2022-2023学年甘肃省武威市重点学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省武威市重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共U小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知双曲线的一个顶点是（0,2）,其渐近线方程为y=±2x,则双曲线的标准方程是（）

A.x2-⅞=lB.⅞-y2=lC.ζ-χ^=lD.⅛-⅛=l

44J444

2.已知三角形三个顶点A（-5,0）,B（3,-3）,C（0,2）,则BC边上中线所在直线方程是（）

A.X-13y+5=0B.%—13y—5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=0

3.直线ax-2y=0的斜率与直线4%+2丫-1=0的斜率互为倒数，则ɑ等于（）

A.2B.—ɪC.1D.-1

4.己知直线经过点4（3,-1）和点8（0,2）,则直线AB的倾斜角为（)

A.30oB.60oC.120oD.135°

5.已知数列｛arι｝的通项公式为an=3"T,那么9是它的（）

A.第10项B.第4项C.第3项D.第2项

6.已知数列｛%l｝的前?I项和Sn=4-2n+1,则%=()

A.2B.3C.4D.5

7.若2α+1是a-1与4α-2的等差中项，则实数a的值为（）

_iB—C-D

A.4o∙io-3u∙5

8.己知椭圆菅+—l（b>0）的离心率为贝Ib=（）

A.<7B.√^3C.2D.3

9.若直线x+2y-5=0的一个方向向量是记=（2,k）,则实数k的值为（）

A.4B.—4C.1D.—1

10.设椭圆C；最+，=l（α>b>O）的半焦距为c,若。-。=4"=6,则。的离心率为（）

ʌ-⅛b∙Ic∙⅜d∙⅛

11.已知椭圆方程£+*=1，椭圆上点M到该椭圆一个焦点Fl的距离是2,N是MFl的中点，

。是椭圆的中心，那么线段ON的长是（）

A.2B.4C.8D.I

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

12.已知。为坐标原点，抛物线C：%2=2口、@>0)与曲线£；了=，豆的交于点4,其横坐

标为X=4,记C平行于04的切线为及，E平行于OA的切线为，2,则()

A.p=4B.。4的方程为久一2y=0

C.的方程为x-2y-1=0D.，2的方程为％-2y-1=0

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知直线αx—3y+2=0与2x+(α—3)y+1=0垂直，则α=.

14.圆心为(1,-2),半径为2√"5的圆在X轴上截得的弦长等于.

15.在等比数列｛αrι｝中，若t⅛=1,a5=—8,则(⅛=.

16.己知F是双曲线C：冒—*l(α>0,b>0)的一个焦点，C的离心率为全M,N是C上

关于原点对称的两点，∣FM∣-IFNl=6.则双曲线C的标准方程为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知在第一象限的△4BC中，4(1,1),8(5,1),Z/1=60°,/8=45。，求：

(IMB边所在直线的方程；

(2)4C边与BC边所在直线的方程.

18.(本小题12.0分)

已知直角三角形4BC的斜边为AB,且4(-1,0),B(3,0),求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

19.(本小题12.0分)

已知抛物线必=2px(p>0)过点(1,2).

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点尸作直线/与抛物线交于C,。两点，已知线段CC的中点M横坐标为4,求弦CD

的长度.

20.(本小题12.0分)

己知圆C的方程：X2+y2-2x-4y+m=0.

(1)求实数Tn的取值范围；

(2)若圆C与直线&x+2y-3=0交于M,N两点，且IMNl=亨，求Tn的值.

21.(本小题12.0分)

已知数列｛斯｝的前几项和Sn=3n2-5n,则

(I)求的值；

求的通项公式.

(2)｛azι｝

22.(本小题12.0分)

某团队在。点西侧、东侧20千米处分别设有力、B两站点，测量距离时发现一点P满足∣P4∣-

∖PB∖=20千米，且以。点为原点，东侧为X轴正半轴，北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系，

点P在点。的北偏东60。方向上.

(1)求点P的坐标；

(2)该团队又在。点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点，测量距离时发现一点Q满足

∖QA∖-∖QB∖=30千米，IQCl-IQDl=10千米,求∣QO∣(精确至IJl米)和Q点的位置(精确到1。).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：双曲线的一个顶点是(0,2),开始双曲线方程为:《一5=1,其渐近线方程为y=±2x,

所以b=1,

所求双曲线方程为：⅛-χ2=1.

故选：C.

利用双曲线的顶点坐标，结合渐近线方程，求解双曲线方程即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

由中点坐标公式求得BC的中点坐标，再求出BC边上中线的斜率，由直线方程的点斜式得答案.

本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，是基础题.

【解答】

解：由B(3,-3),C(0,2),得BC的中点坐标为。(|,一手，

又4(-5,0),

,_T-O_1

,,,酸。=%=一百.

