挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题04多边形内角和定理重难点题型(原卷版+解析)

专题04多边形内角和定理重难点题型【题型目录】题型一三角形内角和定理的证明题型二与平行线有关的三角形内角和问题题型三与角平分线有关的三角形内角和问题题型四三角形折叠中的角度问题题型五三角形外角的性质题型六多边形的内角和问题题型七正多边形的内角、外角问题题型八多边形内角和、外角和的综合问题【经典例题一三角形内角和的证明】【知识归纳】1、三角形的内角：①三角形的三个内角的和等于180°.②推论：直角三角形的两个锐角互余.【例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于．已知：的三个内角为，，．求证：．证法1证法2如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵（平角的定义），∴（等量代换）．如图2，过点作，∵，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），又∵（平角定义），∴（等量代换）．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1用合理的推理证明了该定理C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理【变式训练】【变式1】（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（）A．115° B．120° C．125° D．130°【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知交于点，且，则_____．【变式3】（2023秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论．小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．(1)填空：小明的证明过程如下：已知：如图，三角形．求证：．证明：延长，过点C作．∴（两直线平行，内错角相等），（____________）．∵（____________），∴．(2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程．(3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是．请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过程．【经典例题二与平行线有关的三角形内角和问题】【例2】（2023秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】【变式1】（2023·全国·八年级专题练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（

）A．134° B．124° C．114° D．104°【变式2】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝_____°．【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在三角形中，，直线与边、分别交于、两点，直线与边、分别交于、两点，且．(1)若，求的度数；(2)如图2，P为边AB上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接、，请直接写出、、的数量关系（用含m的式子表示）．【经典例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】【例3】（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④【变式训练】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得，……，与的平分线交于点，得，则________．【变式3】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）如图，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．(1)若，，求的度数；(2)若，且，求的度数．【经典例题四三角形折叠中的角度问题】【例4】（2023秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(

)A． B． C． D．【变式2】（2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．【变式3】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【经典例题五三角形外角的性质】【知识归纳】1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.图中的∠CBD称为△ABC的一个外角2、注意：①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.③三角形的外角和等于360°.【例5】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，是三个内角的平分线的交点，过点作，交边于点若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．【变式3】（2023秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．【经典例题六多边形的内角和问题】【知识归纳】多边形的外角：（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.（2）任意多边形的外角和等于360°.多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°【例6】（2023秋·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（

）A．360° B．540° C．720° D．无法计算【变式训练】【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（

）A． B． C．或 D．或或【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．【变式3】（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则__________；(2)若点P在边上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为：__________；(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．(4)若点P运动到形外，如图（4）所示，则、、之间的关系为：__________．【经典例题七正多边形的内角、外角问题】【例7】（2023·四川绵阳·校考二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【变式训练】【变式1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则的大小为A． B． C． D．【变式2】（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°．【变式3】（2023秋·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图1，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连结AM，BN相交于H．(1)求正五边形ABCDE外角的度数；(2)求∠AHB的度数；(3)如图2，将条件中的“正五边形ABCDE”换成“正六边形ABCDEF”，其他条件不变，试猜想∠AHB的度数．【经典例题八多边形的内角和、外角和的综合问题】【例8】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若，，，的外角的度数和为，则的度数为（）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·八年级单元测试）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点M，则的大小为___．【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．【培优检测】1．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）如图，将三角形纸片翻折，点A落在点的位置，折痕为．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，，，，那么等于（

）A． B． C． D．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（

）A． B． C． D．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．6．（2023秋·重庆巴南·八年级校考期中）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则等于（）A． B． C． D．7．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，五边形是正五边形，若，则（

）A． B． C． D．8．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°10．（2023秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（

