专题一次函数与二次函数的实际应用 解答重难点题型突破

专题二解答重难点题型突破题型一实际应用问题类型一一次函数与二次函数的实际应用1．(2018·辽阳)某超市销售樱桃,已知樱桃的进价为15元/千克,如果售价为20元/千克,那么每天可售出250千克,如果售价为25元/千克,那么每天可获利2000元,经调查发现:每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若樱桃的售价不得高于28元/千克,请问售价定为多少时,该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？解:(1)当x＝25时,y＝2000÷(25－15)＝200(千克),设y与x的函数关系式为y＝kx＋b,把(20,250)(25,200)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝250，,25k＋b＝200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝450，))∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋450；(2)设每天获利W元,W＝(x－15)(－10x＋450)＝－10x2＋600x－6750＝－10(x－30)2＋2250,∵a＝－10<0,对称轴为直线x＝30,∴在x≤28时,W随x的增大而增大,∴当x＝28时,W最大＝2210(元),答:售价为28元时,每天获最大利润为2210元.2.(2018·安徽)某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少？解:(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,60k＋b＝80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200；(2)由题意可得,W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000,即W与x之间的函数表达式是W＝－2x2＋280x－8000；(3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800,40≤x≤80,∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小,当x＝70时,W取得最大值,此时W＝1800,答:当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小,售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元．3．(2018·铁岭模拟)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为W元,当每个房间定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少？(3)某日,宾馆了解当天的住宿情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人．问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？(导学号58824232)解:(1)根据题意,得:y＝50－x(0≤x≤50,且x为整数)；(2)W＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000,∵a＝－10＜0∴当x＝20时,W取得最大值,W最大值为9000元,答:当每个房间定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元；(3)由－10(x－20)2＋9000≥5000,20(－x＋50)≤600,解得20≤x≤40,∵房间数y＝50－x,又∵－1＜0,y随x的增大而减小,∴当x＝40时,y的值最小,这天宾馆入住的游客人数最少,最少人数为2y＝2(－x＋50)＝20(人),答:这天宾馆入住的游客人数最少有20人．4．(2018·湖州)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:m与t的函数关系为m＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20000（0≤t≤50，,100t＋15000（50＜t≤100）；))y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时,y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大？并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)解:(1)由题意,得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10a＋b＝30.4，,20a＋b＝30.8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.04，,b＝30，))(2)①当0≤t≤50时,设y与t的函数关系式为y＝k1t＋n1,将(0,15)、(50,25)代入,得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1＝15，,50k1＋n1＝25，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,5)，,n1＝15，))∴y与t的函数关系式为y＝eq\f(1,5)t＋15；当50＜t≤100时,设y与t的函数关系式为y＝k2t＋n2,将点(50,25)、(100,20)代入,得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k2＋n2＝25，,100k2＋n2＝20，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－\f(1,10)，,n2＝30，))∴y与t的函数关系式为y＝－eq\f(1,10)t＋30；②由题意,当0≤t≤50时,W＝20000(eq\f(1,5)t＋15)－(400t＋300000)＝3600t,∵3600＞0,∴当t＝50时,W最大＝180000(元)；当50＜t≤100时,W＝(100t＋15000)(－eq\f(1,10)t＋30)－(400t＋300000)＝－10t2＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250,∵－10＜0,∴当t＝55时,W最大＝180250(元),综上所述,放养55天时,W最大,最大值为180250元．5．(2018·丹东)某超市销售一种成本为每台20元的台灯,规定销售单价不低于成本价,又不高于每台32元,销售中平均每月销售量y(台)与销售单价x(元)的关系可以近似地看作一次函数,如下表所示:x22242628y90807060(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)为了实现平均每月375元的台灯销售利润,这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？(3)设超市每月台灯销售利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,当x取何值时,w的值最大？最大值是多少？解:(1)y＝－5x＋200；(2)根据题意可得:(x－20)(－5x＋200)＝375,解得:x1＝35>32舍去,x2＝25,代入y＝－5x＋200得y＝75,答:这种台灯的售价应定为25元/台,这时应购进台灯75台；(3)w＝(x－20)(－5x＋200)＝－5x2＋300x－4000＝－5(x－30)2＋500,∵a＝－5<0,∴当x＝30时,w最大＝500元.类型二方程、不等式的实际应用1．(2018·益阳)我市南县大力发展农村旅游事业,全力打造“洞庭之心湿地公园”,其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘,游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇,返乡创业,投入20万元创办农家乐(餐饮＋住宿),一年时间就收回投资的80%,其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资,增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说:“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长,加上土特产销售的利润,到年底除收回所有投资外,还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？