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文档简介
第8课幕函数、指数函数及其性质
【考点导读】
11
1.了解幕函数的概念,结合函数丁=%,y=X2,y=%3,y=_,y=%2的图像了解它们
X
的变化情况;
2.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性;
3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
【基础练习】
1.指数函数/(%)=(。-1),是R上的单调减函数,则实数a的取值X围是(1,2).
2.把函数/(%)的图像分别沿x轴方向向左,沿y轴方向向下平移2个单位,得至=2工的
图像,则/(X)=2X-2+2.
11
3.函数y=0.32-x*的定义域为一_;单调递增区间值域(0,0.34].
4.已知函数/(%)=。+7二是奇函数,则实数a的取值一1.
4A-+1_2_
5.要使y=(〈)1+机的图像不经过第一象限,则实数m的取值X围mW-2.
6.已知函数/(x)="T-1(a〉0,aW1)过定点,则此定点坐标为(;,0).
【X例解析】
例1.比较各组值的大小:
(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6;
(2)a-b,ab,aa,其中
(3)(;);,
分析:同指不同底利用幕函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性.
解:(1),/O.2O.2<O.4O.2<O.4o=1,而1<2O.2<2I.6,
/.O.2O.2<0.40.2<2O.2<21.6.
(2)・.・0<a<1且一b<。<b,ci-b>aa>ab,
(3)(;);〉(;);〉(;);.
点评:比较同指不同底可利用幕函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注
意通过0,1等数进行间接分类.
—21+b
例2.已知定义域为R的函数/(x)=k--------是奇函数.
2x+i+a
-1-/6
(1)求a/的值;
(2)若对任意的feR,不等式/S-2。+/(20-左)<0恒成立,求上的取值X围.
分析:研究函数的单调性,将恒成立问题转化为求最值问题.
b-1l-2-r
(1)解:因为/(X)是奇函数,所以/(0)=0,即--=0^b=l:.f(x)=——
a+2a+2x+i
1?」
1_27.
又由f(1)=—f(―1)知一-=--;=a=2.
a+4a+1
1—11
(2)解法一:由(1)知=—=+---,易知/(X)在(F,+8)上为减函
2+2工+122.v+1
数.
又因了(%)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<Q
等梳于于⑴一2t)<—于Qtz—k)=于(k—2t2),因/(x)为减函数,由上式推得:
?2—2t>k—2t2,即对一■切teR有:3/2—2t—上〉0,
从而判别式公=4+12左<0=左<—;.
l-2x1-2/2-2r1—22t2-k
解法二由⑴知小)=k.又由题设条件得:KF------------<0,
2+22浮一人+i
即:(22#-k+i+2)(1—2#-2/)+(2/2一2/+1+2)(1—22t2一k)<0,
整理得23”-2j>1,因底数21故3t2-2t-k>0
上式对一切teR均成立,从而判别式A=4+12左<0=左<—;
点评:本题第(2)问解法二,计算量大;而解法一利用单调性可以达到简化目的.
x—2
例3已知函数/(%)=□+1_-(«>1),求证:
x+1
(1)函数/(X)在(―L+S)上是增函数;
(2)方程/(x)=0没有负根.
分析:注意反证法的运用.
.。/、“、3(x—x)
证明:(1)设一1<X<x,/(x)-f(x)=a^-a^+——-2—1—,
1212(x+l)(x+1)
12
-2-/6
/.-a\>Q,又一l<x<x,所以x-%>0,x+1>0,x+1>0,则
122112
/(x)-/(x)<0
12
故函数/(X)在JI,+8)上是增函数.
x—2
(2)设存在x<0(%¥-1),满足/(%)=0,则-0,.又0<a%<1,
ooo%+1
0
x—2
/.O<--o---<1
x+1
0
即:<2,与假设1<0矛盾,故方程/(%)=0没有负根.
2。o
点评:本题主要考察指数函数的单调性,函数和方程的内在联系.
