【压轴之满分集训】专题06 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类型）（解析版）-中考数学压轴题

冲刺中考数学压轴之满分集训专题06常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类）【典例分析】【类型一：方程（组）+不等式（组）】【典例1】（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．由题意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．设今年购进B足球的个数为a个，则有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．∴3.6a≤120，∴．∴最多可购进33个B足球．【变式1-1】（2023•市南区一模）2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求．商家又用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元．（1）该商家第一次购进的羽绒服有多少件？（2）若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），则每件羽绒服的标价至少为多少元？【解答】解：（1）设该商家第一次购进的羽绒服有x件，则第二次购进的羽绒服有2x件．由题意得：，解得x＝240．经检验，x＝240是原方程的解．答：该商家第一次购进的羽绒服有240件；（2）设每件羽绒服的标价为a元．由题意得：0.6a×50+（240+240×2﹣50）a﹣（26400+57600）≥（26400+57600）×25%，解得a≥150．答：每件羽绒服的标价至少为150元．【变式1-2】（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，依题意得：﹣＝10，解得：x＝80，经检验，x＝80是方程的解，1.5x＝1.5×80＝120．答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，解得：m≤100，答：最多可以购买100个篮球．【变式1-3】（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售价应定为50元；（2）该商品需要打a折销售，由题意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：该商品至少需打8折销售．【类型二：方程（组）+不等式（组）——一次函数模型】【典例2】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，根据题意得：，解得，答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，∴100﹣m≤3m，解得m≥25，根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），此时100﹣m＝75，答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．【变式2-1】（2022•桐梓县模拟）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．【解答】解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意得：，解得，答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，解得x＝65；当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，解得：x＜65；当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，解得x＞65．∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．【变式2-2】（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得：，解得：，答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，解得：m≤200，w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，∵﹣30＜0，∴w随m的增大而减小，当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．【变式2-3】（2022•天津模拟）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y1（元），选择公路运输时，所需费用y2（元），请分别写出y1（元），y2（元）与x（千克）之间的关系式；（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？【解答】解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，由题意可得：，解得：，答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克；（2）由题意可得：y1＝0.58x，y2＝0.28x+600；（3）当y1＝y2时，0.58x＝0.28x+600，解得x＝2000，∴当运输2000千克时，两种方式均可，当y1＜y2时，0.58x＜0.28x+600，解得x＜2000，∴当运输少于2000千克时，铁路划算，当y1＞y2时，0.58x＝0.28x+600，解得x＞2000，∴当运输超过2000千克时，公路划算．【变式2-4】（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，，解得，∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），100m+80（20﹣m）≥1800．解得：m≥10．w＝3m+2（20﹣m）＝m+40．∵1＞0，∴w随着m的减少而减少．∴当m＝10时，w有最小值，w小＝10+40＝50．∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．【变式2-5】（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，根据题意得：50x＝10（40+x），解得：x＝10，40+x＝40+10＝50（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，由题意得：，解得：30≤m≤40，w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，w最大＝﹣10×30+840＝540（元），∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．【变式2-6】“桂花糕”是中国特色传统小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜为原料制作而成，历史悠久，种类多样．小李在某糕点生产厂家选中A，B两款不同包装的“桂花糕”，决定从该厂家进货并销售．两款“桂花糕”的进货价和销售价如表：类别价格A款B款进货价（元/盒）4030销售价（元/盒）5645（1）若小李用2000元购进了A，B两款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”购进了35盒，求B款“桂花糕”购进多少盒？（2）若小李计划A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，且计划购进两款“桂花糕”共60盒，小李应该如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设B款“桂花糕”购进x盒，根据题意得：35×40+30x＝2000，解得x＝20，答：B款“桂花糕”购进20盒；（2）设购进A款“桂花糕”m盒，销售利润为W元，则购进B款“桂花糕”（60﹣m）盒，∵A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，∴m≤（60﹣m），解得m≤20，根据题意得W＝（56﹣40）m+（45﹣30）（60﹣m）＝m+900，∵1＞0，∴W随m的增大而增大，∴m＝20时，W取最大值，最大值为20+900＝920（元），此时60﹣m＝60﹣20＝40，答：购进A款“桂花糕”20盒，购进B款“桂花糕”40盒，获得最大利润，最大利润是920元【类型三：方程（组）+不等式（组）——二次函数模型】【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x2+200x+3000，＝﹣10（x﹣10）2+4000，∴当x＝10时，M最大值＝4000元，∴销售单价：40+10＝50（元），答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．【变式3-1】（2023•蜀山区校级一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，解得x2﹣440x+48300＝0，解得x＝230或x＝210，∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，∵﹣2＜0，∴当m＝220时，W最大，最大为96800，∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．