高中数学 数列的概念 专项训练

专题01数列的概念

目录

题型一：数列的通项.................................................................3

题型二：已知Sn=f(n)求通项公式....................................................4

题型三：数列的单调性...............................................................5

题型四：数列的最值.................................................................8

题型五：数列的周期性..............................................................12

知识点总结

1.数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列

数列

数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项

的项

通项

如果数列A的第〃项服与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这

个式子叫做这个数列的通项公式

公式

前n

数列｛斯｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛斯｝的前〃项和，记作Sn

项和

2.数列的分类

分类标准类型含义

有穷数列项数有限的数列

按项数

无穷数列项数无限的数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有a„+i>an(n

递增数列

GN*)

按项的

从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an+\<an(n

递减数列

变化趋势

GN*)

常数列各项都相等的数列，即恒有an+i=an(nGN*)

3.数列的表示法

表示法定义

列表法列出表格表示n与斯的对应关系

图象法把点(〃，0,)画在平面直角坐标系中

公通项公式斯=75)

式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式

递推公式

子叫做这个数列的递推公式.如斯+1=｛斯)，a=f(a_\,即+1)(〃22)等

法nn

4a”与S”的关系

'Si,n=\,

数列｛斯｝的通项与前n项和S,之间的关系为an=

Sn-Sn-l,心2.

Clna〃+1«

5.数列最值：若(〃22),则。〃最大;若(〃22),则斯最小.

fln三dn—\a〃〃—1

例题精讲

题型一：数列的通项

【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数

列的通项公式，如{〃},{2n},{(—1)"),{2"},{话},{2〃-1}等;②分式形式的数列，分子、

分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第〃项和第〃+1项正负交错,

那么用符号(一1)"或(一1)#1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、

分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再

进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0,…的通项公式可写成

_1+(—1)"+1_^_|sin^|_[1，〃是奇数,

%=或cin~I2I,甚至分段形式—■寸.

2[0,n是偶数

【例1】数歹1]2,5,11,20,x,47,…中的工值为()

A.28B.32C.33D.27

【解答】解：由题意知，数列2,5,11,20,x,47,

.-.5-2=3,11-5=6,20-11=9,

贝l]x-20=12,解得x=32,

故选：B.

【变式训练1】数列-4,7,-10,13,…的一个通项公式为()

A.a.=(-l)"(3"+4)B.%=(一1)"(3〃+1)

C.。，=(一1)向(3〃+4)D.%=(-1)向(3〃+1)

【解答】解：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是

数值4,7,10,13,…满足3〃+1,所以通项公式可以是〃"=(-1)0(3〃+1).

故选：B.

【变式训练2】数列3,2」,2,…的一个通项公式可以是()

2468

A2n-\「+1八2n-\门2〃+l

A.(ci—B•ci-C•ci-13(ci-

〃2〃〃2〃"2〃〃2n

【解答】解：根据题意，数列3上」,2,…,

2468

nn2x1+12x2+12x3+12x4+1

2x12x22x32x4

故该数列的一个通项公式可以为生匚.

2n

故选：D.

题型二：已知Sn=f(n)求通项公式

【要点讲解】S“与诙关系问题的求解思路

方向1：利用a〃=S“一S“_i(〃22)转化为只含S“，S-i的关系式，再求解.

方向2：利用S“一5“_1=%("22)转化为只含斯，的关系式，再求解.

值得注意的是：最后要么确定首项m,要么就是验证处是否满足"22时得到的通项，满足

的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式.

【例2】已知数列0｝的前〃项和S.=〃2-2〃+1,则%=()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：因为数列｛〃〃｝的前〃项和S”=-2〃+1,

所以能二邑—§2=(9—6+1)—(4—4+1)=3.

故选：B.

【变式训练1]若数列｛%｝的前〃项和S"=/T,贝U%=()

A.7B.8C.9D.17

【解答】解：•.・数列｛?｝的前〃项和S〃=1-1,

/.6Z4=S4-53=(16-1)-(9-1)=7.

