2022-2023学年广东省深圳实验学校中学八下期中数学试卷（含答案）

第1页（共1页）2022-2023学年广东省深圳实验学校中学八下期中数学试卷一、选择题（每题3分，10小题，共30分）1．（3分）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠24．（3分）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣45．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣36．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）如果关于x的不等式（a+2012）x＞a+2012的解集为x＜1．那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2012 B．a＜﹣2012 C．a＞2012 D．a＜20129．（3分）已知关于x的分式方程＝的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1且a≠3 C．a≥1且a≠9 D．a≤110．（3分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，下列结论正确的有（）个。①AE＝（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC；⑤AD＝AE． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（共5小题）11．（3分）因式分解：am2﹣9a＝．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝°．13．（3分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是．14．（3分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，BG平分∠ABC交AD于G，AF⊥CD于F，AF交BG于E，AB＝AF＝12，GD＝1，则EC＝． 第12题图 第15题图三、解答题（共1小题）16．（1）解方程：＝+1； （2）解不等式组：三、解答题（共7小题，共55分）17．因式分解：8a3﹣6a2﹣2a．18．先化简：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．19．某公司购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如表：产品资源甲乙矿石（吨）104煤（吨）48生产1吨甲产品所需成本费用为4000元，每吨售价4600元；生产1吨乙产品所需成本费用为4500元，每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的范围；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？20．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．21．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．22．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，∠ABD＝90°，点F为平行四边形外一点，连接CF、BF，且BF⊥CF于点F．（1）如图1，若S▱ABCD＝，CF＝5，求BF的长度；（2）如图2，延长BF、DC交于点E，过点D作DG⊥DF交FC的延长线于点G，若C为DE的中点，求证：CG＝CF+EF．23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为△ABC外一点，连接BD，连接AD交BC于点G，且满足BD⊥AB．（1）如图1，若BG＝2，AB＝3，求AG的长．（2）如图2，点F为线段BC上一点，连接AF、DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，若AF⊥DE，DF＝EF．求证：AB＝CF+BD；（3）如图3，点H为线段AC上一点，AH＝2，点K是直线AC上的一个动点，连接GK．将线段GK绕点G顺时针旋转90°得到线段GK'，点P是线段AD上的一个动点连接HP、PK'，若BG＝2﹣2，∠AGC＝4∠BAG，请直接写出HP+PK'的最小值．

2022-2023学年广东省深圳实验学校中学部八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，10小题，共30分）1．（3分）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2cm为腰或者2cm底边时．【解答】解：分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是10﹣2×2＝6cm，此时2cm，2cm，6cm不能组成三角形，应舍去；当2cm是底边时，腰长是（10﹣2）×＝4cm，2cm，4cm，4cm能够组成三角形．此时腰长是4cm．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．3．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≥﹣1，且x≠2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣1且x≠2，故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．4．（3分）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【分析】将x＝4代入分式方程即可求a的值．【解答】解：∵x＝4是分式方程的根，∴，即＝，∴a＝6，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．5．（3分）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（）A． B． C． D．【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确．【解答】解：A正确；∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2；B、D正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠1＝∠2；C不正确；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB．∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC．∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．∴OD∥AB．又点O是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝1.5，∴ED＝2OD＝3．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．8．（3分）如果关于x的不等式（a+2012）x＞a+2012的解集为x＜1．那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2012 B．a＜﹣2012 C．a＞2012 D．