(导学号58824233)解:(1)设去年餐饮利润x万元,住宿利润y万元,依题意得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20×80%，,x＝2y＋1，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝11，,y＝5，))答:去年餐饮利润11万元,住宿利润5万元；(2)设今年土特产利润m万元,依题意得:16＋16×(1＋10%)＋m－20－11≥10,解得,m≥7.4,答:今年土特产销售至少有7.4万元的利润．2．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人,每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,并要求每天加工的G,H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务,工厂决定补充一些新工人,这些新工人只能独立进行G型装置的加工,且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？解:(1)设有x名工人加工G型装置,则有(80－x)名工人加工H型装置,根据题意,eq\f(6x,4)＝eq\f(3（80－x）,3),解得x＝32,则6×32÷4＝48(套),答:每天能组装48套GH型电子产品；(2)设补充a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置,(80－x)名工人加工H型装置,根据题意,eq\f(6x＋4a,4)＝eq\f(3（80－x）,3),整理可得,x＝eq\f(160－2a,5),另外,注意到80－x≥eq\f(1200,20),即x≤20,于是eq\f(160－2a,5)≤20,解得:a≥30,答:至少需要补充30名新工人．3．(2018·宁波)2018年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议,某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件？(导学号58824234)解:(1)设甲种商品的销售单价为x元,乙种商品的销售单价为y元,依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,3x－2y＝1500，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝900，,y＝600，))答:甲种商品的销售单价为900元,乙种商品的销售单价为600元；(2)设销售甲种商品a万件,依题意有900a＋600(8－a)≥5400,解得a≥2,答:至少销售甲种商品2万件．4．(2018·无锡)某地新建的一个企业,每月将生产1960吨污水,为保护环境,该企业计划购置污水处理器,并在如下两个型号中选择:污水处理器型号A型B型处理污水能力(吨/月)240180已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元,售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；(2)为确保将每月产生的污水全部处理完,该企业决定购买上述的污水处理器,那么他们至少要支付多少钱？解:(1)设每台A型污水处理器的价格是x万元,每台B型污水处理器的价格是y万元,依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝44，,x＋4y＝42，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝8.))答:每台A型污水处理器的价格是10万元,每台B型污水处理器的价格是8万元；(2)购买9台A型污水处理器,费用为10×9＝90(万元)；购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器,费用为10×8＋8＝80＋8＝88(万元)；购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器,费用为10×7＋8×2＝70＋16＝86(万元)；购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器,费用为10×6＋8×3＝60＋24＝84(万元)；购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器,费用为10×5＋8×5＝50＋40＝90(万元)；购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器,费用为10×4＋8×6＝40＋48＝88(万元)；购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器,费用为10×3＋8×7＝30＋56＝86(万元)；购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器,费用为10×2＋8×9＝20＋72＝92(万元)；购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器,费用为10×1＋8×10＝10＋80＝90(万元)；购买11台B型污水处理器,费用为8×11＝88(万元)．故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器,费用最少．答:他们至少要支付84万元．类型三方程、不等式与函数结合的实际应用1．(2018·泰州)怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元．(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？解:(1)设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份,根据题意得,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋18y＝1120，,（20－14）x＋（18－14）y＝280.))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝40，))答:该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)设A种菜品售价降0.5a元,即每天卖(20＋a)份；总利润为w元,因为两种菜品每天销售总份数不变,所以B种菜品每天卖(40－a)份,每份售价提高0.5a元．w＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)＝(－0.5a2－4a＋120)＋(－0.5a2＋16a＋160)＝－a2＋12a＋280＝－(a－6)2＋316,当a＝6时,w最大,此时w＝316.答:这两种菜品一天的总利润最多是316元,2．(2016·本溪)某种商品的进价为40元/件,以获利不低于25%的价格销售时,商品的销售单价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如下表:x(件)…5101520…y(元/件)…75706560…(1)由题意知商品的最低销售单价是_50_元,当销售单价不低于最低销售单价时,y是x的一次函数,求出y与x的函数关系式及x的取值范围；(2)在(1)的条件下,当销售单价为多少元时,所获销售利润最大,最大利润是多少元？(导学号58824235)解:(1)设y＝kx＋b,根据题意得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(75＝5k＋b，,70＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝80.))