故选：A.

【变式训练2】设数列｛%｝的前〃项和则为的值为()

A.15B.17C.49D.64

【解答】解:数列｛%｝的前〃项和S〃=",则々9=89-58=81-64=17.

故选：B.

设数列｛0｝前〃项和为S“，5〃="+〃+5,求数列化｝的通项公式.

【解答】解：由S'="+〃+5.

当〃=1时，4=S]=7；

当儿.2时，=S/一S〃_]=*+〃+5—[(〃—I)2+(w—1)+5]=2n.

7,n=1

＜q=7不适合上式.a

n2n,n..2

【变式训练3】已知数列｛%」的前〃项和为S"=2〃2-30”.

（1）求出｛%,｝的通项公式；

（2）求S“的最小值及取最小值时〃的值.

【解答】解：（1）因为=2〃2_30〃，所以当力=1时，a,=5,=2xl2-30xl=-28；

2

当加.2时，an=Sn-=（2]-30H）-[2（H-I）-30（〃-1）]=4M-32；

显然”=1是，也满足a“=4〃—32,所以a。=4:z—32；

(2)=2«2-30n=2(n-—)2--

“22

又neN*,所以当〃=7或〃=8时，]取得最小值-112.

题型三：数列的单调性

【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解决数列

单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不

等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意“dN*取值的离散性.

【例3】下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）

A.ci=\—nB.凡二—

〃+3,〃，2,

C.a-2n-5H+1D.a

nnr-\n>2

【解答】解：对于/，8选项对应数列是递减数列；

对于C选项，.,.数列｛%,｝是递增数列；

对于。选项，•••啰＞/，：•数列｛%｝不是递增数列.

故选：C.

【变式训练1】已知数列缶,｝的前〃项的积为北，且＜2,3,…），则数列｛%｝（

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【解答】解：当〃=1时％=刀=1,当九.2时%=Z^=/-=1+」一,

T〃_in-1n-1

所以外>。3>%…>1，而q=1,

故可为最小项，出为最大项.

故选：A.

【变式训练2】己知数列缶"｝中，％=〃2-5〃+4,则数列出J的最小项是()

A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项

2

【解答】解：根据题意，数列｛%｝中，an=n-5n+4,则

a〃+i-%=(〃+1)2—5(〃+1)+4-+5〃-4=2rl—4,

当〃<2时，有。〃+1—册,0，则有可>出，

当〃=2时，有an+｛-an=0,则有电=%，

当〃>2时，有an+l-an>0,则有生<%<...，

故数列｛凡｝的最小项是第2项、第3项.

故选：D.

【变式训练3】写出一个同时具有下列性质①②的数列S"｝的通项公式：4=_kn(k>0)

(符合此种形式即可).

①-a„(m>n,m,neN*)；

②｛凡｝单调递增.

【解答】解：假设数列为等差数列，设其公差为d,首项为外,

由性质①可得：ax+(m-n-l)d=ax+(jn-l)d-ax-(n-V)d=>%=d,

即an=a｛+(n-l)d=dn,

再根据②可知，公差d〉Q,显然%=切(左>0)满足题意.

故答案为：W>0)(符合此种形式即可).

【例4】已知数列｛4｝的通项公式为a“=〃+4,且｛%｝为单调递增数列，则实数2

n

的取值范围是—(-8,2)—.

【解答】解：•.•数列｛%｝的通项公式为。“=〃+4,且数列｛%｝是递增数歹U,

n

%=〃+i+2一"一2=^_+i>o

一〃£N*恒成立,

“+1nn(n+1)

即几EN*怛成立,

而"+〃，随〃的增大而增大，

即当〃=1时，犷+几，取得最小值2,则％<2,

所以实数力的取值范围是(-8,2),

故答案为：(-8,2).