）A．1440 B．1800 C．2880 D．360011．（2023秋·天津·八年级校考期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为___________．12．（2023秋·天津·八年级校考期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小=___________（度）．13．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则______．14．（2023秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，是的和的外角的平分线的交点，若，则__________．15．（2023秋·重庆渝北·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且，则∠P=____________．16．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．17．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．现在我们时论三角形的外角及外角和．如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．三角形的外角写内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有（外角）（相邻的内角）那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？依据三角形的内角和等于，我们有．由上面两个式子，可以推出．．因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：．由此可知，三角形的外角有两条性质：1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度．【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由．【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________．18．（2023·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．19．（2023春·八年级课时练习）一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．20．（2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．21．（2023秋·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）(4)拓展：如图4，在四边形中，O是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）．(5)运用：如图5，五边形中，的外角分别是分别平分和且相交于点P，若，则

度．22．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期中）请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．探索四边形的内角和数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？“勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得，∵，∴．即四边形的内角和是360°．“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形（如图2或图3），进而证明四边形内角和等于360°．“创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接，，，…任务一：勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是（

）A．从一般到特殊

B．转化

C．抽象任务二：在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路．求证：；任务三：如图4，请按照创新小组的思路求证：．23．（2023秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）中，，点D、E分别是边上的点，点P是一动点．(1)若点P在边上，如图1所示，且，则___________°；(2)若点P在边上运动，如图2所示，则之间的关系为___________；(3)若点P运动到边的延长线上，与的交点为M，如图3所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．24．（2023秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）在四边形中，，．(1)如图1，若，则______；(2)如图2，若的平分线交于点E，且．求的度数；(3)若和的平分线交于点E，延长，交于点F（如图3）．将原来条件“，”改为“”，其他条件不变，求的度数．25．（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）问题：若，点A在直线上，点B在直线上，点E为，之间一点，探，与之间的关系．(1)如图1，延长与交于点F（方法一）；如图2，过点E作（方法二），发现：．请选择一种方法说明．(2)小明同学进行了更进一步的思考：直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，直线，分别平分，，且交于点E．①如图3，若，则_____________．②如图4，若，则_________．（用含x的代数式表示）(3)如备用图，射线与射线相交于点O，点A、C在射线上，，点B、D在射线上，其中A、B是定点，C、D是动点，且点D在点B右侧，直线，分别平分，且交于点E．若，，直接写出的度数．（用含m，n的代数式表示）26．（2023春·江苏扬州·七年级校考期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．专题04多边形内角和定理重难点题型【题型目录】题型一三角形内角和定理的证明题型二与平行线有关的三角形内角和问题题型三与角平分线有关的三角形内角和问题题型四三角形折叠中的角度问题题型五三角形外角的性质题型六多边形的内角和问题题型七正多边形的内角、外角问题题型八多边形内角和、外角和的综合问题【经典例题一三角形内角和的证明】【知识归纳】1、三角形的内角：①三角形的三个内角的和等于180°.②推论：直角三角形的两个锐角互余.【例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于．已知：的三个内角为，，．求证：．证法1证法2如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵（平角的定义），∴（等量代换）．如图2，过点作，∵，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），又∵（平角定义），∴（等量代换）．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1用合理的推理证明了该定理C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理【答案】D【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，故A、B都不符合题意；证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，故C不符合题意；D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】D【分析】根据折叠的性质和平行线的性质得到∠BCD＝∠CBD，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：设∠A′BD＝α，∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，∠A＝∠A′，∵AC∥BD，∴∠ACB＝∠CBD，∴∠BCD＝∠CBD，∵∠2＝140°，∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠CBA′＝30°，∴∠A′BD＝10°，∴∠A′＝∠2﹣∠A′BD＝140°﹣10°＝130°，∴∠A＝∠A′＝130°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知交于点，且，则_____．【答案】64°【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案；【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB∴∠A+∠D=∠C+∠B，∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；故答案为：64°；【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【变式3】（2023秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论．小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．(1)填空：小明的证明过程如下：已知：如图，三角形．求证：．证明：延长，过点C作．∴（两直线平行，内错角相等），（____________）．∵（____________），∴．(2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程．(3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是．请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过程．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；平角定义(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由证明过程，结合具体的图形可得答案；（2）过点A作DEBC，利用平行线的性质以及平角的定义可得结论；（3）在BC边上任取一点D，分别作DEAB，DFAC，利用平行线的性质和平角的定义可得答案．【详解】（1）证明：延长BC，过点C作CMBA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．故答案为：两直线平行，同位角相等；平角定义；（2）证明：如图2，过点A作DEBC，∵DEBC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE．∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°；（3）证明：如图3，过点D作DEAB，DFAC，∵DEAB，∴∠B=∠CDE，∠BFD=∠EDF．∵DFAC，∴∠C=∠BDF，∠BFD=∠A．∴∠A=∠EDF．∵∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，掌握平行线的性质以及平角的定义是解决问题的前提．【经典例题二与平行线有关的三角形内角和问题】【例2】（2023秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴，故①正确；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；∵，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】【变式1】（2023·全国·八年级专题练习）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（