2十J

BC边上中线所在直线方程是y-O=-W(X+5),即％+13y+5=0.

故选：C.

3.【答案】D

【解析】解：由题意得(—2)=1,得α=-1.

故选：D.

由两直线的斜率列式求解即可.

本题考查直线的斜率，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：设直线的倾斜角为ɑ,

直线经过点4(3,-1)和点8(0,2),

则直线4B的斜率k=tana==—1,

因为0°≤α<180°,

所以a=135°.

故选：D.

设直线的倾斜角为α,求出直线的斜率即得解.

本题主要考查直线的斜率，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：Tan-3n^1=9=32,n=3.

故选：C.

n

把α71=3τ中的an换成9,解出n值即可.

本题考查数列的概念及表示法，考查运算能力，属于基础题.

6.【答案】B

2

【解析】解：因为数列｛αjl｝的前n项和Sn=n-2n+l,

所以ʤ=S3—S?=(9-6+1)—(4-4+1)=3.

故选：B.

根据数列｛afl｝的前n项和公式，求通项公式即可.

本题考查了的前n项和公式与通项公式的应用问题，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意知2α+1是α-1与4α-2的等差中项，

故2(2α+1)=α-1+4α—2,

则α=5.

故选：D.

根据等差中项的概念，列式即可求得答案.

本题考查了等差中项的概念，是基础题.

8.【答案】B

【解析】解：椭圆的焦点在X轴上时，炉<4,故b”

椭圆的焦点在y轴上时，b2>4,

23

故选：B.

对椭圆的焦点在工轴上和y轴上进行分类讨论，即可解出.

本题考查了椭圆的性质，学生的数学运算能力，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：直线工+2丫-5=0的斜率为一看所以?=—：,解得∕c=-L

故选：D.

计算出直线的斜率，从而列出方程，求出实数k的值.

本题主要考查直线的方向向量，考查运算求解能力，属于基础题.

io.【答案】c

α—c=4

【解析】解：根据题意可得b=6,

(α2=b2+c2

解得a=ɪ,e=

∙∙∙C的离心率为£=K"

a21313

故选：C.

根据椭圆的几何性质，方程思想，即可求解.

本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题.

11.【答案】B

【解析】解：•••椭圆方程为各9=1，

，a2=25,可得Q=5

•・•△”&尸2中，N、O分别为MFI和MFlF2的中点

∙∙∙∖ON∖=^∖MF2∖

「点M在椭圆盘+4=1上，可得IMFiII+[MF2I=2α=10

259

ΛIMF21=10-∣MF1∣=8,

由此可得|。Nl=^∖MF2∖=∣×8=4

故选：B

根据椭圆的方程算出α=5,再由椭圆的定义，可以算出∣MF2∣=10-IMFll=8.因此，在△MF/?

中利用中位线定理，得至IJloNl∣MF2∣=4.

本题给出椭圆一条焦半径长为2,求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆

的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于4因为点4的横坐标为％=4,点4在曲线E：y=C上，

所以4(4,2),

又因为点4在抛物线C：X2=2py(p>0)上，

所以42=2pX2,解得P=4,故A正确；

对于8：因为4(4,2),0(0,0),所以得。力的方程为％-2y=0,故B选项正确；

(x2=8y

对于C：由选项A可知C的方程为/=8y,设I：y=j1%+m,联立|ι,Wx2—4x—8m=

2=-x+m

0,

因为k与C相切，所以/=(一4)2-4x(-8m)=0,解得血=一；，

所以Ly=紧一：，即及的方程为x-2y-l=0,故C选项正确；

1(y=

对于D,设"：y=ɔX+联立；1,得/+4(九—1)%+4九2=0,

Ly=-%z+n

因为L与E相切，所以4=16(n—I)2—4×(4n2)=0,解得n=

所以Ly=卜+：,即。的方程为x-2y+l=0,故。错误；

故选：ABC.

选项A：利用点4的坐标计算出P即可；选项3：利用。，4两点坐标计算出。4的方程即可；选项C：

设出，1的方程，利用4与C相切，然后求出直线方程即可；选项D设出。的方程，利用％与E相切，

然后求出直线方程即可.

本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】9

【解析】解：因为直线Lαx-3y+2=O与。：2x+(α-3)y+1=O垂直，

所以2α-3(α-3)=0,

所以a=9.

故答案为：9.

利用直线垂直的条件建立关于ɑ的方程，即可求解.

本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题.

14.【答案】8

【解析】解：圆心(1,—2)到X轴的距离d=2,圆的半径r=2K,

圆在X轴上截得的弦长等于2√产-cf2=2√20-4=8.

故答案为：8.

根据弦长公式可求出结果.

本题考查直线与圆相交的弦长的方法，属于基础题.