【变式训练1】设a>0且21，已知数列也｝满足6“=[(：；")”[2,4,6,且｛“｝是递增数

a>6

列，则。的取值范围是(2,3)

3>0

【解答】解：因为｛4｝是递增数列，所以。>1，解得2<。<3,

(3-a)x6-2<a7-5

即a的取值范围是(2,3).

故答案为：(2,3).

8,

【变式训练2】已知数列｛3｝满足1neN*，若对于任意“eN*都有

(§-〃)〃+2/>8,

%>%，则实数Q的取值范围是(11)・

【解答】解：•・・对于任意的〃£N*都有4〉4日，

数列｛〃〃｝单调递减，可知

①当:<Q<1时，孔>8,。〃=(；一Q)〃+2单调递减,

而为=优-7仇,8)单调递减，

/.(—―Q)X9+2<Q87,角举得a>5,

因此：—<a<\.

2

②当0<a<；时，几>8,%=(；—+2单调递增,应舍去.

综上可知：实数。的取值范围是g,1).

故答案为：(g,1).

【变式训练3]若数列｛%｝的通项公式是%=(〃+2)•1)",且册，%恒成立(%加€"*),则

8

m=.

7

【解答】解：因为〃〃=(几+2)•(―)〃，

8

贝IJa用一a“=(n+3)-((严-("+2).(：)"=(1)".?，

OOOO

所以％</<?<%<>。7>■…，

故当〃=5或6时，%取得最大项，

因为册,%,恒成立，

则〃=5或6.

故答案为：5或6.

【变式训练4】已知数列｛%｝为递减数列，其前〃项和S“=-川+2〃+小，则实数加的取值

范围是(-2,+co).

2

【解答】解：①当”=1时，a1=5l=-l+2+m=l+m,

(2)当.2时，an=S"—S“_]=—+2〃+〃？一[—(〃-1)~+2(〃—1)+TYI\=—2〃+3，

a〃+]—Un—[—2(〃+1)+3]—(—2n+3)=—2<0，

当.2时,an+l<an,数列｛a“｝递减,

综上所述，若使｛%｝为递减数列，只需满足出<%，即-2x2+3<l+m,

解得m>—2,

故答案为：(-2,+oo).

题型四：数列的最值

【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”.解决“项的最值”问题，

dndn_19

一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足・

通过解不等式组得到〃的范围，再结合“GN*,确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以

函数的视角从单调性出发得到最值.

解决“和的最值”问题，一般有两种角度：（1）从“通项”着手，研究通项的函数单调性和

“变号”情况，从而确定“和的最值”；（2）从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性

得到最值.

【例5】在数列位“｝中，an=（2〃-1）（夕，则数列｛a,,｝中的最大项是第项.

【解答】解：根据题意知：（2〃-1）（，>（2〃+1）（［严，解得心”；

65Z

7717

（2〃-1）（廿>（2〃-3）（"解得〃<一,

oo2

所以"•〈几<"•,neN*,

22

所以〃=8.

故答案为：8.

【变式训练1】在数列缶〃｝中，4=则.”的最大值是（）

"/+14

A.巫B.132

C.—D.—

2882315

【解答】解：由题意可得出=一^=—

nn+一

n

根据对勾函数与复合函数的单调性，7=—^4在（0,4了）上递增，在“值,+00）上递减，

XH--

所以在｛%｝中，ax<a2<a39a4>a5>a6>--

小々口注14233

H=In=3oj，〃H----=—，ci-,=—；

n3323

*/I14152

刍〃=4呵,nH----=——.a=—；

n2A415

rrixr2315二匚32

因为一>一，所以一<一，

322315

♦一.?

所以的取大值是&二百.

故选：D.

【变式训练2］若数列｛%｝的通项公式为%=——（〃eN*）,则这个数列中的最大项是（

«2+196

）

A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项

n1

【解答】解:

“2+196-，196

n+—

n

196

nH----

n

当且仅当〃=史9,即〃=14时，取等号,

n

11

，当"=14时，Y/取得最大值

,19628

nH----

n

故选：C.

