2024年中考数学复习考点（全国通用）：考点22 菱形及其综合（解析版）

考点22菱形及其综合

g命题趋势

菱形作为特殊平行四边形中的一个，在中考数学中的重要性不用多说，而且因为其性

质的特殊性，菱形也常和其他几何考点结合出题。菱形的考察类型比较多样，其中选择、

填空题常考察菱形的基本性质，综合题中也常单独或者结合出题等方式以压轴题出现，难

度也较大。所以考生在这块知识点的复习上，除了熟悉菱形的常见性质和判定外，还需特

别注意其应用以及牵涉到的思想方法。

在知”导图

四条边都相等，对边平行

对角相等，邻角互补

对角线互相平分且互相垂直

一条对角线平分一组对角

菱形从平行四边形证明（3种）

判定

从普通四边形证明（2种）

菱形可转化为等腰三角形、等边三角形、直角三角形解决问题

思想方法菱形的面积的2种方法以及延伸

菱形是特殊的平行四边形，所以自带平行，常和"知2得1"模型结合

t

0重基考向

一、菱形的性质

二、菱形的判定

三、菱形与其他几何图形的结合

考向一：菱形的性质

菱形的四条边都相等

菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角

菱形的菱形既是轴对称图形又是中心对称图形

性质菱形的面积等于对角线乘积的一半

共例引点

----▲

1.如图，菱形A8C。的对角线交于原点0,若点8的坐标为（4,机），点。的坐标为（〃，2）,则小+〃的

值为（）

A.2B.-2C.6D.-6

【分析】根据题意可知，原点为对角线8。的中点，然后即可求得切、〃的值，从而可以求得，"+〃的值.

【解答】解：•••菱形A8C。的对角线交于原点0,点8的坐标为（4,机），点。的坐标为（〃，2）,

.•皿=0,迎=0,

22

解得”=-4,in=-2,

.,.m+n=-2+（-4）=-6,

故选：D.

2.如图，四边形A8CQ是菱形，对角线4C、80相交于点。，过点。作于点H,连接0”，ACAD

=20°,则/QH。的度数是（）

【分析】先根据菱形的性质得OD=OB,AB//CD,BDLAC,则利用得至UDHLCD,ZDHB

=90°,所以。，为RtADHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OH,利用等腰三角形的性质得N1

=ZDHO,然后利用等角的余角相等即可求出NQ//O的度数

【解答】解：：四边形43CO是菱形，

AOD=OB,AB//CD,BDLAC,

'：DHLAB,

：.DH±CD,ZDHB=90°,

OH为Rt/XDHB的斜边QB上的中线,

：.OH=OD=OB,

：.N\=NDHO,

,：DH1CD,

.,.Zl+Z2=90°,

\"BDLAC,

.*./2+/DCO=90°,

/.Z1=ZDCO,

：.ZDHO=ZDCA,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.DA=DC,

：.ZCAD^ZDCA=200,

：.ZDHO=20°,

故选：A.

3.如图，菱形ABC。中，E是边AB的中点，尸是边AO上一点，连接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,

则CE的值为（）

A.4B.5C.6D.空

4

【分析】延长尸E交C8的延长线丁点M,结合菱形的性质，证明出△AEFN4BEM,再根据条件中线段

与线段之间的关系求出，RC=AB=2AE=6,MC=8,得到』殳』旦，再证明出即可求

MEMC

解.

【解答】解：延长FE交C5的延长线于点M,

•.•四边形A8C。是菱形，

：.AD//BC,AB=BC,

：.NAFE=NM,

：.ZA=ZEBM,

是A8的中点,

：.AE=BE,

在△AEF与中，

"ZA=ZEBM

，ZAEF=ZBEM«

AE=BE

:.AAEF冬ABEM(A4S),

：.ME=EF,MB=AF,

'：AE=3,EF=2AF=4,

；.ME=4,MB=2,BE=3,

：.BC=AB=2AE=6,

；.MC=8,

•MBM=IJL

"ME"7"7"而节节

•MB_ME

"ME"MC'

又；NEMB=NCME,

：.AMEBsAMCE,

-BE_MB,1

'•而/w

又,：BE=3,

:.EC=6,

故选：C.

