上运动，

当DB经过圆心。时，CD最小，

最小值为4-(6+1)=3-石.

故答案为：3—ʌ/ɜ.

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和

性质，圆周角定理.解题的关键是得出点。在。。上运动.

12.如图，点A,B的坐标分别为A(6,0),8(0,6),C为坐标平面内一点，BC=2√2.M为

线段4C的中点，连接O",当。M取最大值时，点M的坐标为

【答案】(4,4)

【分析】根据题意可知：点C在半径为2√Σ的。8上.在X轴上取。C=0A=6,连接CD,

易证明OM是AACC的中位线，即得出OM=TCf>,即当OM最大时，Cz)最大，由O,B,

C三点共线时，即当C在。B的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出8。的长，从而

可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值.

【详解】解：如图，：点C为坐标平面内一点，BC=2√2,

,C在ΘB上，且半径为2√∑,

.∖0M=^CD,

即当OM最大时，CQ最大，而O,B,C三点共线时，即当C在。B的延长线上时，OM

最大，

V0B=0D=6,ZBOD=90o,

BD=6√2，

∙∙.CD=6√2+2√2=8近，且C(2,8),

Λ(9Λ∕=yCD=4√2-即OM的最大值为4人，

是AC的中点，则M(4,4),

故答案为：（4,4）.

【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识.确定OM为最大值

时点C的位置是解题关键，也是难点.

13.如图，在矩形ABCZ）中，AB=6,8C=8,点E、尸分别是边AB、Be上的动点，且£尸=4,

点G是E尸的中点，AG、CG,则四边形AGC。面积的最小值为.

An----------------------------------∣D

【答案】38

【分析】首先连接4C,过8作8”J_AC于H,当G在上时，三角形ACG面积取最小值，

此时四边形AGCC面积取最小值，再连接BG,知3G=2,得到G点轨迹圆，该轨迹与8,

交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出8"、GH的长，代入三角形面积公式求解

即可.

【详解】解：连接AC，过B作8“，AC于”，

当G在84上时，^ACG面积取最小值，此时四边形AGCO面积取最小值，

四边形AGCr）面积=三角形ACG面积+三角形As面积，

即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24.

连接BG,由G是EF中点，EF=4知，

BG=2,

故G在以8为圆心，BG为半役的圆弧匕圆弧交8〃于G',此时四边形AGCD面积取最

小值，如图所示，

AD

由勾股定理得：AC=IO,

"：^ACBH=^ABBC,

.∙.BH=4.8,

.∙.G'H=2.8,

即四边形AGCD面积的最小值=LXloX2.8+24=38.

2

故答案为:38.

【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三

角形斜边的宜线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹.

14.如图，AABC为。。的内接等边三角形，BC=I2,点D为BC上一动点，BELoD于E,

当点。由点8沿BC运动到点C时，线段4E的最大值是一.

【答案】2√2T+2√3⅛⅛2√3+2√2T

【分析】连接5。，取8。中点M,连接ME,求得ME=IOB,点E在以M为圆心，以!OB

22

为半径的圆上，求得当A、M、E共线且点E在AM的延长线上时，AE最大，求解即可.

【详解】解：连接80,取8。中点M,连接ME,如下图：

VBELOD,M为Bo中点、

：.ME=-OB

2

点E在以M为圆心，以为半径的圆上

二当A、M、E共线且点E在AΛ∕的延长线上时，AEhkk

延长B。交AC于点”，如上图：

,/∕∖ABC为O。的内接等边三角形

垂宜平分AC,AC=BC=12

：.AH=CH=-AC=6

2

：.BH=6也,OB=WBH=

.∙.CM=；OB=2。M∕∕=4√3

∙*∙AM=y∣AH2+MH2=2√2T

；•AE的最大值为2√ΣΓ+2√3

故答案为：2√ΣT+2√J

【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角

形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点E的运动轨迹.

15.如图，矩形ABCD中，AB=S,BC=12,以。为圆心，4为半径作。Q,E为。。上一动

点，连接AE,以AE为直角边作RfAAEF,使/EAF=90。，tanNAE尸=g,则点尸与点C的

最小距离为.