1_11_1
,「,一”、13—1一3/、%3+无一3
例z4.已知函数/(%)=§,g(x)=5-
(1)证明/(x)是奇函数,并求/(%)的单调区间;
(2)分别计算/(4)-5/⑵g⑵和“9)-5/(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数/(x)和
g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
分析:利用定义证明函数的奇偶性和单调性.
解:(1)函数/(x)的定义域为(F,0)U(0,+S)关于原点对称,
1_11_1
又/(-X)=(5、3=—"35"3=一/(%),...f(x)是奇函数.
1_11_1
-1
、LC…、/•/、九3一=3X3-X31z]、.I、
设0<%<X,贝!]/(九)一/(%)=1.1-22==(%3-X3)(1+-----),
12125551211
X3X3
12
3<0,1+-1->0,.-./(%)-/(%)<0,即函数/(X)在(0,+8)上是增函数.
121112
X3%3
12
又/(X)是奇函数,则函数/(X)在(-8,0)上是增函数.
⑵计算/(4)-5/⑵g(2)=0,/(9)-5/(3)g(3)=0,由此概括对所有不等于零的实数
x有/(%2)-5/(x)g(x)=0.
-3-/6
2_21_11_12_22_2
、uj、/、X3-X-3_X3-X_3X3+X-313一厂313一厂3八
/(%2)-5f(x)g(x)=----5----•―--=-------=0.
点评:本题主要考察基函数的性质,以及分析,归纳能力和逻辑思维能力.
【反馈演练】
1.函数/(%)=。工(。〉0且。彳1)对于任意的实数x,y都有(C)
A./(盯)=/(%)/(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)
2.设3*=;,贝ij
(A)
A.—2<x<—1B.—3<x<—2C.-l<x<0D.0<x<l
3.将y=2x的图像(D)
A.先向左平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线二对称的图像,可得到函数厂呢(川)的图像.
4.函数/(X)=43的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是(
A.a>l,b<0B.a>l,b>Q
C.Q<a<l,b>0D.Q<a<l,b<Q
5.设函数/(x)定义在实数集上,它的图像关于直线x=l对称,且当xNl时,
则有(B)
132231
A.飞)<仆)</)B./(3)</(2)</(3)
c.4</(£)<4)
6.函数y=。工在hl】上的最大值与最小值的和为3,则。的值为—2
ex,x<0.1
7.设g(x)=<
lnx,x>0.2
8.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌
由1个可繁殖成512个.
9.已知实数a,b满足等式(<)“=(;)%下列五个关系式:
-4-/6
①0〈b〈a②a〈b〈0③0〈a〈b④b〈a<0⑤a=b
其中不可熊成立的关系式有一③④.
10.若关于x的方程4x+2x+机-2=0有实数根,某某数m的取值X围.
19
解:由4%+2%+加一2=0得,m=—4x—2%+2=—(2*+])2+彳<2,...加£(—8,2)
11.已知函数/(x)=—^—(ax-a-x)(a〉0,。w1).
Q2-2
(1)判断了(X)的奇偶性;
(2)若/(划在R上是单调递增函数,某某数a的取值X围.
解:(1)定义域为R,则/(一%)==—/(1),故/(x)是奇函数.
。2—2
(2)设%<%eR,f(x)-/(x)="一(3-,—4)(1+^—),
1212az—23+々
当0<。<1时,得。2-2<0,即0<。<1;
当。>1时,得。2-2〉0,即。〉JT;
综上,实数a的取值X围是(0,1)。(JX+8).
2.r
12.定义在R上的奇函数/(x)的最小正周期为2,且xe(0,1)时,/(%)=--
4A+1
⑴求/(x)在[-1,0]上的解析式;
⑵判断了(%)在(0,1)上的单调性,并证明;
⑶当九为何值时,方程f(x)=九在[-1,1]上有实数解.
解:(1)/(x)是R上的奇函数,又2为/(x)的最小正周期,
.-./(1)=/(2-1)=/(-1)=-/(1),/(一1)=〃1)=0,设了€(-1,0),则—xe(0,l).
一E"1,。)
2x.•./(x)=b,xe{±l,0).
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