高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第二章第8课幂函数、指数函数及其性质

第8课幕函数、指数函数及其性质

【考点导读】

11

1.了解幕函数的概念，结合函数丁=%，y=X2,y=%3,y=_,y=%2的图像了解它们

X

的变化情况；

2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性;

3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.

【基础练习】

1.指数函数/(%)=(。-1)，是R上的单调减函数，则实数a的取值X围是(1,2).

2.把函数/(%)的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得至=2工的

图像，则/(X)=2X-2+2.

11

3.函数y=0.32-x*的定义域为一_；单调递增区间值域(0,0.34].

4.已知函数/(%)=。+7二是奇函数，则实数a的取值一1.

4A-+1_2_

5.要使y=(〈)1+机的图像不经过第一象限，则实数m的取值X围mW-2.

6.已知函数/(x)="T-1(a〉0,aW1)过定点，则此定点坐标为(；,0).

【X例解析】

例1.比较各组值的大小：

(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6；

(2)a-b,ab,aa,其中

(3)(；)；,

分析：同指不同底利用幕函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性.

解：(1),/O.2O.2<O.4O.2<O.4o=1,而1<2O.2<2I.6,

/.O.2O.2<0.40.2<2O.2<21.6.

(2)・.・0<a<1且一b<。<b,ci-b>aa>ab,

(3)(；)；〉(；)；〉(；)；.

点评：比较同指不同底可利用幕函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注

意通过0,1等数进行间接分类.

—21+b

例2.已知定义域为R的函数/(x)=k--------是奇函数.

2x+i+a

-1-/6

(1)求a/的值;

(2)若对任意的feR,不等式/S-2。+/(20-左)<0恒成立，求上的取值X围.

分析：研究函数的单调性，将恒成立问题转化为求最值问题.

b-1l-2-r

(1)解：因为/(X)是奇函数，所以/(0)=0,即--=0^b=l:.f(x)=——

a+2a+2x+i

1?」

1_27.

又由f(1)=—f(―1)知一-=--；=a=2.

a+4a+1

1—11

(2)解法一：由(1)知=—=+---,易知/(X)在(F,+8)上为减函

2+2工+122.v+1

数.

又因了(%)是奇函数，从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<Q

等梳于于⑴一2t)<—于Qtz—k)=于(k—2t2),因/(x)为减函数，由上式推得:

?2—2t>k—2t2,即对一■切teR有：3/2—2t—上〉0,

从而判别式公=4+12左<0=左<—；.

l-2x1-2/2-2r1—22t2-k

解法二由⑴知小)=k.又由题设条件得：KF------------<0,

2+22浮一人+i

即：(22#-k+i+2)(1—2#-2/)+(2/2一2/+1+2)(1—22t2一k)<0,

整理得23”-2j>1,因底数21故3t2-2t-k>0

上式对一切teR均成立，从而判别式A=4+12左<0=左<—；

点评：本题第(2)问解法二，计算量大；而解法一利用单调性可以达到简化目的.

x—2

例3已知函数/(%)=□+1_-(«>1),求证：

x+1

(1)函数/(X)在(―L+S)上是增函数；

(2)方程/(x)=0没有负根.

分析：注意反证法的运用.

.。/、“、3(x—x)

证明：(1)设一1<X<x,/(x)-f(x)=a^-a^+——-2—1—,

1212(x+l)(x+1)

12

-2-/6

/.-a\>Q,又一l<x<x,所以x-%>0,x+1>0,x+1>0,则

122112

/(x)-/(x)<0

12

故函数/(X)在JI,+8)上是增函数.

x—2

(2)设存在x<0(%¥-1),满足/(%)=0,则-0，.又0<a%<1,

ooo%+1

0

x—2

/.O<--o---<1

x+1

0

即:<2,与假设1<0矛盾，故方程/(%)=0没有负根.

2。o

点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系.