）A．134° B．124° C．114° D．104°【答案】B【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=34°∵ED∥AC∴∠CAE+∠DEA=180°∴∠DEA=180°-34°=146°∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°∴∠BED=360°-146°-90°=124°．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．【变式2】（2023春·广西南宁·七年级统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝_____°．【答案】【分析】由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，结合平行线的性质易求∠DGB'＝40°，即可得A'GE＝40°，由直角三角形的性质可求解∠HEG＝50°，进而可求解．【详解】解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案为：15．【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和及直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和及直角三角形的性质是解题的关键．【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，在三角形中，，直线与边、分别交于、两点，直线与边、分别交于、两点，且．(1)若，求的度数；(2)如图2，P为边AB上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接、，请直接写出、、的数量关系（用含m的式子表示）．【答案】(1)134°(2)，理由见解析(3)或【分析】（1）延长，结合平行线性质和外角定理即可．（2）延长，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可．（3）结合题意画出图形，分类讨论即可．【详解】（1）解：延长交于点，，，．（2）解：延长交于点，，，在中，，又，，（3）解：①当点在的延长线上时，如图，在中，，，，，，．②当点在上时，如图，同理可得，．综上，，，的数量关系为：或．【点睛】本题考查平行线性质、外角定理和三角形内角和，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一．【经典例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】【例3】（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④【答案】D【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，从而即可得到答案．【详解】解：为外角的平分线，平分，，，又是的外角，，，即，故②正确；，分别平分，，，，，故①、③错误；平分，平分，，，，是的外角，，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记这些定义并灵活运用是解决问题的关键．【变式训练】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．【详解】解：如图，连接，∵平分，平分，，∴，∴，∴，∵，，∵，，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．【变式2】（2023秋·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）如图，中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得，……，与的平分线交于点，得，则________．【答案】##【分析】结合题意，根据角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理，得，同理得，，，…，即总结出，再将代入，即可求出．【详解】∵，与的平分线交于点，∴．∵，∴．∵，∴．同理，得，，，…，∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形内角和定义、三角形外角的性质、角平分线的定义、数字类规律探索．结合各知识点求出是解题关键．【变式3】（2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）如图，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点．(1)若，，求的度数；(2)若，且，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，根据三角形内角和等于，可得的度数，因为平分，从而可得的度数，进而求得的度数，由，可得的度数，从而求得的度数．（2）根据和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】（1）解：，，．．平分．．．又．．．；（2）平分，，，，设，，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和的应用，掌握三角形内角和定理，数形结合．【经典例题四三角形折叠中的角度问题】【例4】（2023秋·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】．根据折叠的性质，得到，，因为，所以，因为，所以．故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠的性质得出，，继而分别表示出，得到，即可求解．【详解】解：根据折叠的性质得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴故选B．【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】（2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．【答案】30【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则，从而求得答案．【详解】解：如图，在中，，∵是斜边上的中线，∴，∴，将沿直线折叠，点落在点处，设度，∵，∴，如果恰好与垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案为：30【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．【变式3】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），理由见解析【分析】（1）由折叠的性质得，再根据平角的定义得到，，根据三角形外角的性质可得，由此即可得出结论；（2）先根据（1）的结论求出，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出即可；（3）先推出，，再由三角形外角的性质推出，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出即可得到结论．【详解】解：（1），理由如下：由折叠的性质可知，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，，∴，∵的平分线，与的外角平分线交于点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：，理由如下；由折叠的性质可知，∴，，∵，∴，∴，∵，的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．【经典例题五三角形外角的性质】【知识归纳】1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.图中的∠CBD称为△ABC的一个外角2、注意：①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.③三角形的外角和等于360°.【例5】（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点在线段上，且，，分别是，的平分线，若的度数可用含的代数式表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角形外角和证明，角平分线定义得，，从而得到，再根据三角形外角和得到，即可求解．【详解】解：连接，并延长到F，如图，，，，又，，，，∵，分别是，的平分线，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和与外角和，角平分线定义，解题关键是证得或．【变式训练】【变式1】（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，是三个内角的平分线的交点，过点作，交边于点若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据三角形外角性质得出即可．【详解】解：，，是三个内角的平分线的交点，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，能求出的度数是解此题的关键．【变式2】（2023秋·河北张家口·八年级校考阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．【答案】