根据题意得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,－x＋80≥50，))∴1≤x≤30且x为整数,∴y＝－x＋80(0＜x≤30,且x为整数)；(2)设所获利润为P元,根据题意得:P＝(y－40)x＝(－x＋80－40)x＝－(x－20)2＋400,∵a＝－1＜0,∴P有最大值,∴当x＝20时,P最大＝400,此时y＝60,∴当销售单价为60元时,所获最大利润为400元．3．(2018·鄂州)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个．(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元？(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本？解:(1)依题意有:y＝10x＋160；(2)依题意有:W＝(80－50－x)(10x＋160)＝－10(x－7)2＋5290,∵－10＜0,x为偶数,∴x＝6或8时,W有最大值,W最大＝5280.故当销售单价定为80－6＝74元或80－8＝72元时,每周销售利润最大,最大利润是5280元；(3)依题意有:－10(x－7)2＋5290≥5200,解得4≤x≤10,则200≤y≤260,200×50＝10000(元),答:他至少要准备10000元进货成本．4．(2018·长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示．(1)甲车间每小时加工服装件数为_80_件；这批服装的总件数为_1140_件；(2)求乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．解:(2)乙车间每小时加工服装件数为120÷2＝60(件),乙车间修好设备的时间为9－(420－120)÷60＝4(时).∴乙车间维修设备后,乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝120＋60(x－4)＝60x－120(4≤x≤9)；(3)甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y＝80x,当80x＋60x－120＝1000时,x＝8.答:甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为8小时．5．(2018·咸宁)某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销,售价为8元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中,时间每增加1天,日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是_330_件,日销售利润是_660_元；(2)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间,日销售最大利润是多少元？(导学号58824236)解:(2)设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx,将(17,340)代入y＝kx中,340＝17k,解得:k＝20,∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x；根据题意得:线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340－5(x－22)＝－5x＋450.联立两线段所表示的函数关系式得,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝20x，,y＝－5x＋450，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝360，))∴交点D的坐标为(18,360),∴y与x之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x≤18），,－5x＋450（18＜x≤30）；))(3)当0≤x≤18时,根据题意得:(8－6)×20x≥640,解得:18≥x≥16；当18＜x≤30时,根据题意得:(8－6)×(－5x＋450)≥640,解得:18＜x≤26.∴16≤x≤26.26－16＋1＝11(天),∴日销售利润不低于640元的天数共有11天；∵点D的坐标为(18,360),∴日最大销售量为360件,360×2＝720(元),∴试销售期间,日销售最大利润是720元．6．(2018·随州)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80－3x120－x储存和损耗费用(元)40＋3x3x2－64x＋400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？解:(1)设该种水果每次降价的百分率是x,依题意有10(1－x)2＝8.1,解得x＝10%或x＝190%(舍去),答:该种水果每次降价的百分率是10%；(2)当1≤x＜9时,第1次降价后的价格:10×(1－10%)＝9,∴y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352,∵－17.7＜0,∴y随x的增大而减小,∴当x＝1时,y有最大值,y最大＝－17.7×1＋352＝334.3(元),当9≤x＜15时,第2次降价后的价格为8.1元,∴y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380,∵－3＜0,∴当9≤x≤10时,y随x的增大而增大,当10＜x＜15时,y随x的增大而减小,∴当x＝10时,y有最大值,y最大＝380(元),综上所述,y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式为:y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－17.7x＋352（1≤x＜9），,－3x2＋60x＋80（9≤x＜15），))第10天时销售利润最大；(3)设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元,由题意得:380－127.5≤(4－a)(120－15)－(3×152－64×15＋400),252．5≤105(4－a)－115,解得a≤0.5.答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．

题型二几何图形探究题类型一与三角形、四边形有关的探究题1．(2018·成都)问题背景:如图①,等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝60°,于是eq\f(BC,AB)＝eq\f(2BD,AB)＝eq\r(3).迁移应用:如图②,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC＝∠DAE＝120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.①求证:△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸:如图③,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.①证明△CEF是等边三角形；②若AE＝5,CE＝2,求BF的长．图①图②图③迁移应用:①证明:∵∠BAC＝∠DAE＝120°,∴∠DAB＝∠CAE,在△DAB和△EAC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝EA，,∠DAB＝∠EAC，,AB＝AC，))∴△DAB≌△EAC；②解:CD＝eq\r(3)AD＋BD；拓展延伸:①证明:如解图,作BH⊥AE于点H,连接BE.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC＝120°,∴△ABD,△BDC是等边三角形,∴BA＝BD＝BC,∵E、C关于BM对称,∴BC＝BE＝BD＝BA,FE＝FC,∴A、D、E、C四点共圆,∴∠ADC＝∠AEC＝120°,∴∠FEC＝60°,∴△EFC是等边三角形,②解:∵AE＝5,EC＝EF＝2,∴AH＝HE＝2.5,FH＝4.5,在Rt△BHF中,∵∠BFH＝30°,∴eq\f(HF,BF)＝cos30°,∴BF＝eq\f(4.5,\f(\r(3),2))＝3eq\r(3).2．(2018·沈阳)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF.(1)如图①,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长；(2)如图②,当点E在线段AD上时,AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；(3)若BF＝3eq\r(10),请直接写出此时AE的长．(导学号58824237)解:(1)作FH⊥AB于点H,如解图①所示:则∠FHE＝90°,∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,∴AD＝CD＝4,EF＝CE,∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°,∴∠FEH＝∠CED,在△EFH和△CED中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FHE＝∠EDC＝90°，,∠FEH＝∠CED，,EF＝CE，))∴△EFH≌△CED(AAS),∴FH＝CD＝4,AH＝AD＝4,∴BH＝AB＋AH＝8,∴BF＝eq\r(BH2＋FH2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)；(2)过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H,作FM⊥AB交BA延长线于点M,如解图②所示:则FM＝AH,AM＝FH,①∵AD＝4,AE＝1,∴DE＝3,同(1)得:△EFH≌△CED(AAS),∴FH＝DE＝3,EH＝CD＝4,即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB＋AM＝4＋3＝7,FM＝AE＋EH＝5,∴BF＝eq\r(BM2＋FM2)＝eq\r(72＋52)＝eq\r(74)；(3)AE的长为1或2＋eq\r(41).图①图②3．(2018·长春改编)【再现】如图①,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,可以得到:DE∥BC,且DE＝eq\f(1,2)BC.(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,判断四边形EFGH的形状,并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下,四边形ABCD中,满足什么条件时,四边形EFGH是菱形？你添加的条件是:_AC＝BD_(只添加一个条件)；(2)如图③,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC,BD相交于点O.若AO＝OC,四边形ABCD面积为5,求阴影部分图形的面积．解:【探究】平行四边形．【应用】(2)如解图,由【探究】得,四边形EFGH是平行四边形,∵F,G是BC,CD的中点,∴FG∥BD,FG＝eq\f(1,2)BD,∴△CFG∽△CBD,∴eq\f(S△CFG,S△BCD)＝eq\f(1,4),∴S△BCD＝4S△CFG,同理:S△ABD＝4S△AEH,∵四边形ABCD面积为5,∴S△BCD＋S△ABD＝5,∴S△CFG＋S△AEH＝eq\f(5,4),同理:S△DHG＋S△BEF＝eq\f(5,4),∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－eq\f(5,2)＝eq\f(5,2),设AC与FG,EH相交于点M,点N,EF与BD相交于点P,∵FG∥BD,FG＝eq\f(1,2)BD,∴CM＝OM＝eq\f(1,2)OC,同理:AN＝ON＝eq\f(1,2)OA,∵OA＝OC,∴OM＝ON,易知,四边形ENOP,FMOP是平行四边形,∴S阴影＝eq\f(1,2)S四边形EFGH＝eq\f(5,4).类型二与图形的变换结合的探究题1．(2018·营口)在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方形．①如图①,请直接写出AE与DF的数量关系_DF＝eq\r(2)AE_；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置,连接AE,DF,猜想AE,DF的数量关系并说明理由；(2)如图③,若四边形ABCD为矩形,BC＝mAB,其他条件都不变,将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′,连接AE′,DF′,请在图③中画出草图,并直接写出AE′与DF′的数量关系．解:(1)②DF＝eq\r(2)AE.理由如下:∵△EBF绕点B逆时针旋转,∴∠ABE＝∠DBF,∵eq\f(BF,BE)＝eq\r(2),eq\f(BD,AB)＝eq\r(2),∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(BD,AB),∴△ABE∽△DBF,∴eq\f(DF,AE)＝eq\f(BF,BE)＝eq\r(2),即DF＝eq\r(2)AE；(2)如解图,∵四边形ABCD为矩形,∴AD＝BC＝mAB,∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(1＋m2)AB,∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∴△BEF∽△BAD,∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(BD,BA)＝eq\r(1＋m2),∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′,∴∠ABE′＝∠DBF′,BE′＝BE,BF′＝BF,∴eq\f(BF′,BE′)＝eq\f(BD,BA)＝eq\r(1＋m2),∴△ABE′∽△DBF′,∴eq\f(DF′,AE′)＝eq\f(BD,BA)＝eq\r(1＋m2),即DF′＝eq\r(1＋m2)AE′.2．(2018·潍坊)边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC＝2eq\r(3).(1)如图①,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形？并说明理由；(2)如图②,将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°),得到△D′E′C,连接AD′,BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP,当AP最大时,求AD′的值．(结果保留根号)(导学号58824238)图①图②解:(1)当CC′＝eq\r(3)时,四边形MCND′是菱形．理由:由平移的性质得,CD∥C′D′,DE∥D′E′,∵△ABC是等边三角形,∴∠B＝∠ACB＝60°,∴∠ACC′＝180°－∠ACB＝120°,∵CN是∠ACC′的角平分线,∴∠NCC′＝eq\f(1,2)∠ACC′＝60°＝∠B＝∠D′E′C′,∴D′E′∥CN,∴四边形MCND′是平行四边形,∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°,∠NCC′＝∠NC′C＝60°,∴△MCE′和△NCC′是等边三角形,∴MC＝CE′,NC＝CC′,∵四边形MCND′是菱形,∴CN＝CM,∴CE′＝CC′.又∵E′C′＝EC＝2eq\r(3),∴CC′＝eq\f(1,2)E′C′＝eq\r(3)；(2)①AD′＝BE′.理由:当α≠180°时,由旋转的性质得,∠ACD′＝∠BCE′,由(1)知,AC＝BC,CD′＝CE′,∴△ACD′≌△BCE′,∴AD′＝BE′,当α＝180°时,AD′＝AC＋CD′,BE′＝BC＋CE′,即:AD′＝BE′,综上可知:AD′＝BE′.②如解图①,连接CP,在△ACP中,由三角形三边关系得,AP＜AC＋CP,∴当点A,C,P三点共线时,AP最大,如解图②,在△D′CE′中,由P为D′E′的中点,得AP⊥D′E′,PD′＝eq\r(3),∴CP＝3,∴AP＝6＋3＝9,在Rt△APD′中,由勾股定理得,AD′＝eq\r(AP2＋PD′2)＝2eq\r(21).图①图②3．(2018·葫芦岛)如图,∠MAN＝60°,AP平分∠MAN,点B是射线AP上一定点,点C在直线AN上运动,连接BC,将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°,旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.(1)如图①,当点C在射线AN上时．