【变式训练3】若％=-2/+31〃，则数列｛a,,｝的最大项是第项.

【解答】解：根据题意，设/(X)=-2X2+31X,是开口向下，对称轴为x="的二次函数,

距离对称轴最近的正整数为8,

若见=-2〃2+31〃，该数列中最大项是第8项.

故答案为：8.

【变式训练4】已知数列｛%｝的通项公式为%=(-令".曾1,设数列｛%｝的最大项和最小项

分别为“，N,则"+N=.

【解答］解：当"=2左-1/eN*)时，a„<0,

(，产.左

25k1/曰，16

由4二--------------->]，得左>一,

〃2%+1(_3)2%+1.左+]16(女+1)9

5

则当左.2且左EN*时，a2k_{<a2k+x,

_4

..可525

•—=------—=—<1,<0,

生2x(-里)32

125

当〃=2k(keN*)时，4>0，

2左+l

由a2k=_________2_=25(21+1)>],

得先>ll,

a2k+2(_42H22左+316(%+3)

52

则当左.2且左£N*时，a2k>a2k+2，

163

—x—i<

又2=252="<]128

，出<。4>。6>。8…，•二川=%

«4256*5-16125

6252

:.M+N=^区0

125125

故答案为：0.

【变式训练5】记与为数列口｝的前〃项和.若%=〃(8-")(〃=1,2,则()

A.｛%｝有最大项，｛5｝有最大项B.｛%｝有最大项，｛S｝有最小项

C.｛%｝有最小项，｛*｝有最大项D.｛为｝有最小项，｛S,J有最小项

2

【解答】解：根据题意，数列｛%｝,an=n(8-n)=8n-n,

对于二次函数，j=-x2+8x,其开口向下，对称轴为x=4,即当x=4时，y=取

得最大值，

对于｛。“｝,〃=4时，最大；

且当L,”<8时，a„>0,当〃=8时，an=0,当〃>8时，an<0,

故当〃=7或8时，S”最大，

故｛%｝有最大项，｛S“｝有最大项；

故选：A.

【例6］己知数列也｝的前n项和S"=I/+11〃.

(1)求与的最大值；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

【解答】解：(1)数歹”｛%｝的前〃项和邑=一2〃2+11〃.

对称轴为——--=—,

2x(-2)4

因为〃eN*,将”=2,〃=3代入得了2=14,邑=15,S2<S3,

所以当”=3时，S.取得最大值15.

(2)当”=1时，/=E=-2+11=9,

2

当.2时，an=Sn-Sy=(-2/+lln)-[-2(«-1)+11(«-1)]=-4M+13,

当〃=1时，-4+13=9=%,

所以4=-4n+13.

【变式训练1】已知等差数列S”｝中满足%=1,%=d-4,

(1)求通项公式区,；

(2)试求数列｛%｝中的最大项与最小项.

【解答】解：(1)设等差数列｛%,｝的公差为d,•.•%=1，％=W-4,

1+2d=(1+dp-4,解得<7=±2.

an=1±2(n-1)=2〃-1或3-2〃.

(2)%=2〃-1时，数列｛%｝单调递增，”=1时，取得最小值为q=1,无最大值；

。“=3-2〃时，数列｛.“｝单调递减，〃=1时，取得最大值为%=1,无最小值.

题型五：数列的周期性

【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解.待

1

求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.如斯+1=血二

斯+1

即加+1)普口，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.

»+1

(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、

余弦函数的最小正周期公式7="得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变

化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题.

[例7】数列｛"〃｝中，4=3,2=6,。〃+2=。〃+1-。〃，那么4=()

A.-2B.-3C.-6D.-8

【角牛】国牛：•二q=3,%=6,。〃+2="〃+1—，

a3=a2—a[=6—3=3,

a4=a3—a2=3—6=—3,

%一％=_3—3=-6,

以二丹一%=一6一(一3)——3，

故选：B.