4.如图，在菱形A8C£＞中，对角线AC,8。相交于点O,BD=16,AC=12,£是8c的中点，连接OE,

则OE的长为5

D

【分析】根据菱形的性质得出4O=OC=」YC=6,BO=DO^1BD=8,ACLBD,根据勾股定理求出

22

BC,再根据直角三角形斜边上的中线性质求出0E即可.

【解答】解：•..四边形ABGD是菱形，AC=12,80=16,

：.AO=OC=1AC=6,B0=D0=工BD=8,AC±BD,

22

/.ZCOB=90°,

由勾股定理得：BC=Vc02+B02=^62+82=101

为BC的中点,

：.OE=^BC^5,

2

故答案为：5.

5.如图，在由相同的菱形组成的网格中，NABC=60°,小菱形的顶点称为格点，已知点A,B,C,D,E

都在格点上，连接BD,BE,tanZEBD的值为_返_.

【分析】连接AC,设菱形网格的边长为。，则A8=8C=3“，证明△A8C为等边三角形，△A8C为等边

三角形，得出AC=3a,求出E0=A0-AEh^a，根据勾股定理求出BOWAB2-AO21a，求出

1

E0_2a正即可.

tanZEBD

"B0-3-73-9

22

【解答】解：连接AC,如图所示:

设菱形网格的边长为“，则AB=BC=3a,

..•此图为相同的菱形组成的网格，

二四边形为菱形，E在AC上，

AO=yAC'

"：AB=BC,NA8c=60°,

...△A8c为等边三角形，

.,.AC=3a,

.13

,•AO^-AC=ya'

VZABC=60°,

/.ZAFE=6Oa,

'：AF=EF,

.♦.△AEF为等边三角形，

.".AE=AF—a,

EO=AO-AE=^a,

根据勾股定理得：B0=VAB2-A02=^a-

1

.EQ~2aV3

..tan/EBDR臼1

-9

n-a

故答案为：近.

9

6.如图，在菱形A8CO中，对角线AC、BD交于点、O,以点。为圆心，适当长为半径作弧，交BA所在直

线于点M、N,分别以点M,N为圆心，大于』的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接。P交BA

2

延长线于点E,连接OE,若AB=«),OE=娓,则OE的长为匝

-3―

【分析】根据菱形的性质可得AC_L8O,OB=OD,AB=AD=®由作图过程可知：DEA.BE,根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得8。=2遥，然后利用勾股定理列出方程求出AE,进而可以

解决问题.

【解答】解：在菱形ABC。中，AC1BD,OB=OD,AB=AD=遍,

由作图过程可知：DEA.BE,

OE=OB=OD=Q

:.BD=2疾,

在RtAADE和Rt/XBDE中，根据勾股定理得：

DE1=Ab1-AEr,DE^^BD2-BE1,

：.(V6)2-A£；2=(25/5)2-(a+AE)2,

：.AE=^B-

3

."£2=&,

3

.'.DE^^AD1-AE2=6-&=12,

33

.\DE=^^-.

3

故答案为：画.

3

7.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,AB=\0,AC=12.

(1)求8。的长；

(2)求sin/ABC的值.

【分析】（1）由菱形的性质得ACJ_8£>,0A=LC=6,BD=20B,再由勾股定理得08=8,即可得出

2

结论；

（2）过点A作4ELBC于点E,由菱形的面积求出AE=壁，再由锐角三角函数定义即可得出结论.

5

【解答】解：（1）I•四边形A8C力是菱形，AC=12,

J.ACLBD,0A=LC=6,80=203,

2

在RtZXAOB中，由勾股定理得：OB={AB2_0A2={]O2_62=8,

.♦.8/)=208=16；

(2)如图，过点A作AELBC于点E,

:四边形4BC。是菱形，AC=12,BD^16,

：./iC=AB=10,ACVBD,

：.S^ABCD=BC*AE=1AC-BD^1X12X\(>=96,

22

."“的=型，

105

48

在RtZ\ABE中，sin/A8C=±^=_i_=2i.