【变式3-2】某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）……22232425……每天销售量（本）……80787674……（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据题意得：，解得，答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，∵两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，根据表格可得：，解得，∴y＝﹣2x+124，当y＝80﹣2m时，x＝22+m，即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【变式3-3】（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）“二十大”临近结束时，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣200件，B款钥匙扣100件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（800﹣m）件B款钥匙扣，根据题意得：30m+25（800﹣m）≤22000，解得：m≤400．设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此时800﹣m＝800﹣400＝400．答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是10800元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，根据题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．又∵要尽快减少库存，∴a＝30．答：B款钥匙扣的售价应定为30元．【变式3-4】（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，且x为正整数∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．又∵x为整数，∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，∵1≤m≤6，∴2＜m≤6【类型四：确定取值范围】【典例4】（2022•新昌县二模）如图，是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x（cm），单层部分的长度为y（cm）．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规伸，求出y与x的函数关系式．（不必写出自变量取值范围）（2）设背带的长度为L（cm），即L＝x+y．①按小文的身高和习惯，L＝130（cm）时为最佳背带长度．请计算此时双层部分的长度．②求L的取值范围．【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由题知，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）①根据题意知，解得，∴双层部分的长度为22cm；②由题知，当x＝0时，y＝152，当y＝0时，x＝76，∴76≤L≤152．【变式4-1】（2021•衡阳）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由题知，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）根据题意知，解得，∴双层部分的长度为22cm；（3）由题知，当x＝0时，y＝152，当y＝0时，x＝76，∴76≤L≤152．【变式4-2】（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610…日销量m（kg）142138132124…（1）填空：m与x的函数关系为m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，解得k＝﹣2，b＝144，故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，又∵n＜4，∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，答：n的取值范围是1.75＜n＜4．【变式4-3】（2022•黄冈模拟）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且x为整数，且日销量m（千克）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表：时间x（天）13610…日销量m（千克）142138132124…（1）求m与x的函数关系式；（2）当1≤x≤20时，最大日销售利润是多少？（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，解得k＝﹣2，b＝144，故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，∴第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；（3）由（2）得，当1≤x≤20且x为整数时，W＝﹣0.5（x﹣16）2+156，令W＝1550，得1550＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，解得：x1＝10，x2＝22．∵﹣＜0，对称轴为直线x＝16，10≤x≤20，共11天．当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，令W＝1550，得1550＝﹣30x+2160，解得：x＝，∵﹣30＜0，∴20＜x＜，无整数解，即0天．综上所述，在未来40天中，有11天销售利润不低于1550元．【变式4-4】（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，∴OA上的点的横纵坐标相同．∴A（4，4）．设OA的解析式为：h＝ks，∴4k＝4．∴k＝1．∴OA的解析式为：h＝s．∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．∵2号机在爬升到A处时水平方向上移动了4km，飞行的距离为4km，又1号机的飞行速度为3km/min，∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．（2）设BC的解析式为h＝ms+n，由题意：B（7，4），∴，解得：．∴BC的解析式为h＝．令h＝0，则s＝19．∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．（3）解法一：∵PQ不超过3km，∴5﹣h≤3．∴PQ＝，解得：2≤s≤13．∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝（min）．解法二：当PQ＝3km时，h＝5﹣3＝2（km），∵h＝s，∴s＝2．由2＝得：s＝13，∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（min）．【变式4-5】（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850，当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850，∵对称轴为直线x＝＝18，50＞0，∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，对称轴为直线x＝，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，∴16.5＜＜17.5，解得：50＜a＜150【类型五：拱形问题】【典例5】（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，解得x1＝+5，x2＝﹣+5，∴A（5﹣，6），B（5+，6）．【变式5-1】（2022•柯城区校级三模）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．（1）求出抛物线的解析式．（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【解答】解：（1）根据题意得：D（﹣2，0），C（2，0），E（（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0），把D（﹣2，0）代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；（2）在y＝﹣x2+1中，令y＝﹣3＝得：＝﹣x2+1，解得x＝±，∴距离地面米高处，隧道的宽度是2m；（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：在y＝﹣x2+1中，令y＝3.6﹣3＝0.6得：0.6＝﹣x2+1，解得x＝±，∴|2x|＝≈2.53（m），∵2.53＞2.4，∴这辆货运卡车能通过该隧道．【变式5-2】（2022•诸暨市模拟）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（10，6），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣10）2+6，将点（0，1）代入可得a＝，∴抛物线为，当x＝15时，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，答：能浇灌到小树后面的草坪；（2）由题可知A点坐标为（15，3），则直线OA为，∴，答：y1﹣y2的最大值为；（3）设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，将点B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），答：喷射架应向后移动1米．【变式5-3】（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+2﹣3