【变式训练1】在数列｛%｝中，已知q=1,。用一4“=sin”^,则%022=.

【解答】解：由q=1,%+|-a“=sin”^,

__3兀

可得%=%+sin%=1,2=。2+sin—=1-1=0,%=%+sin2%=0,

.57r八11

。5=%+sin2=。+1=I，...9

所以数列缶“｝的最小正周期为4,

月斤以“2022=a2=I•

故答案为：I.

【变式训练2】在数列｛%｝中，已知％=1,。用_%=$也”圮，记S,为数列色，｝的前〃

项和，贝1］邑019=()

A.1B.1010C.1D.2019

［解］解：可得，〃2—4=。，/—。2=—1，%—“3=°，%—。4=1,

aa

6~5~0,a7-a6=-1?as-a7=0,a9-as=l；

—Q2=%=1,Q4—Q3—-05。6—=1,。8—Clq=0,

所以每四项和为2,

则邑019=504义2+1+1=1010.

故选：B.

【变式训练3】已知各项都为正数的等比数列｛%｝,若。8吗2+5%。=14,则

log2Q］+log2a2+log2Q3+...+log2%9=.

【解答】解：•••各项都为正数的等比数列｛%｝,%4+5%。=14,

二19.

故答案为：19.

课后练习

选择题(共6小题)

1.若数列｛%｝的前〃项和S“=2/+1,则下列结论正确的是()

A.an=4^+2B.Q〃=4〃-2

=113,几二1

C.a=4D.ci=\

〃[4〃+2,〃>1〃14〃-2,〃〉1

2

【解答]解：当〃=1时，ax=S1=2xI+1=3»

当〃〉1时，an=S〃—Si=2"+l—2(〃—Ip—1=4〃—2,

经检验，可得a"=F'”=l.

〃14〃-2,〃>1

故选：D.

2.已知函数/(x)=3'(x£R),设数列｛〃“｝的通项公式为〃〃=/(〃)(〃EN*),则下列选项

错误的是()

A.〃x)的值域是RB.a”的最小值为

C.an<\D.数列｛%｝是单调递增数列

【解答】解：由于函数=

3

所以=1-2x(；)"，

故氏=1-2x(｝",

由于(1)"e(0,+oo)，故-2x(1)"e(-oo,0),

所以%=1-2x(，"e(-oo,l),故/错误；C正确；

由于/«=f=1-2x(g，故函数”幻为单调递增函数’故数列｛%｝是单调递增数列’

故。正确；

由于函数/(X)为单调递增函数，故的最小值为q=；,故8正确.

故选：A.

2

3.已知数列｛〃〃｝中，an=n-5n+4,则数列｛%｝的最小项是()

A.第1项B.第3项、第4项C.第4项D.第2项、第3项

2

【解答】解：根据题意，数列｛4｝中，an=n-5n+4,则

a“+i-〃〃=(〃+1)2—5(〃+1)+4-〃之+5〃­4=2〃—4,

当〃<2时，有an+i-an,,0,则有%>出，

当〃=2时，有an+i-an=0,则有。2=%，

当〃>2时,有an+x-an>0,则有的<%<...’

故数列｛%｝的最小项是第2项、第3项.

故选：D.

4.记S〃为数列｛4｝的前〃项和.若Q〃=〃(8-〃)(几=1,2,…)，贝!]()

A.｛4｝有最大项，｛SJ有最大项B.｛4｝有最大项，｛S，｝有最小项

C.｛4｝有最小项，｛S，｝有最大项D.｛4｝有最小项，｛S〃｝有最小项

2

【解答】解：根据题意,数列｛%｝,an=H(8-n)=8n-n,

对于二次函数，y=-x2+8x,其开口向下，对称轴为x=4,即当％=4时，y=-x2+8xMX

得最大值，

对于｛〃“｝,〃=4时，%最大；

且当L,〃<8时，an>0,当〃=8时，%=0，当〃〉8时，4<0，

故当几=7或8时，S”最大,

故缶〃｝有最大项，｛S〃｝有最大项；

故选：A.