AB1025

8.如图，在菱形ABC。中，BE_LCO于点E,DFJLBC于点、F.

(1)求证：BF=DE；

(2)分别延长BE、AO交于点G,若NA=45°,AB=1O,求线段OG的长.

【分析】(1)根据菱形的性质可知OC=BC,再根据N8EC=NDFC=90°,ZC=ZC,可证得△BEC

丝△£>"?,则有EC=FC,问题得解；

(2)根据菱形的性质以及/A=45°可证得△A8G是等腰直角三角形,再由勾股定理可求出AG=1SV历，

从而可求出答案.

【解答】(1)证明：•.•四边形A8CD是菱形，

：.CB=CD.

'：BE±CD于点E,DFLBC于点F,

：.ZBEC=ZDFC=90a.

在△BEC与△OR7中，

，ZBEC=ZDFC

■ZC=ZC，

BC=CD

:.ABEC丝丛DFCCAAS),

：.EC=FC,

：.BC-€F=CD-€C,BPBF=DEx

(2)解：•.•四边形ABC。是菱形,

J.AB//CD,A£>=AB=10,

；.NABG=NBEC=90°.

VZA=45°,

.../G=NA=45°,

：.AB=BG^IO,

...△A8G是等腰直角三角形，

/.AG=V2AB=1OV2.

.•.OG=AG7£>=10V2-10.

考向二：菱形的判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

菱形的对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

判定四条边相等的四边形是菱形

对角线互相垂直平分的四边形是菱形

1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）

A.对角线垂直B.两对角线相等

C.两对线互相平分D.两对角线互相垂直平分

【分析】由菱形的判定和平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、：对角线垂直的四边形不一定是菱形，

选项A不符合题意；

B、•.•两条对角线相等的四边形不是菱形，

选项8不符合题意；

C、：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，

二选项C不符合题意；

•两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

选项D符合题意；

故选：D.

2.如图，在口ABC3中，。为AC的中点，经过点。的直线交于E交BC于F,连接AF、CE,下列选

项可以使四边形AFCE是菱形的为（）

A.OE=OFB.AE=CFC.EFA.ACD.EF=AC

【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、为AC的中点，

.'.OA=OC,

'：OE=OF,

四边形AFCE是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、四边形A8CD是平行四边形，

J.AD//BC,

'：AE=CF,

四边形AFCE是平行四边形，故选项B不符合题意；

C、•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO,

为AC的中点，

：.OA=OC,

在△AOE和△CO尸中,

，ZAEO=ZCFO

<ZAOE=ZCOF-

OA=OC口

：.AAOE^ACOF(AAS),.一///

：.OE=OF,

(7)

四边形AFCE是平行四边形，

"：EF1AC,

二平行四边形A尸CE是菱形，故选项C符合题意；

D、'：EF=AC,

二平行四边形AFCE是矩形，故选项O不符合题意；

故选：C.

3.如图由12根完全相同的小棒拼接而成(图中所有的锐角与钝角互补)，请你再添4根与前面完全相同的

小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有()

A.5种B.6种C.7种D.8种

【分析】由题意画出图形，即可得出结论.

【解答】解：将各种情况画出的图形如下：

4.如图，在RtZ\4BF中，ZBAF=90Q,/3=30°,将RtZ\A8F沿着BE方向平移到RtZ\OEC的位置,

此时点E恰为边BF的中点，若AE=2,则四边形AEFD的面积为，代

【分析】根据平移的性质，AD//BE,AD=BE,再利用线段中点可得BE=EF,从而可得AO=EF,进而

可得四边形AEFD是平行四边形，然后利用宜角三角形斜边上的中线性质可得AE=EF,从而可得四边

形AEF。是菱形，进而可得四边形的面积=2Z\AEF的面积，最后利用含30度角的直角三角形的

性质可得f=2,43=百AF=2我，从而求出△A8F的面积，即可解答.