1_11_1

,「，一”、13—1一3/、%3+无一3

例z4.已知函数/(%)=§，g(x)=5-

(1)证明/(x)是奇函数，并求/(%)的单调区间；

(2)分别计算/(4)-5/⑵g⑵和“9)-5/(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数/(x)和

g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

分析：利用定义证明函数的奇偶性和单调性.

解：(1)函数/(x)的定义域为(F,0)U(0,+S)关于原点对称，

1_11_1

又/(-X)=(5、3=—"35"3=一/(%),...f(x)是奇函数.

1_11_1

-1

、LC…、/•/、九3一=3X3-X31z]、.I、

设0<%<X,贝!]/(九)一/(%)=1.1-22==(％3-X3)(1+-----)，

12125551211

X3X3

12

3<0,1+-1->0,.-./(%)-/(%)<0,即函数/(X)在(0,+8)上是增函数.

121112

X3%3

12

又/(X)是奇函数，则函数/(X)在(-8,0)上是增函数.

⑵计算/(4)-5/⑵g(2)=0,/(9)-5/(3)g(3)=0,由此概括对所有不等于零的实数

x有/(%2)-5/(x)g(x)=0.

-3-/6

2_21_11_12_22_2

、uj、/、X3-X-3_X3-X_3X3+X-313一厂313一厂3八

/(%2)-5f(x)g(x)=----5----•―--=-------=0.

点评：本题主要考察基函数的性质，以及分析，归纳能力和逻辑思维能力.

【反馈演练】

1.函数/(%)=。工(。〉0且。彳1)对于任意的实数x,y都有(C)

A./(盯)=/(%)/(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

2.设3*=；,贝ij

(A)

A.—2<x<—1B.—3<x<—2C.-l<x<0D.0<x<l

3.将y=2x的图像(D)

A.先向左平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位

C.先向上平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位

再作关于直线二对称的图像，可得到函数厂呢(川)的图像.

4.函数/(X)=43的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(

A.a>l,b<0B.a>l,b>Q

C.Q<a<l,b>0D.Q<a<l,b<Q

5.设函数/(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x=l对称，且当xNl时,

则有(B)

132231

A.飞)<仆)</)B./(3)</(2)</(3)

c.4</(£)<4)

6.函数y=。工在hl】上的最大值与最小值的和为3,则。的值为—2

ex,x<0.1

7.设g(x)=<

lnx,x>0.2

8.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时，这种细菌

由1个可繁殖成512个.

9.已知实数a,b满足等式(<)“=(；)%下列五个关系式:

-4-/6

①0〈b〈a②a〈b〈0③0〈a〈b④b〈a＜0⑤a=b

其中不可熊成立的关系式有一③④.

10.若关于x的方程4x+2x+机-2=0有实数根，某某数m的取值X围.

19

解：由4%+2%+加一2=0得,m=—4x—2%+2=—(2*+])2+彳<2,...加£(—8,2)

11.已知函数/(x)=—^—(ax-a-x)(a〉0,。w1).

Q2-2

(1)判断了(X)的奇偶性;

(2)若/(划在R上是单调递增函数，某某数a的取值X围.

解：(1)定义域为R,则/(一%)==—/(1),故/(x)是奇函数.

。2—2

(2)设％＜%eR,f(x)-/(x)="一(3-，—4)(1+^—)，

1212az—23+々

当0＜。＜1时，得。2-2＜0,即0＜。＜1；

当。＞1时，得。2-2〉0,即。〉JT；

综上，实数a的取值X围是(0,1)。(JX+8).

2.r

12.定义在R上的奇函数/(x)的最小正周期为2,且xe(0,1)时，/(%)=--

4A+1

⑴求/(x)在［-1,0］上的解析式；

⑵判断了(%)在(0,1)上的单调性，并证明；

⑶当九为何值时，方程f(x)=九在［-1,1］上有实数解.

解：(1)/(x)是R上的奇函数，又2为/(x)的最小正周期，

.-./(1)=/(2-1)=/(-1)=-/(1),/(一1)=〃1)=0,设了€(-1,0),则—xe(0,l).

一E"1，。)

2x.•./(x)=b,xe{±l,0).