减少

10【分析】连接，并延长至点，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，再结合的原度数，即可得出结论．【详解】解：连接，并延长至点，如图所示．在中，，，∴，∴．∵，，∴，即，∴，∴，∴图中应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．【变式3】（2023秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．【答案】(1)10°(2)45°【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得，利用三角形的高线可求，进而求解即可得出结论；（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，∵，∴，∴；（2）∵和的角平分线交于点G，∴，，∵，，∴，即，∵是的高，∴，∴．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用．【经典例题六多边形的内角和问题】【知识归纳】多边形的外角：（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.（2）任意多边形的外角和等于360°.多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°【例6】（2023秋·山西吕梁·八年级统考期中）数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（

）A．360° B．540° C．720° D．无法计算【答案】B【分析】根据五边形的内角和是，可求，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，从而求出所求的角的和．【详解】解：如图，在五边形中：，，，．故选：B．【点睛】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．【变式训练】【变式1】（2023春·江苏·七年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：故选D．【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知中，，将按照如图所示折叠，若，则_____．【答案】【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．【详解】解：由折叠知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．【变式3】（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，．(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则__________；(2)若点P在边上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为：__________；(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由．(4)若点P运动到形外，如图（4）所示，则、、之间的关系为：__________．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析(4)【分析】(1)由平角的定义得出，，，再由四边形的内角和是，即可求得的度数；(2)同(1)的方法即可求得；(3)利用三角形的外角的性质即可得出结论；(4)利用三角形外角的性质和对顶角相等即可得出结论．【详解】（1）解：由平角的定义知，，，在四边形中，，即，，，当时，，故答案为：；（2）解：由(1)知，，故答案为：；（3）解：，理由如下：由三角形的外角的性质知：，，，即；（4）解：由三角形的外角的性质知：，，，，，即，故答案为：．【点睛】本题的考点是三角形内角和定理，主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的性质、平角的定义，解本题的关键是把、、转化到一个三角形或四边形中．【经典例题七正多边形的内角、外角问题】【例7】（2023·四川绵阳·校考二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【答案】B【分析】根据正六边形内角和公式求出内角，根据三角形的判定定理证明△ABN≌△BCM，通过角的等量替换即可证得．【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【点睛】此题考查了多边形内角和公式、三角形全等，解题的关键是熟悉并会用内角和公式求角的度数．【变式训练】【变式1】（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，以正五边形ABCDE的对角线AC为边作正方形ACFG，使点B落在正方形ACFG外，则的大小为A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据正五边形的性质得出∠B=∠BAE=108°，AB=BC，利用等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=（180°-∠B）=36°，则∠CAE=∠BAE-∠BAC=72°．再根据正方形的性质得出∠CAG=90°，代入∠EAG=∠CAG-∠CAE即可求解．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=∠BAE=180°-=108°，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=（180°-∠B）=36°，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°．∵四边形ACFG是正方形，∴∠CAG=90°，∠EAG=∠CAG-∠CAE=90°-72°=18°．故选A．【点睛】本题考查了正五边形、正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求出∠CAE的度数是解题的关键．【变式2】（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°．【答案】54【分析】如图，标注字母，先求解正五边形的内角∠D，∠DCB的大小，再利用平行线的性质及角的和差求解∠DCE，再利用三角形的内角和求解∠DEC，从而利用平行线的性质可得答案．【详解】解：如图，标注字母，由题意得：ABEC，∠D=∠DCB==108°，∠ABC=90°，∴∠ECB=180°−90°=90°，∠DCE=108°−90°=18°，∴∠DEC=180°−∠D−∠DCE=54°，∵ABEC，∴∠α=∠DEC=54°．故答案为：54．【点睛】此题考查了平行线的性质，正多边形的内角和，三角形的内角和，解题的关键是掌握利用平行线结合内角和定理进行计算．【变式3】（2023秋·湖北荆州·八年级统考阶段练习）如图1，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，BM=CN，连结AM，BN相交于H．(1)求正五边形ABCDE外角的度数；(2)求∠AHB的度数；(3)如图2，将条件中的“正五边形ABCDE”换成“正六边形ABCDEF”，其他条件不变，试猜想∠AHB的度数．【答案】(1)正五边形ABCDE外角的度数为(2)∠AHB＝(3)∠AHB＝【分析】（1）根据多边形的内角和定理求得内角和，根据每一个内角都相等求得∠ABC＝，根据每一个外角都相等，用即可求解；（2）证明△ABM≌△BCN（SAS）得出，根据（1）的结论可得，根据三角形内角和定理即可求解；（3）根据正六边形的内角等于180°减去它的一个外角可得，同（2）证明证明△ABM≌△BCN（SAS）得出，进而即可求解．（1）解：∵正五边形的内角和为，∴∠ABC＝，∴正五边形ABCDE外角的度数为；（2）在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴，∴，∴；（3）解：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了正多边形的内角和与外角和，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．