2

【解答】解：由平移得：

AD//BE,AD=BE,

:点E为边8F的中点，

:.BE=EF,

：.AD=EF,

四边形AEFD是平行四边形，

,：ZBAF=90°,

：.AE=EF=kBF,

2

四边形是菱形，

二四边形AEFD的面积=2Z\4EF的面积，

'：AE=2,

：.BF=2AE=4,

VZB=30°,

：.AF=^BF=2,AB=MAF=2M，

2

.♦.△ABF的面积禽*2=2禽，

22

■:/\ABF的面积=24AE尸的面积，

...四边形AEFD的面=的面积=2e；

故答案为：2百.

5.如图，平行四边形ABCQ中，对角线AC,8。交于点。，BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的

中点.下列结论正确的是①②③.（填序号）

®EG=EF；②丛EFG”XGBE：③E4平分NGE尸；④尸8平分NEFG；⑤四边形8EFG是菱形.

1

E

B

【分析】由中点的性质可得出E尸〃CD,且工CO=8G,结合平行即可证得②结论成立，由80=28c

2

得出B0=8C,即而得出BE_LAC,由中线的性质可知GP〃8E,ftGP=^BE,AO=EO,通过证AAPG

2

丝Z\EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证AGPE丝得出③成立，此题得解.

【解答】解：令G尸和AC的交点为点尸，如图所示：

，：E、尸分别是0C、。。的中点，

：.EF//CD,且EF=4C£>,

2

；四边形ABCD为平行四边形，

J.AB//CD,且AB=CQ,

.../FEG=NBGE（两直线平行，内错角相等），

•.•点G为48的中点，

：.BG=^AB=^CD=FE,

22

在△EFG和△G8E中，

BG=FE

<ZFEG=ZBGE>

GE=EG

/.△fFG^AGBE（SAS）,即②成立，

:.NEGF=NGEB,

...GF〃BE（内错角相等,两直线平行），

•：BD=2BC,点0为平行四边形对角线交点，

;.BO=LBD=BC,

2

为0C中点，

：.BE10C,

：.GP±AC,

：.NAPG=NEPG=90°

\'GP//BE,G为AB中点,

.♦.P为AE中点，

BPAP=PE,且GP=JLBE,

2

在△APG和△EGP中,

'AP=EP

,ZAPG=ZEPG，

GP=GP

.•.△APG丝ZXEPG(SAS),

：.AG=EG=^AB,

2

：.EG=EF,即①成立，

•：EF//BG,GF//BE,

四边形3GFE为平行四边形,

：.GF=BE,

'：GP=^BE=1.GF,

22

：.GP=FP,

'：GF±AC,

:.NGPE=/FPE=9Q°

在aGPE和△FPE中，

'GP=FP

<ZGPE=ZFPE，

EP=EP

:.△GPE"XFPE(SAS),

/GEP=NFEP,

：.EA平分NGEF,即③成立.

故答案为：①②③.

6.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点0,点E,F在BD上,且BE=DF.

(1)求证：/XACF丝△CBE；

(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形;并给予证明.

B

【分析】(1)由平行四边形的性质知，AD=BC,AD//BC,得到NAQF=NCBE,又有BE=DF,故由

SAS证得△ADF丝△CBE；

(2)平行四边形的性质知，AO=CO,BO=DO,由BE=DF可求得OE=OF,根据平行四边形的判定

得到四边形AEC尸是平行四边形，由ACLE尸可得平行四边形AECF是菱形.

【解答】(1)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.NADF=NCBE,

在△AO尸和△C8E中，

'AD=CB

,ZADF=ZCBE-

DF=BE

:.△ADFWACBE(SAS')；

(2)解：补充的条件是：ACA.BD.

证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

OE=OF,

四边形A£CF是平行四边形，

又；AC_LM,

四边形AECF是菱形.

7.如图，平行四边形ABCO的对角线AC、BO交于点0,E为0C中点，过点。作0月〃8c交BE的延长

线于H,连接C”与。H.

(1)求证：△BCE丝△H0E；

(2)当四边形ABC。是怎样的特殊四边形时，四边形OCH。为菱形？请说明理由.

【分析】(1)由ASA证明△BCE丝△〃0£即可；

(2)先证四边形BCHO是平行四边形，得CH=OB,CH//OB,再证四边形OCHO是平行四边形，然

后由菱形的判定即可得出结论.