【答案】4λ∕10--

【分析】如图，取AB的中点G,连接FG,FC,GC,由△杉IGS∕∖E4O,推出尸G：DE=

44

AF：A£=1：3,因为。E=4,可得FG=；,推出点F的运动轨迹是以G为圆心；为半径

33

的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：如图，取48的中点G,连接尸G.FC.GC.

'：NEAF=90°,tanZAEF=

3

・af-1

*'A£^3*

∙.∙A3=8,AG=GB,

,∖AG=GB=4,

VAD=12,

.AG41

,,AD-12-3,

.AFAG

・•瓦一而‘

・・・四边形ABCQ是矩形，

/.NBA。=NB=NE4/=9()。，

：.AFAG=AEAD,

Λ∆MG^∆EAD,

ΛFG:DE=AF:AE=I:3,

VDE=4,

4

AFG=",

3

4

・•・点/的运动轨迹是以G为圆心H为半径的圆，

2222

,**GC=√GB+BC=√4+12=4√10，

C.FC>GC-FG,

ΛFC≥4√iθ-p

.∙.C77的最小值为4√∏J-y.

故答案为：4Λ∕10——.

【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

16.如图，已知正方形ABC。的边长为2,点尸在射线BC上，则WPD的最小值为

【答案】避二ɪ

2

Pj)nF

【分析】在AP上取点E,连接DE,使NADE=NAPD,由aADE-AAPD,可得一=——，

APAD

PD

当DE最小时，二的值最小，作AABE的外接圆。O,连接OD,OE,利用勾股定理及

PA

三角形三边关系可得答案.

【详解】解：如图，在AP上取点E,连接。E,AADE=AAPD,

`:XADEs[∖APD,

.ADDE

・・--=-----，

APPD

.PDDE

••=，

APAD

・・・。后最小时，PD夫的值最小，

PA

作AABE的外接圆。0,连接。Q,0E,

则OE=OA=OB=I,

在Rr△A。。中,C>D=√(9A2+AD2=√l2+22=√5-

DE>OD-OE=√5-1,

；•OE的最小值为石-1,

誓的最小值=叵」，

PA2

故答案为：避二L

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻

找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空压轴题.

三、解答题

17.如图一，等边AABC中，AB=6,P为AB上一动点，PDA.BC,PELAC,求。E的最小

值.

图—

【答案】DE=Z9

2

【分析】由题意易得NPEC=N尸DC=90。，所以P、D、C、E四点共圆，又因为NEOr)=I20。,

所以当直径最小时，弦OE的值最小.

【详解】解：VPDVBC,PELAC,

：.NPEC=NPDC=90。,

，四边形PDCE对角互补，

：.P.。、C、E四点共圆，如图2.

EOD=2ΛECD=∖2Qo,

要使得QE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CPLAB时，PC最短,

'∙'∆ABC是等边三角形，

?.NB=60"P=3,

CP=∙j3BP=3y∕3,

"：ADOP=W,

9

DE=IOD-sinZDOP=-.

2

图二

【点睛】本题主要考查圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握圆的基本性

质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.

18.问题背景如图（1）,AABC为等腰直角三角形，ZBΛC=90o,直线/绕着点A顺时针

旋转，过B,C两点分别向直线/作垂线BZXCE,垂足为。，E,此时△A3。可以由△C4E

通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）.

尝试应用如图（2）,AABC为等边三角形，直线/绕着点A顺时针旋转，D、E为直线/上

两点，ZBDA=ZΛEC=60o.△48。可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出

旋转中心。的位置并说明理由；

拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB=2,连接OC,直接写出CC的长的取值范

围.

【答案】（1）旋转中心为8C边的中点O,旋转方向为逆时针,旋转角度为90。；（2）可以,

旋转中心为为等边AABC三边垂直平分线的交点。，理由见解析；（3）√5-l≤CD≤√5+1

【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；

尝试应用（2）首先通过证明AAB。和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点4对应,

从而作AB和AC的垂宜平分线，其交点即为旋转中点；

拓展创新（3）首先确定出O点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出Co

最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可.