【经典例题八多边形的内角和、外角和的综合问题】【例8】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若，，，的外角的度数和为，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，根据多边形的外角和等于，得,根据三角形外角的性质，得，那么．根据三角形内角和定理，得．【详解】解：如图．由题意得：，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．【变式训练】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多边形外角和求出∠5+∠6=112°，根据角平分线定义进而求出∠FEP+∠EFP=124°，再根据三角形的内角和求出∠P的度数．【详解】解：∵，多边形的外角和为360°，∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°，∴∠DEF+∠AFE=248°，∵EP，FP分别平分∠DEF和∠AFE，∴∠FEP=∠DEF，∠EFP=∠AFE，∴∠FEP+∠EFP=（∠DEF+∠AFE）=124°，∴∠P=56°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的外角和定义，角平分线的定义以及三角形的内角和，掌握以上基础知识是解决问题的关键．【变式2】（2023·八年级单元测试）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形中，对角线的延长线与边的延长线交于点M，则的大小为___．【答案】##22.5度【分析】根据正求出多边形的内角和公式，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可．【详解】解：∵八边形是正八边形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是正多边形内角和的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠D＝∠BCG，理由见解析【分析】（1）根据得出，进而根据已知得出，从而求解；（2）先证明，然后设，表示出，，进而表示出，，求出，，进而求出，得出．（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°．∵∠BCE与∠BEC互余，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEF＝∠BCE；（2）解：∵∠BCD+∠ECD＝180°，∠BCD+∠BEG＝180°，∴∠ECD＝∠BCG．设∠ECD＝∠BCG＝x，∴∠BCE＝180°﹣2x，∠BEC＝2x﹣90°．∵EG平分∠BEC，∴∠BEG＝∠GEC＝x﹣45°．∵EFCD，∴∠FEC＝180°﹣∠ECD＝180°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＝90°﹣x，∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣x+x﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣CFEG＝45°．∵∠D+∠AEF＝2∠G，∴∠D＝2∠G﹣∠AEF＝90°﹣（90°﹣x）＝x，∴∠D＝∠BCG．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质．【培优检测】1．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角性质求．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．2．（2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）如图，将三角形纸片翻折，点A落在点的位置，折痕为．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的外角得：，代入已知可得结论．【详解】解：如图，设与相交于点F，由折叠得：，∵，∴∵，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．3．（2023秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得到，再根据三角形外角性质得到，从而得到的度数．【详解】解：，，，是的一个外角，，，，故选：A．【点睛】本题考查求角度问题，涉及平行线性质、三角形外角性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；以及三角形外角等于不相邻两个内角和是解决问题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的外角平分线交于点O，设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角形内角和定理，得到，进而得到，再根据角平分线定义，得到，最后由三角形的内角和即可得到的度数．【详解】解：,，，，，和的外角平分线交于点O，，，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，熟练掌握三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴平分，平分，∴平分，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．6．（2023秋·重庆巴南·八年级校考期中）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，，则，利用等式的性质得到，然后把的度数代入计算即可．【详解】解：∵的平分线与的平分线交于点D，∴，，∵，即，∴，∵，∴．故选：C【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解答关键是三角形外角性质进行分析．7．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，五边形是正五边形，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，可得根据平行线的性质，，，再根据正多边形的性质可得的度数，即可求解．【详解】解：过点作，如图：∵，∴，∴，，∴，又∵五边形是正五边形，∴，又∵，∴∴．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的性质以及正多边形的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．8．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，中，，分别为上的点，的平分线分别交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，，，再利用四边形内角和等于360°可推导，然后由三角形外角的性质可知，进而得到，最后由计算的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵DF、EG为和的平分线，∴，，在四边形BCED中，有，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质、多边形内角和、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，理解并灵活运用相关知识是解题关键．9．（2023·全国·七年级专题练习）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．∵AB∥CD，∴∠KSM＝∠CNP＝30°．∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．10．（2023秋·浙江台州·八年级校联考阶段练习）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（