【解答】(1)证明：

NBCE=/HOE,

是0C的中点，

：.CE=OE,

在△8CE和△HOE中，

<ZBCE=ZH0E

.CE=OE，

ZBEC=ZHE0

：./\BCE^/\HOE(ASA)；

(2)解：当四边形4?CD是矩形时，四边形OCH0为菱形，理由如下:

由(1)可知，ABCE丝AHOE,

：.BE=HE,

■：CE=OE,

：.四边形BCHO是平行四边形，

：.CH=OB,CH//OB,

•••四边形ABC£>是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

：.CH=OD,OC=OD,

：.四边形OCHD是平行四边形，

5L'：OC=OD,

•••平行四边形OC”。是菱形.

8.如图，正五边形ABCQE的两条对角线AC,BE相交于点F.

(1)求/用E的度数；

(2)求证：四边形CDEF为菱形.

【分析】(1)利用正五边形的性质求出NB4E及乙48E度数，得出/H4F=/8CA=36°,最后求出/

初E的度数；

(2)根据四边相等的四边形是菱形即可证.

【解答】(1)解：•••正五边形A8C0E.

:.AB=AE=DE=CD,ZBAE=180°-^7-=108°，

D

・•・NABE=NAEB280°jBAE=18。。；。8。⑶。

同理：ZBAF=ZBCA=36°,

AZFAE=ZBAE-ZBAF=108°-36°=72°.

(2)证明：VZME=72°,

/.Z/4FE=18O°-72°-36°=72°,

：.AE=EF,同理8C=CF,

：.EF=CF=DE=CD,

四边形CZJEF为菱形.

考向三：菱形与几何图形的结合

菱形与面积菱形的面积等于对角线乘积的一半，延伸至其他四边形一一对角线互相垂直的四边形的面

积=对角线乘积的一半

菱形与等腰三菱形的任一条对角线将菱形分成两个等腰三角形

角形

菱形与等边三当菱形中有一个60°角或者120°角时，连结较短的对角线，可以将菱形分成2个等边三

角形角形

菱形与直角三菱形的两条对角线可以将菱形分成4个全等的直角三角形，在中点问题中，常和中位线、

角形直角三角形斜边上的中线等性质结合考察

1.如图，在aABCD中，AB=8C=5.对角线8。=8,则的面积为（）

A.20B.24C.40D.48

【分析】连接AC交B£＞于。，判定四边形ABCD是菱形，即可得出AC_LBD,再根据勾股定理即可得到

AO的长，最后利用菱形A2CD的面积为/BDXAC进行计算即可•

【解答】解：如图所示，连接4c交8。于0,

在。A8CZ)中，AB=BC=5,

四边形48c。是菱形，

：.ACLBD,

又•.,对角线BQ=8,

：.BO=4,

在RtAAOB中，AO={AB2_B02=^52-42=3，

；.AC=2AO=6,

菱形488的面积为/BDXAC="x8X6=24.

故选：B.

2.如图，在aABC中，AB=AC,分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点£>.连接B。、

AD.若NAB£>=130°,则/CA£>=25°.

【分析】首先根据作图得出四边形A3OC是菱形，然后根据菱形的性质求解即可.

【解答】解：连接8,如图.

•••分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点/),

：.BD=CD=AB,

'：AB=AC,

:.AB=BD=CD=AC,

...四边形48DC是菱形，

J.BD//AC,ZCAD^l.ZBAC,

2

AZBAC=1800-ZABD=180°-130°=50°,

：.ZCAD=25Q.

故答案为：25°.

3.两张全等的矩形纸片A8CZ）,AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB=AF,AE=BC.AE与8c交于点

G,AO与CF交于点H,且NAG8=30°,AB=2,则四边形AGCH的周长为（)

A.4B.8C.12D.16

【分析】先证明四边形AGCH是平行四边形，然后证明A"=AG,证得四边形AGCH是菱形，再求出

AG即可解答.

【解答】解：•••四边形4BCO和四边形AEC户是矩形，

J.AD//BC,AE//CF,NB=NF=90°,

四边形AGCH是平行四边形，

/AG8=ZGCH=NAHF,

在△AF”和△AG8中，

，ZAGB=ZAHF

<ZB=ZF.