【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO_L8C,交BC于点0,

由等腰直角三角形的性质可知：NAoC=90。，OA=OC,

；.点A是由点C绕点。逆时针旋转90。得到，

同理可得，点8是由点A绕点。逆时针旋转90。得到，

点。是由点E绕点。逆时针旋转90。得到，

；.△48。可以由△CAE通过旋转变换得到,旋转中心为BC边的中点O,旋转方向为逆时针•，

旋转角度为90。；

尝试应用（2）：ZXABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBΛC=60o,

,.∙ZDAC=ZDAB+ZBAC=ZAEC+ZEAC,NBAC=NAEC=60。，

ZDAB=ZECA,

在AA8O和ACAE中，

ΛBDA.=AAEC

■NDAB=ZECA

AB=CA

：.△ABDgACAE（AAS）,

的A、B、Q三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点，

则4C、48分别视作两组对应点的连线，

此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点0,

；ZXABC为等边三角形，

.∙.由等边三角形的性质可知，OC=OA=08,NAOC=I20。，

AABO可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△48C三边垂直平分线的交

点。；

E

Λ

拓展创新(3)由(1)知，在直线/旋转的过程中，总有NAo5=90。,

二点。的运动轨迹为以A8为直径的圆，

如图，取AB的中点尸，连接CP,交。尸于点。，

则当点。在CP的延长线时，Cn的长度最大，

当点。与Q点重合时，CQ的长度最小，即CQ的长度，

,:AB=AC,AB=2,

.,.AP=l,AC=I,

在放ZiAPC中，CP=y∣AP2+AC2=y∕5^

由圆的性质，PD=AP=I,

：.PD=PQ=I,

：.CD=CP+PD=y[5+\,CQ=CP-PQ=y[5-∖,

二CD的长的取值范围为：√5-l≤CD≤√5+l.

【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等

边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出

动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键.

19.如图，在矩形ABC力中，AB=6,AD=8,点E,尸分别是边CD,BC上的动点，且N4FE

=90°

(1)证明：4ABFsAFCE;

(2)当OE取何值时，/AED最大.

【答案】（I）见解析；（2）y

【分析】（1）根据题意可得NB=NC=90。，ZAFB=ZFEC,即可得出结论：

（2）取AE的中点O,连接。OF,根据/4FE=NAOE=90。，得出4、D、E、尸四点

共圆，当G）O与8C相切时，/AF。的值最大，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：（1）证明：•；四边形ABCD是矩形，

ΛZB=ZC=90o,

,/ZAFE=90°,

ZAFB+ZEFC=90o,"：NEFC+NFEC=9。。,

：.NAFB=NFEC,

.♦.△A8尸S△/CE.

（2）取AE的中点O,连接。£）、OF.

JOA=OD=OE=OF,

...A、D、E、F四点共圆，

ZAED^ZAFD,

.∙.当。。与BC相切时，NAfD的值最大,

.∙.8F=CF=4,

,.∙XABFsXFCE,

.ABBF

•••ð一-ʌ，

4EC

.∙.EC=-,

3

Q1∩

・・・DE=DC-CE=6--=-

33f

，当£）E=Tn寸，NAEc）的值最大.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出。。与8C相切时,

ZAFD的值最大是解题的关键.

20.已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形。4BC,M为线段OC上的动点,

使0点落在O'处.

图①图②

⑴如图①，当NaW=30。时,求点。'的坐标；

⑵如图②，连接C。'，当CAM时.

①求点AZ的坐标;

②连接0B,求AAOM与AoB重叠部分的面积;

（3）当点M在线段OC（不包括端点）上运动时，请直接写出线段O,C的取值范围.

【答案】（1）0130,3卜

⑵①/（3,0）,②

(3)6√2-6?CO^6.