①请判断线段BC与BD的数量关系,直接写出结论；②请探究线段AC、AD和BE的数量关系,写出结论并证明；(2)如图②,当点C在射线AN的反向延长线上时,BC交射线AM于点F,若AB＝4,AC＝eq\r(3),请直接写出AD和DF的长．图①图②解:(1)①BC＝BD；②AC＋AD＝eq\r(3)BE,证明如下:如解图,过点B作BH⊥AE于点H,∵∠MAN＝60°,AP平分∠MAN,∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠MAN＝30°,∵将∠ABC绕点B顺时针方向旋转120°,∴旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E,∴∠CBD＝∠ABE＝120°,∴∠CBD－∠ABD＝∠ABE－∠ABD,即:∠3＝∠4,∵∠ABE＝120°,∠1＝30°∴∠5＝180°－∠ABE－∠1＝30°,∵∠5＝∠1,∴BA＝BE,∵∠5＝∠2＝30°,∠3＝∠4,∴△ABC≌△EBD,∴AC＝DE,∴AC＋AD＝DE＋AD＝AE,∵BH⊥AE于点H,BA＝BE,∴AH＝EH＝eq\f(1,2)AE,∵∠5＝30°,∴EH＝BE·cos30°＝eq\f(\r(3),2)BE,即:eq\f(1,2)AE＝eq\f(\r(3),2)BE,∴AE＝eq\r(3)BE,∴AC＋AD＝eq\r(3)BE；(2)AD＝5eq\r(3),DF＝eq\f(31\r(3),7).4．(2018·河南)如图①,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD＝AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点．(1)观察猜想图①中,线段PM与PN的数量关系是_PM＝PN_,位置关系是_PM⊥PN_；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD＝4,AB＝10,请直接写出△PMN面积的最大值．解:(2)由旋转知,∠BAD＝∠CAE,∵AB＝AC,AD＝AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE,同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN＝eq\f(1,2)BD,PM＝eq\f(1,2)CE,∴PM＝PN,∴△PMN是等腰三角形,同(1)的方法得,PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCE,同(1)的方法得,PN∥BD,∴∠PNC＝∠DBC,∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC,∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC,∵∠BAC＝90°,∴∠ACB＋∠ABC＝90°,∴∠MPN＝90°,∴△PMN是等腰直角三角形；(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,∴MN最大时,△PMN的面积最大,在△AMN中,MN<AM＋AN,∴当A、M、N共线时MN最大．∴DE∥BC且DE在顶点A上面,∴MN最大＝AM＋AN,连接AM,AN,在△ADE中,AD＝AE＝4,∠DAE＝90°,∴AM＝2eq\r(2),在Rt△ABC中,AB＝AC＝10,AN＝5eq\r(2),∴MN最大＝2eq\r(2)＋5eq\r(2)＝7eq\r(2),∴S△PMN最大＝eq\f(1,2)PM2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×MN2＝eq\f(1,4)×(7eq\r(2))2＝eq\f(49,2).类型三动点问题1．(2018·抚顺)如图,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ＝OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF,ON于点B,点C,连接AB,PB.(1)如图①,当P,Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系；(2)如图②,当P,Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在,请写出证明过程；若不存在,请说明理由；(3)如图③,∠MON＝60°,连接AP,设eq\f(AP,OQ)＝k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值？若存在,请直接写出k的最小值；若不存在,请说明理由．解:(1)AB＝PB；(2)存在．理由:如解图,连接BQ,∵BC垂直平分OQ,∴BQ＝OB,∴∠BQC＝∠BOC,∵OF平分∠MON,∴∠MOF＝∠NOF,∴∠NOF＝∠BOC,∴∠BQC＝∠MOF,∴180°－∠BQC＝180°－∠MOF,∴∠AOB＝∠BQP,又∵PQ＝AO,∴△BQP≌△BOA,∴AB＝PB；(3)存在最小值,k最小值＝0.5.2．(2018·宜昌)正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时,①请直接填空:ON_不可能_(可能,不可能)过D点；(图①仅供分析)②如图②,在ON上截取OE＝OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH⊥CD于点H,求证:四边形EFCH为正方形；(2)当OM不过点A时,设OM交边AB于点G,且OG＝1.在ON上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K,使得S△PKO＝4S△OBG,连接GP,求四边形PKBG的最大面积．(导学号58824239)解:(1)②∵EH⊥CD,EF⊥BC,∴∠EHC＝∠EFC＝90°,且∠HCF＝90°,∴四边形EFCH为矩形,∵∠MON＝90°,∴∠EOF＝90°－∠AOB,在正方形ABCD中,∠BAO＝90°－∠AOB,∴∠EOF＝∠BAO,在△OFE和△ABO中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOF＝∠BAO，,∠EFO＝∠B，,OE＝AO，))∴△OFE≌△ABO(AAS),∴EF＝OB,OF＝AB,又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC,∴CF＝EF,∴四边形EFCH为正方形；(2)如解图,∵∠POK＝∠OGB,∠PKO＝∠OBG,∴△PKO∽△OBG,∵S△PKO＝4S△OBG,∴eq\f(S△PKO,S△OBG)＝(eq\f(OP,OG))2＝4,∴OP＝2,∴S△POG＝eq\f(1,2)OG·OP＝eq\f(1,2)×1×2＝1,设OB＝a,BG＝b,则a2＋b2＝OG2＝1,∴b＝eq\r(1－a2),∴S△OBG＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)aeq\r(1－a2)＝eq\f(1,2)eq\r(－a4＋a2)＝eq\f(1,2)eq\r(－（a2－\f(1,2)）2＋\f(1,4)).当a2＝eq\f(1,2)时,△OBG面积有最大值eq\f(1,4),此时S△PKO＝4S△OBG＝1,∴四边形PKBG的最大面积为1＋1＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4).3．(2018·沈阳模拟)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝6,动点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动,点Q运动eq\f(2,3)秒后,点P从点D出发以与点Q相同的速度沿DA向终点A运动,设点P运动的时间为t(秒),将△APQ沿直线PQ翻折,得到△EPQ.(1)用含t的代数式表示:AP＝_6－t_；AQ＝_t＋eq\f(2,3)_；(2)连接BD,在运动过程中,当△PQE∽△BDC时,求t的值；(3)在运动过程中,∠PQE能否等于∠ABD的一半？如果能,求出此时的t的值；如果不能,请说明理由(参考数据:eq\r(2)≈1.4,eq\r(3)≈1.7,eq\r(5)≈2.2)．解:(2)∵将△APQ沿直线PQ翻折,得到△EPQ,∴△PQA≌△PQE,当△PQE∽△BDC时,∴△PQA∽△BDC,∴eq\f(AP,BC)＝eq\f(AQ,CD),即eq\f(6－t,6)＝eq\f(t＋\f(2,3),3),解得t＝eq\f(14,9)；(3)不能．理由如下:如解图,延长AB至点M,使BM＝BD,连接DM,∵BM＝BD,∴∠BDM＝∠BMD,∵∠ABD＝∠BDM＋∠BMD,∴∠BDM＝∠BMD＝eq\f(1,2)∠ABD,当∠PQE＝eq\f(1,2)∠ABD时,∵∠PQE＝∠PQA,∴∠PQA＝∠BMD＝eq\f(1,2)∠ABD,∴PQ∥DM,∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(AQ,AM),在Rt△BCD中,BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝3eq\r(5),∴BM＝BD＝3eq\r(5),∴eq\f(6－t,6)＝eq\f(t＋\f(2,3),3＋3\r(5)),解得t≈3.5,∵0≤t≤eq\f(7,3).所以在运动过程中,∠PQE不能等于∠ABD的一半．

