磁场强度瞬时坡印廷矢量

关于磁场强度瞬时坡印廷矢量2024/4/42第七章时变电磁场作业：7-8，7-9，7-11，7-14，第2页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波3

对于复能流密度矢量，应着重介绍其实部和虚部的物理意义，以及电场和磁场之间的相位差对于复能流密度矢量的影响

讲解正弦电磁场的复矢量表示方法时，应强调仅适用于频率相同的场量之间的运算。此外，还应指出该教材使用的时间因子是，而不是。同时指出使用不同的时间因子，将导致麦克斯韦方程的形式不同。第3页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波48.正弦电磁场

时变电磁场既是空间坐标的函数，又是时间的函数。例如，电场强度的一般表达式表示为：第4页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波58.正弦电磁场

正弦电磁场的场强方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，式中，Em(r)

为正弦时间函数的振幅；

为角频率；

e(r)

为正弦函数的初始相位。

任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。

正弦电磁场又称为时谐电磁场。即第5页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波68.正弦电磁场

在实际问题中，碰到最多的是随时间做正弦变化的电磁场。另外，在线性媒质中一些非正弦时间函数可根据傅里叶方法分解许多正弦函数的线性叠加。所以研究正弦电磁场是研究时变电磁场的基础。电场和磁场的每一个坐标分量，都随时间以相同的频率做正弦变化（亦简称变化），则成为正弦电磁场（时谐场）第6页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波7

已知场的变化落后于源，但是场与源的时间变化规律相同，所以正弦电磁场的场和源的频率相同。

对于频率相同的正弦量之间的运算可以采用复矢量方法，即仅考虑正弦量的振幅和空间相位

，而略去时间相位

t

。瞬时矢量和复矢量的关系为正弦电磁场是由正弦的时变电荷与电流产生的。

电场强度可用一个与时间无关的复矢量表示为第7页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波8实际中使用有效值，以表示有效值，则式中最大值复矢量和有效值复矢量的之间的关系为复矢量仅为空间函数，与时间无关。

只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。第8页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波99.麦克斯韦方程的复矢量形式

已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。考虑到正弦时间函数的时间导数为或因此，麦克斯韦第一方程可表示为第9页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波10

上式对于任何时刻均成立，虚部符号可以消去，即同理可得

上述方程称为麦克斯韦方程的复矢量形式，式中各量均为有效值。第10页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波11瞬时形式(r,t)复数形式(r)第11页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波12场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换场量的复数形式：场量的瞬时形式：

场量的复数形式转换为实数形式的方法：第12页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波13

例已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求磁场强度的复矢量形式。第13页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波14解根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复矢量形式为由于电场仅有y分量，且。那么又知第14页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波15

例已知电场强度复矢量解：其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量第15页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波16例已知电场强度为其中Exm和kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：第16页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波1710.位函数的复矢量形式

对于正弦函数，时间滞后因子表现的相位滞后为 。（时间相位）令则第17页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波18洛伦兹条件的复矢量形式正弦电磁场与位函数的关系第18页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波19洛伦兹规范条件变为：达朗贝尔方程变为：

时谐场的位函数第19页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波2011.复能流密度矢量

时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为其最大值复矢量形式为

或者表示为式中，及分别为复矢量及的共轭值。

第20页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波21

正弦量的有效值为瞬时值的均方根值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为

即式中E(r)

及H(r)

均为有效值。或以最大值表示为或者表示为上式又可写为第21页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波22损耗功率密度也可用复矢量表示。平均值为已知能流密度矢量S的瞬时值为

其周期平均值为

其最大值为

第22页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波23复能流密度矢量Sc

为式中,及均为有效值。又可用最大值表示为那么，复能流密度矢量Sc的实部及虚部分别为可见，复能流密度矢量的实部及虚部与电场及磁场的相位密切相关。平均值第23页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波24tttt电场强度磁场强度

当时，则实部为最大正值，虚部为零。

当时，则实部为最大负值，虚部仍然为零。

当 时，则实部为零，虚部为最大正值或负值。

若相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。

第24页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波25能量定理也可用复矢量表示为即此式称为复能量定理。

可见，流进

S内的复能流密度矢量通量的实部等于S内消耗的功率。这就表明，Sc的实部的确代表单向流动的能量，而虚部表示能量交换。

第25页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波26为对场量取复数共轭运算。

时谐场的平均能流密度

对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：式中：、为场量的复数表达式；

平均能流密度：第26页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波27时谐场平均坡印廷矢量的证明代入第一式，得证！第27页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波28正弦电磁场的惟一性定理

今后略去顶标“·”，以E(r)，H(r)或者E，H

表示正弦电磁场复矢量的有效值，以E(r,t)，H(r,t)或E(t)，H(t)表示正弦电磁场的瞬时值。

初始条件不再需要，无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量惟一地确定。

VSE(r,0)及H(r,0)E(r,t),H(r,t)Et

(r,t)

或Ht

(r,t)

E(r),H(r)Et

(r)

或Ht

(r)第28页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波29

例已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求其能流密度矢量的平均值。

解根据瞬时值，求得其有效值的复矢量形式为及复能流密度矢量为其实部就是平均值。即第29页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波30

例若真空中正弦电磁场的电场复矢量为试求电场强度的瞬时值E(r,t)，磁感应强度的复矢量B(r

)

及复能流密度矢量Sc。解第30页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波31例

已知截面为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为式中H0、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬时值为第31页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波32（2）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量第32页,共51页，2024年2月25日，星期天有效值有效值(Effectivevalue)在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值，正弦电流（电压）的有效值等于其最大值（幅值）的1/√2，约0.707倍。复能量密度可用表示为本书的定义：平均能流密度（或者能流密度矢量的平均值：第33页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波其它书籍定义（通用）：平均能流密度式中：、为场量的复数表达式（为幅值）；为对场量取复数共轭运算。第34页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波35例已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量解：(1)(2)第35页,共51页，2024年2月25日，星期天2024/4/4电磁场与电磁波36(3)另解：第36页,共51页，2024年2月25日，星期天载有恒定电流的圆柱导线

设圆柱导线的半径为a，电导率为σ，恒定电流I在导线横截面均匀分布。选区一段长度为L的导线。由于是恒定电磁场，坡印廷定理简化为导线表面的电场强度和磁场强度为满足坡印廷定理！

该例子虽然满足坡印廷定理，但是，从–r方向流进导线的功率完全被焦耳热损失掉了，没有沿z方向的功率流动！实际情况存在z方向的功率传输。因此，坡印廷定理对静态电磁场是无意义的。第37页,共51页，2024年2月25日，星期天例题：同轴电缆的内导体半径为a，外导体内半径为b，导体通过电流为I，两导体间外加直流电压U，(1)求导体电导率为无穷大时介质中的能流和传输功率(2)当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入导体的能流，并证明它等于导体的功率损耗。解：在内外导体间a<r<b，取一半径为r的圆形路径c由麦克斯韦方程组积分形式得第38页,共51页，2024年2月25日，星期天由于外加直流电压，导体表面上带有电荷，内外导体间只有径向电场分量Er第39页,共51页，2024年2月25日，星期天第40页,共51页，2024年2月25日，星期天第41页,共51页，2024年2月25日，星期天第42页,共51页，2024年2月25日，星期天习题：7-17复数形式的坡印廷定理在正弦电磁场中，用复数表示两端同乘以-1/2得第43页,共51页，2024年2月25日，星期天将上式在闭合曲面内积分