等差数列前项和性质

关于等差数列前项和性质等差数列通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d等差数列定义an+1-an=d(n∈N*)a、b、c成等差数列

2b=a+c

b为a、c的等差中项复习回顾第2页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾第3页,共31页，2024年2月25日，星期天1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令第4页,共31页，2024年2月25日，星期天例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n项和的公式。，解得：解：设首项为a1，公差为d，则有：∴第5页,共31页，2024年2月25日，星期天

设Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=－6,即解得：另解：第6页,共31页，2024年2月25日，星期天例1

已知数列{an}中Sn=n2+3n，求an例2

已知数列{an}中Sn=n2+3n+1，求an第7页,共31页，2024年2月25日，星期天

若数列是等差数列，则也是等差数列，公差为k2d

为也等差数列.第8页,共31页，2024年2月25日，星期天第9页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.第10页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn第11页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第12页,共31页，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第13页,共31页，2024年2月25日，星期天第14页,共31页，2024年2月25日，星期天求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第15页,共31页，2024年2月25日，星期天练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C第16页,共31页，2024年2月25日，星期天3.已知数列{an}是正数数列，且(1)求证{an}是等差数列；第17页,共31页，2024年2月25日，星期天第18页,共31页，2024年2月25日，星期天第19页,共31页，2024年2月25日，星期天第20页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列前项和的最值问题：

第21页,共31页，2024年2月25日，星期天若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则第22页,共31页，2024年2月25日，星期天两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求第23页,共31页，2024年2月25日，星期天5.等差数列前n项和的性质（4）第24页,共31页，2024年2月25日，星期天第25页,共31页，2024年2月25日，星期天第26页,共31页，2024年2月25日，星期天第27页,共31页，2024年2月25日，星期天第28页,共31页，2024年2月25日，星期天