题型三二次函数与几何图形综合题类型一与图形判定结合1．(2018·盘锦)如图,直线y＝－2x＋4交y轴于点A,交抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c于点B(3,－2),抛物线经过点C(－1,0),交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作PE⊥DB交DB所在直线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当△PDE为等腰直角三角形时,求出PE的长及P点坐标；(3)在(2)的条件下,连接PB,将△PBE沿直线AB翻折,直接写出翻折后点E的对称点坐标．备用图备用图解:(1)抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2；(2)∵点D是抛物线与y轴的交点,∴点D的坐标为(0,－2),∴BD∥x轴,∵点P是抛物线上一点,则设点P的坐标为(p,eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p－2),∵PE⊥BD,∴点E的坐标为(p,－2),∴DE＝|p|,PE＝|eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p－2－(－2)|＝|eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p|,∵△PDE是等腰直角三角形,∴PE＝DE,∴|eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p|＝|p|,当eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p＝p时,解得p＝0或p＝5,当eq\f(1,2)p2－eq\f(3,2)p＝－p时,解得p＝0或p＝1,∴这样的点P有两个,坐标分别为(5,3),此时PE＝5,或(1,－3),此时PE＝1；(3)当点P的坐标为(5,3)时,点E的坐标为(5,－2),此时BE＝2,如解图①,过E作EF⊥AB于F,延长EF到R,使得FR＝EF,则点R为点E关于AB的对称点,即为所求点．过R作RG⊥DE于G.∵点A是直线与y轴的交点,∴点A的坐标为(0,4),∴AD＝6,∵BD＝3,∴AB＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5),∵eq\f(BE,AB)＝eq\f(BF,DB),∴BF＝eq\f(2\r(5),5),∵tan∠EBF＝eq\f(EF,BF)＝tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝2,∴EF＝eq\f(4\r(5),5),∴ER＝eq\f(8\r(5),5),易得∠REG＝∠BAD,∴EG＝2GR,∴GR＝eq\f(8,5),GE＝eq\f(16,5),∴DG＝5－eq\f(16,5)＝eq\f(9,5),此时点R的坐标为(eq\f(9,5),－eq\f(18,5))；当点P的坐标为(1,－3)时,点E的坐标为(1,－2),过点E作EF⊥AB于F,延长EF到R使得EF＝FR,过R作RG⊥BD于G,同上,易得BE＝2,∴GR＝eq\f(8,5),GE＝eq\f(16,5),∴DG＝eq\f(21,5),∴点R的坐标为(eq\f(21,5),－eq\f(2,5))．综上可得,翻折后点E的对称点坐标为(eq\f(9,5),－eq\f(18,5))或(eq\f(21,5),－eq\f(2,5))．图①图②2．(2018·本溪)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于A,B两点,点B(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4,eq\f(5,2)),与y轴交点为D,点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与A,C重合)．(1)求该抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥AC,垂足为E,作PF∥y轴交直线AC于点F,设点P的横坐标为t,线段EF的长度为m,求m与t的函数关系式；(3)点Q在抛物线的对称轴上运动,当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的点P的坐标．(导学号58824240)解:(1)该抛物线解析式为y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2)；(2)令y＝0得eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2)＝0,解得x1＝－1,x2＝3,∴点A的坐标为(－1,0)．C(4,eq\f(5,2)),∴直线AC的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).∵点D是直线AC与y轴的交点,∴点D的坐标为(0,eq\f(1,2))．在Rt△AOD中,OA＝1,OD＝eq\f(1,2),由勾股定理得AD＝eq\f(\r(5),2),∴cos∠ADO＝eq\f(DO,AD)＝eq\f(\r(5),5).∵PF∥y轴,点P的横坐标为t,且点P在抛物线上,点F在直线AC上,∴点F的坐标为(t,eq\f(1,2)t＋eq\f(1,2)),点P的坐标为(t,eq\f(1,2)t2－t－eq\f(3,2)),∵点F在点P的上方,∴PF＝eq\f(1,2)t＋eq\f(1,2)－(eq\f(1,2)t2－t－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2)t2＋eq\f(3,2)t＋2.∵PF∥y轴,∴∠PFE＝∠ODA,∴cos∠PFE＝eq\f(FE,PF)cos∠ODA＝eq\f(\r(5),5),∴m＝eq\f(\r(5),5)PF＝－eq\f(\r(5),10)t2＋eq\f(3\r(5),10)t＋eq\f(2\r(5),5)；(3)满足条件的点P的坐标为(1＋eq\r(2),－1)或(1－eq\r(2),－1)或(1＋eq\r(6),1)或(2－eq\r(5),1－eq\r(5))或(eq\r(5),1－eq\r(5))．类型二与线段问题结合1．(2018·武汉)已知点A(－1,1)、B(4,6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①,点F的坐标为(0,m)(m＞2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证:FH∥AE；(3)如图②,直线AB分别交x轴,y轴于C,D两点．点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒eq\r(2)个单位长度；同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM＝2PM,直接写出t的值．图①图②(1)解:抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x；(2)证明:设直线AF的解析式为y＝kx＋m,将点A(－1,1)代入y＝kx＋m中,即－k＋m＝1,∴k＝m－1,∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m.联立直线AF和抛物线解析式得,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝（m－1）x＋m，,y＝\f(1,2)x2－\f(1,2)x.