）A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【答案】C【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．11．（2023秋·天津·八年级校考期中）如图，已知中，于D，于E，交于点F，的平分线交于点O，则的度数为___________．【答案】##【分析】根据垂直定义可得：，然后根据三角形外角的性质，分别求出和，然后根据三角形的内角和求出，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求出．【详解】解：∵，，∴，∴∴∴∵、的平分线交于点O∴，，∴，．故答案为：．【点睛】此题考查的是三角形外角的性质、三角形的内角和和角平分线，掌握三角形外角的性质、三角形的内角和定理和角平分线的定义是解决此题的关键．12．（2023秋·天津·八年级校考期中）如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点F，是的外角的平分线，交的延长线于点G，若，则的大小=___________（度）．【答案】48【分析】设度，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到度，根据角平分线的性质得到度，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质和对顶角相等得到度，度，度，度，根据角平分线的性质得到度，再根据平角的定义可求得x，进而求得．【详解】解：设度，，度，是的外角的平分线，度，度，，度，度，度，是的外角的平分线，度，，解得∴．故答案为：48．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角与外角的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．13．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则______．【答案】或【分析】由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．【详解】解：在中，，，，，，设，则，，由折叠可知：，，当时，，，，解得(不存在)；当时，，解得，即；当时，，，，解得，即，综上，或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．14．（2023秋·山西大同·八年级大同市第七中学校校考阶段练习）如图，是的和的外角的平分线的交点，若，则__________．【答案】##80度【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，找出与的关系即可．【详解】根据三角形的外角性质，，，平分，是的角平分线，，，，故答案为．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，关键是运用三角形的外角性质找到与的关系，根据已知条件计算．15．（2023秋·重庆渝北·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且，则∠P=____________．【答案】【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可求解．【详解】解：的角平分线与的外角平分线相交于点，，，在四边形中，，，由三角形的外角性质得：，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和以及三角形外角的性质是解题关键．16．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．【答案】##40度【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：的角平分线与的外角平分线相交于点，，在四边形中，，，由三角形的外角性质得：故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握四边形的内角和是解题关键．17．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．现在我们时论三角形的外角及外角和．如图9.1.9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．三角形的外角写内角有什么关系呢？在图9.1.10中，显然有（外角）（相邻的内角）那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？依据三角形的内角和等于，我们有．由上面两个式子，可以推出．．因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：．由此可知，三角形的外角有两条性质：1．三角形的一个外角等于与它不相同的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．【感知】如图①，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，若，则___________度．【探究】如图②，在四边形中，分别是边的延长线，我们把、称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由．【应用】如图③，、分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为______________________．【答案】【感知】260°；【探究】∠A+∠C=∠DFC+∠BEC；【应用】75°【分析】（1）邻补角的和是180°及四边形内角和求解即可．（2）根据四边形内角和及邻补角的和求解即可．（3）根据（2）【探究】中的结论可得∠A+∠C=210°=∠DFE+∠BEF，最后根据三角形内角和求解．【详解】（1）【感知】邻补角互补∴∠BEF+∠AEF=180°