5.若数列为37,310,313,3%…，则382是这个数列的()

A.不在此数列中B.第25项C.第26项D.第27项

【解答】解：设数列7,10,13,16,…，为数列｛q,｝,

则数列｛%｝是以7为首项，3为公差的等差数列，其通项公式为为=7+3("-1)=3力+4,

令3〃+4=82解得»=26.

故选：C.

6.已知数列｛氏｝满足⑸=2"+初，若｛%｝为递增数列，则后的取值范围是()

A.(―2,+co)B.(2,+oo)C.(—8,—2)D.(—8,2)

【解答】解：若也J为递增数列，则。用-%>0,

则有2角+k(n+1)-(2"+kn)=2向一2"+左=2"+:>0,对于ne忆恒成立.

k>-2",对于〃eM，恒成立，k>-2.

故选：A.

多选题(共2小题)

7.数列｛%｝的前〃项和为斗，已知邑=-*+7〃，则下列说法正确的是()

A.｛%｝是递减数列B.%。=-14

C.当〃>4时，an<QD.当〃=3或4时，S,取得最大值

【解答】解：当.2时，an=Sn-=-2〃+8,又％=S]=6=—2x1+8,

所以%=-2〃+8,则｛%｝是递减数列，故/正确；

故2错误；

当〃>4时，«„=8-2»<0,故C正确；

7

因为S”=-/+7〃的对称轴为"=—,开口向下，

2

而〃是正整数，且〃=3或4距离对称轴一样远，

所以当"=3或4时，S“取得最大值，故。正确.

故选：ACD.

8.已知数列｛%｝的通项公式为则()

3〃一16

A.数列也,｝为递增数列B.%+。8=2a6

c.名为最小项D.%为最大项

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于/,数列｛%｝的通项公式为当L,45时，a=---<0,当儿..6时，

377-16n〃3n-16

故数列｛。,｝不是递增数列，A错误；

3/7-16

a==—1,〃8=9=1，&=£=3,贝！J5错

对于B,数列｛%｝的通项公式为4

3H-16A82

误；

-16

对于C和。，由于

3〃-16—(3〃-13)(3〃-16)

易得当L,〃，4时,。〃+1—。，有“5<见<。3<。2<%<0，

当.5时，an+1-an<0,有。6>%>。8>......>«„>0,

则应为最小项，R为最大项，

故选：CD.

三.填空题(共4小题)

8

9.已知数列｛%｝的前8项1,1,2,3,5,10,13,21,令〃x)=，则/(x)的

1=1

最小值点)=7.

8

=

【答】角牛：f(x)—):(x—4/8%2—2(%+出+...+。8)*+a：+a：+....+,

i=l

结合二次函数可得当X=%+>+……+.=1+1+2+3+5+10+13+21=些=7时，/⑴取

888

得最小值,

即/(x)的最小值点x=7.

故答案为：7.

10.已知数列｛4｝为递增数列，an=n2-An+3.则2的取值范围是_(-*3)

【解答】解：数列他｝为递增数列，an=n2-An+3,

/.%+]-=[(〃+1)2-4(〃+1)+3]-(〃2—An+3)=2〃+1—A>0,

A<2几+19

•;nsN*,/.Z<3,

4的取值范围是(-8,3).

故答案为：（-8,3）.

5,(〃=1)

11.已矢口数歹!J｛4｝的前〃项和S〃=3+2〃则数列｛4｝的通项公式为_4=

2〃工5..2)一

【解答】解：由邑=3+2〃,

当〃=1时，q=S]=5.

当n..2时，an=Sn-Sn_x=3+2〃—3—2"一】=2〃一].

5,(几=1)

所以。〃=

2i,5..2).

5,5=1)

故答案为a=

n2〃工(孔.2)

24_6_J_102n

12.…的一个通项公