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝1.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2m，,y2＝2m2－m.))∴点G的坐标为(2m,2m2－m)．∵GH⊥x轴,∴点H的坐标为(2m,0)．∵抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2)x(x－1),∴点E的坐标为(1,0)．∴直线AE的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).设直线FH的解析式为y＝k2x＋b2,将F(0,m)、H(2m,0)代入y＝k2x＋b2中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝m，,2mk2＋b2＝0.))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－\f(1,2)，,b2＝m.))∴直线FH的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋m.∴FH∥AE；(3)解:当运动时间为eq\f(15－\r(113),6)秒或eq\f(15＋\r(113),6)秒或eq\f(13－\r(89),2)秒或eq\f(13＋\r(89),2)秒时,QM＝2PM.2．(2015·锦州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1,0)和点B(4,0),且与y轴交于点C,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点,连接CA,CD,PD,PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时,求点P的坐标；(3)当m＞0,n＞0时,过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,连接EG,请直接写出随着点P的运动,线段EG的最小值．解:(1)抛物线的解析式为:y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2；(2)∵抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2,∴点C的坐标是(0,2),∵点A(－1,0)、点D(2,0),∴AD＝2－(－1)＝3,∴S△CAD＝eq\f(1,2)×3×2＝3,∴S△PDB＝3,∵点B(4,0)、点D(2,0),∴BD＝2,∴S△PDB＝eq\f(1,2)×2×|n|＝3,∴n＝3或n－3,①当n＝3时,－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2＝3,解得m＝1或m＝2,∴点P的坐标是(1,3)或(2,3)．②当n＝－3时,－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2＝－3,解得m＝5或m＝－2,∴点P的坐标是(5,－3)或(－2,－3)．综上,可得点P的坐标为(1,3)或(2,3)或(5,－3)或(－2,－3)；(3)线段EG的最小值是eq\f(4\r(5),5).3．(2018·哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y＝x－3经过B,C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST＝TD时,求线段MN的长．解:(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；图①(2)如解图①,y＝x2－2x－3,当y＝0时,x2－2x－3＝0,解得x1＝－1,x2＝3,∴A(－1,0),∴OA＝1,OB＝OC＝3,∴∠ABC＝45°,AC＝eq\r(10),AB＝4,∵PE⊥x轴,∴∠EMB＝∠EBM＝45°,∵点P的横坐标为t,∴EM＝EB＝3－t,连接AM,∵S△ABC＝S△AMC＋S△AMB,∴eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)AC·MN＋eq\f(1,2)AB·EM,∴eq\f(1,2)×4×3＝eq\f(1,2)×eq\r(10)MN＋eq\f(1,2)×4(3－t),∴MN＝eq\f(2\r(10),5)t；图②(3)如解图②,∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4,∴对称轴为x＝1,由抛物线对称性可得D(2,－3),∴CD＝2,过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,∴四边形OCKB为正方形,∴∠OBK＝90°,CK＝OB＝BK＝3,∴DK＝1,∵BQ⊥CP,∴∠CQB＝90°,过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I,交BK于点R,OG⊥OS交KB于G,连接SR,∴∠OHC＝∠OIQ＝∠OIB＝90°,∴四边形OHQI为矩形,∵∠OCQ＋∠OBQ＝180°,∴∠OBG＝∠OCS,∵OB＝OC,∠BOG＝∠COS,∴△OBG≌△OCS,∴OG＝OS,CS＝GB,∠GOB＝∠SOC,∴∠SOG＝90°,∴∠ROG＝45°,∵OR＝OR,∴△OSR≌△OGR,∴SR＝GR,∴SR＝CS＋BR,∵∠BOR＋∠OBI＝90°,∠IBO＋∠TBK＝90°,∴∠BOR＝∠TBK,∴tan∠BOR＝tan∠TBK,∴eq\f(BR,OB)＝eq\f(TK,BK),∴BR＝TK,∵∠CTQ＝∠BTK,∴∠QCT＝∠TBK,∴tan∠QCT＝tan∠TBK,设ST＝TD＝m,∴SK＝2m＋1,CS＝2－2m,TK＝m＋1＝BR,SR＝3－m,RK＝2－m,在Rt△SKR中,∵SK2＋RK2＝SR2,∴(2m＋1)2＋(2－m)2＝(3－m)2,解得m1＝－2(舍去),m2＝eq\f(1,2)；∴ST＝TD＝eq\f(1,2),TK＝eq\f(3,2),∴tan∠TBK＝eq\f(TK,BK)＝eq\f(3,2)÷3＝eq\f(1,2),∴tan∠PCD＝eq\f(1,2),∵CF＝OE＝t,∴PF＝eq\f(1,2)t,∴PE＝eq\f(1,2)t＋3,∴P(t,－eq\f(1,2)t－3),∴－eq\f(1,2)t－3＝t2－2t－3,解得t1＝0(舍去),t2＝eq\f(3,2).∴MN＝d＝eq\f(2\r(10),5)t＝eq\f(2\r(10),5)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(10),5).类型三与面积问题结合1．(2018·恩施州)如图,已知抛物线y＝ax2＋c过点(－2,2),(4,5),过定点F(0,2)的直线l:y＝kx＋2与抛物线交于A,B两点,点B在点A的右侧,过点B作x轴的垂线,垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上运动时,判断线段BF与BC的数量关系(＞、＜、＝),并证明你的判断；(3)P为y轴上一点,以B,C,F,P为顶点的四边形是菱形,设点P(0,m),求自然数m的值；(4)若k＝1,在直线l下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QBF的面积最大？若存在,求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在,请说明理由．(导学号58824241)解:(1)抛物线的解析式为y＝eq\f(1,4)x2＋1；(2)BF＝BC.理由如下:设B(x,eq\f(1,4)x2＋1),而F(0,2),∴BF2＝x2＋(eq\f(1,4)x2＋1－2)2＝x2＋(eq\f(1,4)x2－1)2＝(eq\f(1,4)x2＋1)2,∴BF＝eq\f(1,4)x2＋1,∵BC⊥x轴于点C,∴BC＝eq\f(1,4)x2＋1,∴BF＝BC；图①(3)如解图①,m为自然数,则点P在F点上方,∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形,∴CB＝CF＝PF,而CB＝FB,∴BC＝CF＝BF,∴△BCF为等边三角形,∴∠BCF＝60°,∴∠OCF＝30°,在Rt△OCF中,CF＝2OF＝4,∴PF＝CF＝4,∴P(0,6),即自然数m的值为6；图②(4)作QE∥y轴交AB于E,如解图②,当k＝1时,一次函数解析式为y＝x＋2,解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝\f(1,4)x2＋1.