a＜2012【分析】根据不等式的解集得出a+2012＜0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的不等式（a+2012）x＞a+2012的解集为x＜1，∴a+2012＜0，即a＜﹣2012，故选：B．【点评】本题考查了对解一元一次不等式的应用，注意：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等式的符号要改变，题型较好，是一道比较好的题目．9．（3分）已知关于x的分式方程＝的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1且a≠3 C．a≥1且a≠9 D．a≤1【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围．【解答】解：3（3x﹣a）＝x﹣3，9x﹣3a＝x﹣3，8x＝3a﹣3∴x＝，由于该分式方程有解，令x＝代入x﹣3≠0，∴a≠9，∵该方程的解是非负数解，∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9，故选：C．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．10．（3分）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，下列结论正确的有（）个①AE＝（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC；⑤AD＝AE．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①在AE取点F，使EF＝BE．利用已知条件AB＝AD+2BE，可得AD＝AF，进而证出2AE＝AB+AD；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC＝∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB＝180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD＝CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF＝CB，从而CD＝CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC．⑤结合①的解题过程进行判断即可．【解答】解：①在AE取点F，使EF＝BE，∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，∴AE＝（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．⑤由①知，AD＝AF，且AF＜AE，所以AD＜AE，故⑤错误．故选：C．【点评】本题考查了三角形综合题，需要掌握角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．二、填空题（共5小题）11．（3分）因式分解：am2﹣9a＝a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：am2﹣9a＝a（m2﹣9）＝a（m+3）（m﹣3），故答案为：a（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝55°．【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝70°，由角平分线的定义得∠BAM＝35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ+∠BAM＝90°，即可求出α．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵∠B＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝BAC＝35°，∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠AMQ+∠BAM＝90°，∴∠AMQ＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，∴α＝∠AMQ＝55°．故答案为：55°．【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．13．（3分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是1≤m＜4．【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案．【解答】解：解不等式＜，得：x＞﹣2，解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，则不等式组的解集为﹣2＜x≤，∵不等式组有且只有三个整数解，∴1≤＜2，解得1≤m＜4，故答案为：1≤m＜4．【点评】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．14．（3分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．【分析】解分式方程的得出x＝，根据解为非负数得出≥0，且≠1，据此求出a≤5且a≠3；解不等式组两个不等式得出y≤0且y＜a，根据解集为y≤0得出a＞0；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，BG平分∠ABC交AD于G，AF⊥CD于F，AF交BG于E，AB＝AF＝12，GD＝1，则EC＝．【分析】在AD上截取AK＝AE，连接KF，由平行四边形的性质和角平分线的性质证得∠ABG＝∠AGB，证得AG＝AB＝AF＝12，进一步证得AD＝13，利用勾股定理求得DF＝5，设∠ABC＝2∠ABG＝2α，然后通过证得△AKF≌△AEG（SAS），得出∠AFK＝∠AGE＝α，通过三角形内角和定理证得∠DKF＝90°﹣α，即可证得∠DKF＝∠KFD，从而求得EF＝4，FC＝7，最后利用勾股定理即可求得EC．【解答】解：在AD上截取AK＝AE，连接KF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBG＝∠AGB，∵∠ABG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AG＝AB＝AF＝12，∴AD＝AG+GD＝13，∵AF⊥CD于F，∴DF＝＝5，设∠ABC＝2∠ABG＝2α，∴∠D＝∠ABC＝2α，∠ABG＝∠AGB＝α在△AKF和△AEG中∴△AKF≌△AEG（SAS），∴∠AFK＝∠AGE＝α，∴∠KFD＝90°﹣α，∴∠DKF＝180°﹣∠KFD﹣∠D＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴∠DKF＝∠KFD，∴DK＝DF＝5，∴AK＝13﹣5＝8，∴AE＝AK＝8，∴AB＝CD，AB＝AG＝AF＝12，∴EF＝12﹣8＝4，FC＝12﹣5＝7，在Rt△EFC中，EC＝＝＝方法二：解：过E作EH⊥BC，交BC于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBG＝∠AGB，∵∠ABG＝∠CBG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AG＝AB＝AF，设AE＝x，则EF＝12﹣x，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EH⊥BC，∴EH＝AE＝x，∵BE＝BE，∴△ABE≌△HBE（HL），∴BH＝AB，∴BH＝AG，∴HC＝GD＝1，在Rt△EHC中，x2+12＝EC2，在Rt△EFC中，（12﹣x）2+72＝EC2，∴x2+12＝（12﹣x）2+72，解得x＝8，∴EC＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的性质，求得三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．