【分析】（1）如图，连接Oa交AM于Q,过O'作的八OC于N,由对折可得：

AO=AO6,OM=OM,?OAM30??。'如W,证明？OAoii60?,VoAO是等边三角形，可

得？OtoN30?,再利用三角函数可得答案；

（2）①利用平行线的性质证明OM=OM=CM=3,从而可得答案；②如图，连接。8,交

AΛ∕于。，交AO'于R过。作QA交AO'于2过。E,OC于E,再分别求解

2。,。幺P的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；

（3）如图，由对折可得AO=Aoq则O'在以A为圆心，A。为半径的OB上运动，与。，8不

重合，连接AC,交08TQ,当。,。£币：合时，CO'取得最小值，从而可得答案.

(1)

解：如图，连接Og交AM于Q,过O'作帅AOC于M

由对折可得：AO=AO^6,OM=OM,?OAM30??O¾M,

∖OOiaAM,OQ=OQ,

\?OAOii60?,VOAo是等边三角形，

∖OOC=AO=6,

Q?AOM90?,

\?OMQ90?30?60?,

QAΛ∕ΛOO¢.

\?O的N30?,

∖<9JV=√32⅛V=3√3,

(2)

①QAM〃比，

∖?AMO∖^ICOVAMOMCPC,而？AMo?AMO^

∖2Molc?MCO,

∖MO^MC,

∖OM=0^1=CM=3,

∖M(3,0).

②如图，连接。8,交A用于。，交AO'于P,过。作Q。〃。4,交AO'于。，过OELOC于

E,

Λ∩∩,∏

由①得:tanZAMO=——=2=tan/O'CE=—

OMCE

设CE=x,则ME=3-x,O¢E=2x,

∖32=(3-X)2+(2X)2,

解得：X=*(不符合题意的根舍去)

∖O^E=2x=-,OE=6-X=—

55

\。鬻片，而A(O⑼,

2412

设Aey为y=依+6,yi∣J-y⅛+6=-

3

解得：一

3

AOr为y=--x+6,

4

同理可得：AM^y=-2x+6,OB为y=x,

Tv=-2x+6X=2、

\>,解得:y=2'即0z(20,

ty=χ

36咚即。射

所以∕=2,yD=--?2

同理可得：嘴方

O=型

7

M与从08重叠部分的面积为:

SS_U,K八30_33

SVAMO，-SVAQP-］包B6-~~~

(3)

如图，山对折可得AO=AeX

二。'在以A为圆心，4。为半价的OB卜.运动，与。,B不重合,

连接AC，交OB于。,

当Q,0«重合时，CO’取得最小值，

此时AC=√62+62=6√2,AQ=AO=6,

∖Co¢=60-6,

所以C。'的取值范围为：6√2-6?CO¢6.

【点睛】木题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数

的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图

形面枳问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键.

21.如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的G)O,点P在圆弧AB上以2倍速度从8向

A运动，点。在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P,0,。三点处于同一条直线

时，停止运动.

(1)求点。的运动总长度；

⑵若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

2

【答案】(1)：乃

⑵万+1.

【分析】(1)如图，设？CO。a,结合题意可得：?BOP2a,结合正三角形的性质求解

a=60?,再利用弧长公式进行计算即可；

(2)解：如图，取08的中点N,连接NM,NC,MC,过N作NKj_BC于K,过。作OE，BC

于E,证明M在以N为圆心，半径为I的圆N上运动，可得当C,MM三点共线时，CM

最大，从而可得答案.

(1)

解：如图，设？CoQ%结合题意可得：?BOPZz,

ABC为等边三角形，

360°

\?BOC--=120?,

3

\?BOQ120?明

而P,O,Q三点共线，

\?BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：α=60o,

八一-山…,“日d60”22

・•。运动的息长度为：ʃ=~P∙

1oU3

(2)

解：如图，取OB的中点N,连接NM,NC,MC,过N作NKLBCTK过。作OE_LBC

于E,

A

M为P8的中点,

NM=-OP=\,

2

・・・M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动,

・・・当CN,M三点共线时，CM最大,

Q2BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

11/3

∖NK=-BN=—，BK=旺,

222

同理可得：BE=5则BC=2√5,

∖C^=2√3--,

22

∖CM=CN+NM=√7+l,

,CM的最大值为：√7+l.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质,

勾股定理的应用，熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键.