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2\r(2)，,y＝4＋2\r(2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－2\r(2)，,y＝4－2\r(2)，))则B(2＋2eq\r(2),4＋2eq\r(2)),设Q(t,eq\f(1,4)t2＋1),则E(t,t＋2),∴EQ＝t＋2－(eq\f(1,4)t2＋1)＝－eq\f(1,4)t2＋t＋1,∴S△QBF＝S△EQF＋S△EQB＝eq\f(1,2)(2＋2eq\r(2))EQ＝eq\f(1,2)(eq\r(2)＋1)(－eq\f(1,4)t2＋t＋1)＝－eq\f(\r(2)＋1,4)(t－2)2＋2eq\r(2)＋2,当t＝2时,S△QBF有最大值,最大值为2eq\r(2)＋2,此时Q点坐标为(2,2)．2．(2018·苏州)如图,二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OB＝OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD＝2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点．(1)求b,c的值；(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上,求点F的坐标；(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小？如果存在,求出点Q的坐标；如果不存在,说明理由．解:(1)b＝－2,c＝－3;(2)设点F坐标为(0,m),∵对称轴是直线x＝1,∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2,m),由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4,∴E(1,－4)∵直线BE经过点B(3,0),E(1,－4),∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6,∵点F′在BE上,∴m＝2×2－6＝－2,即点F坐标为(0,－2)．(3)存在,满足题意的点Q的坐标为(eq\f(1,2),－eq\f(15,4))或(eq\f(3,2),－eq\f(15,4))．3．(2018·抚顺)如图,抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A,并经过B(4,4)和C(6,0)两点,点D的坐标为(4,0),连接AD,AB,BC,点E从点A出发,以每秒eq\r(2)个单位长度的速度沿线段AD向点D运动,到达点D后,以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动,设点E的运动时间为t秒,过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时,求出t的值；(3)设点E从点A出发时,点E,F,G都与点A重合,点E在运动过程中,当△BCG的面积为4时,直接写出相应的t值,并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．(导学号58824242)解:(1)抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋4；(2)点G(eq\f(3,2)t,4－eq\f(1,2)t),将(eq\f(3,2)t,4－eq\f(1,2)t)代入到抛物线得4－eq\f(1,2)t＝－eq\f(1,3)(eq\f(3,2)t)2＋eq\f(4,3)×eq\f(3,2)t＋4,解得t1＝0(舍去),t2＝eq\f(10,3),∴当t＝eq\f(10,3)时,G落在抛物线上；(3)t1＝eq\f(8,5),此时路径长度为eq\f(4\r(10),5),t2＝5,此时路径长度为1＋2eq\r(10).类型四与相似三角形结合1．如图,已知直线y＝－x＋3与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒eq\r(2)个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式；(2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形；(3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由．解:(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)OP＝t,AQ＝eq\r(2)t,则PA＝3－t,∵OA＝OB＝3,∠BOA＝90°,∴∠QAP＝45°.当∠PQA＝90°时,如解图①,PA＝eq\r(2)AQ,即3－t＝eq\r(2)×eq\r(2)t,解得t＝1；当∠APQ＝90°时,如解图②,AQ＝eq\r(2)AP,即eq\r(2)t＝eq\r(2)(3－t),解得t＝eq\f(3,2)；综上所述,当t＝1或t＝eq\f(3,2)时,△PQA是直角三角形；图①(3)如解图③,延长FQ交x轴于点H,设点P的坐标为(t,0),∵PA＝PE,则点E的坐标为(t,－t＋3),易得△AQH为等腰直角三角形,∴AH＝HQ＝eq\f(\r(2),2)AQ＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2)t＝t,∴点Q的坐标为(3－t,t),点F的坐标为(3－t,－t2＋4t),∴FQ＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t,∵EP∥FQ,EF∥PQ,∴四边形PQFE为平行四边形,∴EP＝FQ.即3－t＝3t－t2,解得t1＝1,t2＝3(舍去),∴点F的坐标为(2,3)；图②图③(4)存在．当t＝eq\f(9,4)时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似．2.(2018·河南)如图,直线y＝－eq\f(2,3)x＋c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y＝－eq\f(4,3)x2＋bx＋c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”．请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值．(导学号58824243)解:(1)B(0,2),抛物线的解析式为y＝－eq\f(4,3)x2＋eq\f(10,3)x＋2；(2)①由(1)可知直线解析式为y＝－eq\f(2,3)x＋2,∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N,∴P(m,－eq\f(2,3)m＋2),N(m,－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2),∴PM＝－eq\f(2,3)m＋2,AM＝3－m,PN＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2－(－eq\f(2,3)m＋2)＝－eq\f(4,3)m2＋4m,∵△BPN和△APM相似,且∠BPN＝∠APM,∴∠BNP＝∠AMP＝90°即△BPN∽△APM,或∠NBP＝∠AMP＝90°,当∠BNP＝90°时,则有BN⊥MN,∴BN＝OM＝m,∴eq\f(BN,AM)＝eq\f(PN,PM),即eq\f(m,3－m)＝eq\f(－\f(4,3)m2＋4m,－\f(2,3)m＋2),解得m＝0(舍去)或m＝2.5；∴M(2.5,0)；当∠NBP＝90°时,即△BPN∽△MPA,则有eq\f(PN,PA)＝eq\f(BP,MP),∵A(3,0),B(0,2),P(m,－eq\f(2,3)m＋2),0＜m＜3,∴BP＝eq\r(m2＋（－\f(2,3)m＋2－2）2)＝eq\f(\r(13),3)m,AP＝eq\r(（m－3）2＋（－\f(2,3)m＋2）2)＝eq\f(\r(13),3)(3－m),eq\f(－\f(4,3)m2＋4m,\f(\r(13),3)（3－m）)＝eq\f(\f(\r(13),3)m,－\f(2,3)m＋2),解得m＝0(舍去)或m＝eq\f(11