∠DFE+∠CFE=180°∴∠BEF+∠AEF+∠DFE+∠CFE=360°又∵∠AEF+∠A+∠CFE+∠C=360°，∠A+∠C=260°∴∠BEF+∠DFE=260°故答案为：260°（2）【探究】∵四边形AECF内角和360°∴∠A+∠C+∠AFC+∠CEA=360°邻补角互补∴∠AFC+∠DFC=180°，∠CEA+∠BEC=180°，∴∠AFC+∠DFC+∠CEA+∠BEC=360°∴∠A+∠C+∠AFC+∠CEA=∠AFC+∠DFC+∠CEA+∠BEC∠A+∠C=∠DFC+∠BEC故答案为：∠A+∠C=∠DFC+∠BEC（3）【应用】根据（2）【探究】中结论可得∠A+∠C=210°=∠DFE+∠BEF又∵FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线∴=105°∵三角形内角和180°∴∠M=180°-105°=75°故答案为：75°．【点睛】此题考查四边形内角和、邻补角、外角、三角形内角和，熟记并应用相关角的度数是解题的关键．18．（2023·湖南常德·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．19．（2023春·八年级课时练习）一个五角星图案如图．已知五边形的各个内角都相等，分别求的度数．【答案】【分析】首先利用多边形内角和公式且为整数，求出图形中五边形的每一个内角的度数，进而可得出其外角的度数，再利用三角形内角和定理可得的度数，即可获得答案．【详解】解：如下图，∵五边形内角和为，又∵五边形的各个内角都相等，∴，∴，∴，同理可得的度数均为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角、三角形内角和定理等知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和的计算公式．20．（2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．【答案】探究一：；探究二：；探究三：【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．【详解】解：探究一：∵，，∴；故答案为：；探究二：∵分别平分和，∴，，∴；探究三：∵分别平分和，∴，，∴．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．21．（2023秋·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）(4)拓展：如图4，在四边形中，O是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）．(5)运用：如图5，五边形中，的外角分别是分别平分和且相交于点P，若，则

度．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)(4)(5)【分析】（1）根据和分别是的角平分线，可得，再由三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得，，即可求解；（3）根据三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解；（4）根据四边形的内角和等于与三角形内角和定理，即可求解；（5）根据多边形内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：∵和分别是的角平分线，∴，∴；（2）解：