15.【答案】64

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式、性质的应用，属基础题.

利用等比数列的通项公式或性质即可得出.

【解答】

43

解：设等比数列｛arι｝的公比为q,则c⅛=αIq=l,as=a1q=8,两式相除得q3=8.ʌα8=asq=

8×8=64.

或利用磅=解得•

故答案为64.

16.【答案】⅛-⅛=ι

916

【解析】解：设Fl为双曲线的另外一个焦点,

由双曲线图象的对称性可得INFl=IMFI

又FMl-IFNl=6,

则IFMl-∖MF1∖=6,

则20=6,

则Q=3,

即C=5,

则b=√c2—a2=4»

则双曲线C的标准方程为qY=1，

故答案为：⅛-⅛=ι.

916

由双曲线的性质，结合双曲线的标准方程的求法求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的标准方程的求法，属基础题.

17.【答案】解：⑴因为4(1,1),B(5,l),所以4B〃X轴，

所以48边所在直线的方程为y=1；

(2)因为乙4=60。，所以%c=tan60。=15，

所以直线ZC的方程为y—1=√-3(x—1).

即y=Cx+l-q,因为NB=45。，

所以∕⅛c=t0∏135o=—1,

所以直线BC的方程为y—1=—(X—5),即y=—x+6.

【解析】(1)根据4,B两点的坐标求得直线力B的方程；

(2)结合直线4C、BC的倾斜角和斜率，求得直线AC和直线BC的方程.

本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设AB中点为D,由中点坐标公式得C(1,O),由直角三角形的性质知，ICDl=

1∖AB∖=2,

由圆的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于4B,C三点不共线，所以应

除去与X轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(X-l)2+y2=4(x≠3且X≠-1).

(2)设点M(X,y)，点C(%o,yo),

因为B(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得X=竽(X¥3且％力1),y=第

于是由XO=2x-3,y0=2y.

由(1)知，点C在圆(X-I/+y2=4(χ≠3且X≠—1)上运动，

将x<j,M)代入该方程得Qx-4)2+(2y)2=4,即(x—2)2+y2=ι.

因此动点M的轨迹方程为(X-2)2+y2=I(X≠3且X≠1).

【解析】(1)利用直角三角形的性质，圆的定义，即可求出直角顶点C的轨迹方程：

(2)利用代入法，求出直角边BC的中点M的轨迹方程.

本题考查圆的方程，考查代入法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

19.【答案】解：CL)因为抛物线y2=2px(p>0)过点(1,2),则有2?=2p,解得P=2,

所以抛物线的标准方程为y2=4x.

(2)由(1)知，抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为X=-1,

设点C,。的横坐标分别为xi，x2,而线段C。的中点M横坐标为4,则有与+小=8,

因为点C,。是过抛物线焦点尸的直线，与抛物线的两个交点，

因此ICDl=∖CF∖+∖DF∖=x1+1+x2+1=10,

所以弦CD的长度为10.

【解析】(1)把给定点的坐标代入抛物线方程，求出P值作答.

(2)由(1)求出焦点F,再根据给定中点横坐标求出C,。横坐标和，结合抛物线定义求解作答.

本题主要考查直线与抛物线的综合，属于中档题.

20.【答案】解：(1)方程/+y2-2x-4y+m=0,可化为(X-I)2+(y-2>=5-m,

•••此方程表示圆，

ʌ5—τn>0.即Tn<5.

(2)圆的方程化为(x-l)2+(y-2)2=5-m,圆心C(l,2),半径r=√5-m，

∣l+2×2-3|2

则圆心C(l,2)到直线X+2y-3=O的距离为4=不委-=%，

由于IMNl=*，则有N=cp+G∣MN∣)2,

.∙.5—m=(煮)2+(ɪ)2，得m=4,

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，考查代数运算能力，属中档题.

(1)将方程转化为圆的标准方程，根据半径大于O求解即可；

(2)利用点到直线的距离公式及垂径定理列式解得.

21.【答案】解：(1)由题α⅛=$6-Ss=3x62-5X6-3X52+52=28.

,ne

(2)由题,an=n≥2则%=-2,

当Ti≥2时，Qn-Sn—S∙nτ—3τχ2—5Ti—3(π-1)2+5(π—1)—6τι—8,

又n=1时，Ql=6—8=—2,则｛αn｝的通项公式为αn=6九一8,n∈N*.

【解析】由an=t】'：：lτι>2,∏WN*可得答案.

lɔnɔn-1>"三,

本题主要考查数列的前n项和，属于基础题.

22.【答案】解：(1)由题意易知点P在以4B为焦点的双曲线上，设其标准方程为w一^=l(α>

0,b>0).

由题意可得α=10,c=20,所以炉=300,所以双曲线的标准方程为系