22.如图，在正方形ABC。中，点E在直线AZ）右侧，且AE=I,以OE为边作正方形DEFG,

射线。F与边8C交于点例，连接ME,MG.

①如图2,当G,C,M三点共线时，设EF与BC交于点N,求-的值;

EM7

②如图3,取4力中点P,连接尸凡求P尸长度的最大值.

【答案】（1）见解析

（2）04；②2行+&

【分析】（1）根据正方形的性质可得。E=。GNEDM=NGOM=45。，公共边DM,即可

证明DEMaDGM,即可得ME=MG；

（2）①先证明点E在AB上，进而求得，DAESKEBN求得BN,根据NF//DG可得

NMFS-GMD,乂ME=MG,进而即可求得一的值；②连接BD,BF,证明“4)ESa双年',

MN

求出相似比，进而可得点尸在以8为圆心夜为半径的圆Ir一运动，根据点与圆的位置关系求

最值即可.

(1)

,四边形OEFG是正方形

.∙.NEDF=NGDF=45o,GD=GE

二ZEDM=NGDM=45°

DM=DM

：.3DEM叁DGM

：.ME=MG

(2)

①如图2,当G,C,历三点共线时，

四边形ABCD,EDFG是正方形

.'.ZADC=ZEDG=9Go,AD=CD,ED=GD,ZDEF=90°

ZADE=NCGD

AADEmACDG

:.ADAE=ZDCG

G,C,M三点共线时，

.∙.NDCG=NoCB=90°

NDAE=90°

r.E在线段AB上

ZDEF=90°

乂NEDA+ZDAE=NDAE+ZNEB=90°

.∙.ZEDA=NNEB

又NA=NB

.∙.ADEs,BEN

.AEADDE

正方形ABCO的边长为4,AE=I

.∙.BE=AB-ΛE=4-1=3,f>E=√AD2÷AE2=√42+l2=√Γ7

3

NB=詈

4

/rɪ3

.∙.flv=三旦丝A.

AE14

317

・•.GN=BC+CG-BN=N——=—

44

O1

.∖NF=EF-EN=y∕∏--y∕∏=-y∕∏

44

四边形OEFG是正方形

.∙.EF//DGfDG=DE=后

.∙.DMGSFMN

,NF_NM

'~DG~HG

口”NFMN

即---=---------

DGGN-MN

MN

--MN

4

17

解得MN二.

：,MG=GN-MN=----------=—

4205

由（1）可知EΛ∕=GW

17

EMGMT4z1

MNMNqT

20

②连接应）,即"如图,

G

四边形ABCQ,EOFG是正方形

ZAOB=ZEDF=45o,DB=-JlAD，DF=-JlDE

DFDBr-

..ZADE=ZBDF，—≈-=√2

DEAD

ADEjBDF

.AEad1

"EB^OB^√2

AE=X

BF=丘

即点F在以8为圆心0为半径的圆上运动，如图，

E点在A0的右侧，则当PF经过点3时，PF取得最大值

最大值为PB+B尸

P为Ao的中点，则AP=；Ao=2

RtPAB中，PIi=√22+42=2√5

・•・PB+BF=2√5+√2

即P尸的最大值为2«+√Σ

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，点与圆的位置关系，掌握相似三角

形的性质与判定是解题的关键.

23.已知等腰直角ΔABC与A4DE有公共顶点A,ΛBAC=ZDAE=90',AB=AC=8,

AD=AE^4.现将ΔADE绕点A旋转.

(1)如图①，当点B,A,。在同一直线上时，点F为DE的中点，求班■的长；

Λ

图①

(2)如图②，连接BE,OC.点G为ZJC的中点,连接AG交BE于点尸，求证：AGrBE；

图②

(3)如图③，点F为DE的中点，以B尸为直角边构造等腰RtΔF8N,连接CN,在AADE绕

点A旋转过程中，当5N最小时,直接写出ΔBCN的面积