AB=AF

:.△AFgXNGB(AAS),

：.AH=AG,

•••平行四边形AGCH是菱形，

：.AG=GC^CH=HA,

VZAGB=30°,AB=2,

：.AB=4,

二四边形AGC”的周长为4X4=16.

故选：D.

4.如图，在菱形A8CD中，对角线AC与相交于点0,NABC=60°,点E,尸分别是8C,C£＞的中

点，分别与AE,AF相交于点M,N,连接OE,OF,下列结论：（1）ZSAE尸是等边三角形；（2）四

边形CEOF是菱形；（3）OF±AE；（4）BM=MN=ND.其中正确的结论有（）

aD

BEC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由菱形的性质得出AABC、△AOC是等边三角形，得出AE=08,AF=OD,得出AE=AR再

证明EF是△BCO的中位线，得出EF=^BD=OB,得出AE=AF=EF,得出（1）正确；由直角三角形

2

斜边上的中线性质得出OE=』BC=CE,OF=1CD=CF,得出OE=OF=CE=CF,得出（2）正确；

22

由菱形的性质得出OFHBC、再由AE1BC,得出（3）正确；证明AM=BM,同理：AN=ND,再证出

AM=AN,得出（4）正确；即可得出结论.

【解答】解：•••四边形A8C。是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,ZADC=ZABC=60a,OA=OD=1AC,OB=OD=LBD,ACA.BD,

22

.,.△ABC、△ADC是等边三角形，

/.OB是等边三角形ABC的高，

•.•点E是8c的中点，

：.AE时等边三角形ABC的高，

：.AE=OB,

同理：AF^OD,

：.AE=AF,

,:点、E,尸分别是8C,CD的中点，

.•.EF是△BCO的中位线，

:.EF=LBD=OB,EF//BD,

2

：.AE=AF=EF,

即是等边三角形，

（1）正确；

♦・•点E,F分别是3C,CO的中点，ACA.BD,

：.OE=、BC=CE,OF=1-CD=CF,

22

：.OE=OF=CE^CF,

•••四边形CEOF是菱形,

:.(2)正确；

•.•四边形CEO尸是菱形,

：.OF//BC,

\'AE±BC,

J.OFYAE,

：.(3)正确；

'：AE.80是等边三角形ABC的中线，

：.AM=BM,

同理：AN=ND,

是等边三角形，

：.ZAEF=ZAFE=60°,

'：EF//BD,

：.ZAMN=ZAEF=60Q,ZANM=ZAFE=60°,

，NAMN=NANM=60°,

：.AM=AN,

:.BM=MN=ND,

(4)正确；

正确的结论有4个，

故选：D.

5.如图，菱形A8CD中，4C与8。交于点O,CD=2OB,E为C。延长线上一点，使得。E=CD,连结

BE,分别交AC、A。于点RG,连结OG,AE,则下列结论：①NA8C=120°；②OG^AB；③四边

形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.其中正确的结论个数

是()

【分析】根据菱形的性质得出BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,求出BC=DC=BD,根据等边三角

形的判定得出△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出/2CZ)=60°,求出/ABC=120°,

求出N8AG=NEDG,AB=DE,根据全等三角形的判定得出△ABG且ZYDEG,根据全等三角形的性质得

出AG=QG,BG=GE,求出OG〃AB〃£)E,OG=^AB,0G到A8之间的距离=0G到。E之间的距离

2

(设距离为/?)，求出四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，根据菱形的判定求出四边形ABDE是

菱形即可.

【解答】解：•••四边形A8CD是菱形，

：.BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,

'：CD=2OB,

:.BC=DC=BD,

：./\BDC是等边三角形，

AZBCD=60°,

,JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=1801,,

r.ZABC=120°,故①正确；

'：AB//CD,

：.ZBAG=ZEDG,

；AB=CD,CD=DE,

：.AB=DE,

在△A8G和aOEG中，

，ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE-

AB=DE

/.AAfiG^ADEG(A45),

J.AG=DG,BG=GE,

'：BO=DO,AB//DE,

：.OG//AB//DE,OG=1AH,OG到A8之间的距离=OG到OE之间的距离(设距离为〃)，

2

；四边形OOEG的面积(DE+OG)h,四边形O8AG的面积S'=A(AB+OG)h,AB=DE,

22

四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故②正确，③正确;

\'AG=DG,BG=GE,

•••四边形ABCE是平行四边形，

,:DE=CD=BD,

，四边形是菱形，故④正确；

即正确的个数是4,

故选：A.

