4.4 课时1 二项式定理 - 副本

.4课时1二项式定理【学习目标】1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象)3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算)【自主预习】预学忆思1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗?二项展开式中的字母a,b能交换位置吗?2.(1+2x)n的二项展开式是什么?其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么?3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?自学检测1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.()(3)Cnrarbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项.((4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等.()2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=().A.9 B.10 C.11 D.83.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有个不同的项.

4.求x+1x6的展开式.【合作探究】探究1：二项式定理情境设置问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程?问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗?问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么?新知生成二项式定理公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数Cnr(其中0≤r≤n新知运用例1(1)求x-12(2)化简:Cn0(x+1)n-Cn1(x+1)n-1+Cn2(x+1)n-2-…+(-1)kCnk(x+1)n-k+方法指导(1)解答本题先将x看成a,-12x看成b,利用二项式定理展开,也可以先将x-12x4化简后再展开.(2)可先把x+【方法总结】二项式定理的双向应用:(1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.巩固训练1.1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+16Cn4+…+(-2)A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n2.求x2+1x2-23的展开式.探究2：二项展开式的通项情境设置问题1:在(a+b)n的二项展开式中,第k项是什么?问题2:在(a+b)n的二项展开式中,Tk+1=Cnkan-kbk是二项展开式的第几项?问题3:(1+3x)n的二项展开式是什么?其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么?新知生成二项展开式的通项(a+b)n展开式中的Cnran-rbr叫作二项展开式的通项,记作Tr+1,它表示展开式的第r+1项,即Tr+1=Cnran-新知运用例2已知在3x-33xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n的值;(2)求含x2的项的系数;(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)求展开式中所有的有理项.方法指导(1)写出二项式的通项Tr+1,令r=5,x的指数为0,求出n的值;(2)由二项式的通项求含x2的项的系数;(3)由二项式的通项写出第4项的二项式系数及第4项的系数;(4)令通项中“变元”的幂指数为整数,建立方程,解方程得对应的有理项.【方法总结】求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求k的值,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0,建立方程.巩固训练求x2-12x9的展开式中:(1)第6项的二项式系数;(2)第3项的系数;(3)常数项.探究3：有理项问题情境设置问题1:什么是展开式的有理项?问题2:什么是二项式中的整数项?与有理项相同吗?新知生成1.求二项式中的有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.2.求二项展开式中的整数项,其通项公式中同一字母的指数应是自然数,求解方式与求有理项一致.新知运用例3在x+124xn的展开式中,前3项的系数成等差数列.(1)求展开式中x的系数;(2)求展开式中的有理项,其中的整数项有几个?方法指导(1)由Cn1=Cn0+14Cn2可得出关于n的一元二次方程,结合n的取值范围可求得n的值,然后写出展开式的通项,令x的指数为1,求出参数的值,代入通项即可得解;(2)设展开式中,第k+1项为有理项,可知4-3【方法总结】求展开式的有理项,应写出它的通项公式,令未知量的指数为整数,便能求出符合题意的有理项.巩固训练在x-124xn(n≥3,n∈N+)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列(1)证明:展开式中没有常数项.(2)求展开式中所有的有理项.【随堂检测】1.在(1-2x)6的展开式中,x3的系数为().A.20 B.-20 C.160 D.-1602.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为().A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x