三、解答题（共1小题）16．（1）解方程：＝+1；（2）解不等式组：【分析】（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可．【解答】解：（1）＝+1，2x＝1+x+3，2x﹣x＝1+3，x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，∴此方程的解是x＝4；（2），①4x﹣x＞﹣2﹣7，3x＞﹣9，x＞﹣3；②3x﹣6＜4+x，3x﹣x＜4+6，2x＜10，x＜5，∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．【点评】本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式的性质是解答本题的关键．三、解答题（共7小题，共55分）17．因式分解：8a3﹣6a2﹣2a．【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．【解答】解：8a3﹣6a2﹣2a＝2a（4a2﹣3a﹣1）＝2a（a﹣1）（4a+1）．故答案为：2a（a﹣1）（4a+1）．【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．18．先化简：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝﹣1，0，1时，分式无意义，故当a＝2时，原式＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．19．某公司购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如表：产品资源甲乙矿石（吨）104煤（吨）48生产1吨甲产品所需成本费用为4000元，每吨售价4600元；生产1吨乙产品所需成本费用为4500元，每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的范围；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）因为生产甲产品x吨，则用矿石原料10x吨．所以生产乙产品用矿石原料为（300﹣10x）吨，由于每吨乙产品需要4吨矿石，所以；（2）先求出生产1吨甲、乙两种产品各获利多少，然后可求出获得的总利润．（3）因为总利润y是x的一次函数，先求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，求得最大利润．【解答】解：（1）m与x之间的关系式为：．（2）生产1吨甲产品获利：4600﹣4000＝600生产1吨乙产品获利：5500﹣4500＝1000y与x的函数表达式为：，自变量取值范围0≤x≤30．（3）根据题意列出不等式：解得：x≥25又∵0≤x≤30∴25≤x≤30∵y与x的函数表达式为：y＝﹣1900x+75000y随x的增大而减小，∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大y最大＝﹣1900×25+75000＝27500（元）【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．20．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝，∠DCF＝，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【分析】（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，依题意，得：×＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，∴m＝16﹣n．又∵n≥10，且m，n均为正整数，∴，，∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．22．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，∠ABD＝90°，点F为平行四边形外一点，连接CF、BF，且BF⊥CF于点F．（1）如图1，若S▱ABCD＝，CF＝5，求BF的长度；（2）如图2，延长BF、DC交于点E，过点D作DG⊥DF交FC的延长线于点G，若C为DE的中点，求证：CG＝CF+EF．【分析】（1）根据平行四边形性质易证△ABD、△BCD是等腰直角三角形，利用平行四边形面积可求得AB＝BD＝，再运用勾股定理即可求得BF；（2）在线段CG上截取CM＝CF，连接DM，构造△CDM≌△CEF（SAS），再证明△DCG≌△DBF（ASA），可得DG＝DF，进而可得∠GDM＝∠G＝45°，MG＝DM＝EF，结论可证．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC∴∠BDC＝∠ABD＝90°∵BD＝DB∴△ABD≌△CDB∵∠A＝45°∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形∴BD＝AB，AD＝AB∵S▱ABCD＝，∴AB•BD＝，∴AB＝BD＝∴BC＝AD＝13∵BF⊥CF∴∠BFC＝90°∴BF＝＝＝12；（2）如图2，在线段CG上截取CM＝CF，连接DM，∵C为DE的中点，∴CD＝CE在△CDM和△CEF中∴△CDM≌△CEF（SAS）∴DM＝EF，∠DMC＝∠EFC＝90°∴∠DMG＝90°∵DG⊥DF∴∠FDG＝90°＝∠BDC∴∠GDC+∠EDF＝∠BDF+∠EDF∴∠GDC＝∠BDF由（1）知：△BCD是等腰直角三角形∴BD＝CD，∠CBD＝∠BCD＝45°∵∠BDC+∠BFC＝90°+90°＝180°∴∠DBF+∠DCF＝180°∵∠DCG+∠DCF＝180°∴∠DCG＝∠DBF∴△DCG≌△DBF（ASA）∴DG＝DF∴△DFG是等腰直角三角形∴∠G＝45°∴∠GDM＝∠G＝45°∴MG＝DM∴MG＝EF∴CG＝CM+MG＝CF+EF．【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，平行四边形面积，四边形内角和等，添加辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键．23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为△ABC外一点，连接BD，连接AD交BC于点G，且满足BD⊥AB．（1）如图1，若BG＝2，AB＝3，求AG的长．（2）如图2，点F为线段BC上一点，连接AF、DF，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，若AF⊥DE，DF＝EF．求证：AB＝CF+BD；（3）如图3，点H为线段AC上一点，AH＝2，点K是直线AC上的一个动点，连接GK．将线段GK绕点G顺时针旋转90°得到线段GK'，点P是线段AD上的一个动点连接HP、PK'，若BG＝2﹣2，∠AGC＝4∠BAG，请直接写出HP+PK'的最小值．【分析】（1）如图1中