6.如图，在平行四边形ABCO中，D8=D4,点F是A8的中点，连接。尸并延长，交C8的延长线于点E,

连接4E.

（1）求证：四边形AE8O是菱形.

【分析】（1）由△AFD四△2FE,推出40=BE,可知四边形AE3£）是平行四边形，再根据可

得结论；

（2）利用勾股定理求出EF的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//CE,

：.NDAF=NEBF,

:NAFD=NEFB,AF=FB,

:.△AFD9XBFE（ASA）,

：.AD=EB,

'：AD//EB,

•••四边形AEBO是平行四边形，

\'BD=AD,

四边形AE2Z）是菱形.

(2)解：1•四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB^2,

•.•四边形AE8O是菱形，

：.AE=BD=y[ld，ABIDE,AF=FB=],EF=DF,

•但=八产-〃2=3,

：.DE=9,

：.S^AEBD=^AB'DE=XX2X6=6.

22

1.（2022•河池）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,3。相交于点O,下列结论中错误的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.NDAC=/BAC

【分析】根据菱形的性质即可一一判断.

【解答】解：：四边形A5CD是菱形，

：.ZBAC=ZDAC,AB=AD,AC1.BD,

故A、B、。正确，无法得出AC=8C,

故选：C.

2.（2022•河南）如图，在菱形A8CO中，对角线AC,8。相交于点。，点£为CO的中点.若。E=3,则

菱形A8C。的周长为（)

AD

【分析】由菱形的性质可得出ACLBO,AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半得出8的长，结合菱形的周长公式即可得出结论.

【解答】解：•.•四边形ABC。为菱形，

：.AC,LBD,AB=BC=CD=DA,

・•・△COO为直角三角形.

,「OE=3,点E为线段。。的中点，

：.CD=2OE=6.

C菱形ABCD=4CO=4X6=24.

故选：C.

3.（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【分析】根据菱形的对边平行，以及两直线平行，内错角相等即可求解.

【解答】解：•.•菱形的对边平行，

・••由两直线平行，内错角相等可得N1=80°.

故选：C.

4.（2022•甘肃）如图，菱形48C。中，对角线AC与8。相交于点O,若AB=2匹cm,AC=4cm,则BD

的长为8cm.

C

【分析】由菱形的性质可得ACLBQ,80=。0,由勾股定理可求B。，即可求解.

【解答】解：•.,四边形48co是菱形，AC^Acin,

：.ACLBD,BO=DO,A0=C0=2cm,

；48=2遥cm,

7BO=VAB2-AO2=4CW)

・•・00=30=4。%,

BD=8cm,

故答案为：8.

5.（2022•襄阳）如图，0ABe。的对角线AC和B。相交于点0,下列说法正确的是（）

A.若0B=0D,贝gABCZ）是菱形

B.若AC=8。，贝』ABC£＞是菱形

C.若0A=0。，贝iJeABCD是菱形

D.若AC_LB。，则口A8CZ）是菱形

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：4、1•四边形A8CD是平行四边形，

：.OB=OD,故选项A不符合题意：

B、:四边形A8CZ）是平行四边形，AC=BD,

.•.□ABC。是矩形，故选项8不符合题意；

C、四边形ABCD是平行四边形，

:.OA=OC=1AC,OB=OD=1.BD,

22

'：OA=OD,

：.AC=BD,

：.^ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

：四边形ABC。是平行四边形，AC1BD,

是菱形，故选项。符合题意；

故选：D.

6.（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△OEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABEZ）

是菱形，这个条件可以是（答案不唯一）.（写出一个即可）

【分析】由平移的性质得AB=DE,则四边形ABE。是平行四边形，再由菱形的判定即可得出

结论.

【解答】解：这个条件可以是AB=AD,理由如卜：

由平移的性质得：AB//DE,AB=DE,

四边形A8EO是平行四边形，

又：43A。，

平行四边形ABED是菱形，

故答案为：AB=AD（答案不唯一）.

7.（2022•天津）如图，已知菱形ABCQ的边长为2,ZDAB=6O°,E为AB的中点，F为CE的中点，AF

与DE相交于点G,则GF的长等于H.

—4—

【分析】如图，过点尸作FH〃CZ）,交DE于H,过点C作CM，A8,交48的延长线于M,连接F8,

先证明尸〃是△（；£）£：的中位线，得FH=1,再证明△AEG四△FHG（/MS）,得AG=FG,在RtZsCBM

中计算8M和CM的长，再证明8尸是中位线，可得8F的长，山勾股定理可得AF的长，从而得结论.

【解答】解：如图，过点尸作/•H〃CD,交DE于H,过点C作CM_LAB,交A8的延长线于M,连接

FB,

•.•四边形ABC。是菱形,

：.AB=CD=BC=2,AB//CD,

：.FH//AB,

：.ZFHG=NAEG,

；产是CE的中点，FH//CD,

是£>E的中点，

...F”是△CDE的中位线，

：.FH=^CD=l,

2

是48的中点，

：.AE=BE=\,

：.AE=FH,

"：ZAGE=ZFGH,

:AAEGQ丛FHG(A4S),

：.AG=FG,

'：AD//BC,

；.NCBM=NZMB=60°,

RtZ\C8M中，/BCM=30°,

：.BM=^BC=1,CM=62_]2=百,

:.BE=BM,

是CE的中点，

...F5是△CEM的中位线，

：.BF=1.CM=^-,FB//CM,

22

:.NEBF=NM=90°,

?22=22

RtZXAFB中，由勾股定理得：^/=VAB+BF^2+(y-)2=Vj9_t

:.GF=1AF=>^.

24

故答案为：运.

4

8.(2022啷尔多斯)如图，菱形A8CO中，AB=2百，/4BC=60°,矩形BEFG的边方经过点C,且

点G在边AO上，若8G=4,则BE的长为（)

A_GD

E

A.3B.c.V6D.3

22

【分析】方法一：过点G作GM，8c于点M,过点C作CMLAD于点M由菱形的性质得出A8=8C

=CO=2百，AD=BC,/A8C=NO=60°,AD//BC,由直角二角形的性质求出MG=3,证明△GBM

s^BCE,由相似三角形的性质得出空■空，则可求出答案.

BCBE

方法二：连接CG,求出S菱形ABCD=2百X3=6«，根据SMCG%s矩形BEF4s菱形皿可求出答案•

【解答】解：过点G作GM,8c于点M,过点C作CNLA。于点M

图1

；四边形A8CD为菱形，

：.AB=BC^CD=2yf3,AD=BC,ZABC=ZD=60a,AD//BC,

:.NMGN=90°,

四边形GMCN为矩形，

:.GM=CN,

在△C£W中，ZD=60°,CD=2y[3,

.*.CN=CD・sin60°=2«X亨=3,

・・・MG=3,

•・,四边形BEFG为矩形,

：.ZE=90°,BG//EF,

:.NBCE=NGBM,

又＜NE=NBMG,

:.△GBMsABCE,

•BGGM

"BC"BE"

・4=3

,2V3=BE'

,*

方法二：连接CG,

同方法一求出aBGC的8c上的高为3,

•*•5差形A8CD二2如义3=6如，

・・J11

,4"=2S矩形BEFG_2$菱形ABQ

••卷BEX4Vx函，

：.BE=^-U-.

2

故选：B.

9.（2022•甘肃）如图I,在菱形48co中，ZA=60°,动点P从点A出发，沿折线4£>fDC-C8方向匀

速运动，运动到点3停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，

则AB的长为（）

A.我B.2MC.3MD.473

【分析】根据图1和图2判定三角形A3。为等边三角形，它的面积为3愿解答即可.

【解答】解：在菱形A