2024届山东青岛胶州市高二数学第一学期期末检测试题含解析

2024届山东青岛胶州市高二数学第一学期期末检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直三棱柱ABC-44G中，底面是等腰直角三角形，BA=BC=3叵,点。在棱8月上，且3。=",则

与平面4&GC所成角的正弦值为（）

A/21

AA.-V--2--1-RB.------

65

a

r---n-V-6-

45

71

2.已知数列｛%｝中，a,=-fd—a〃+l=a〃+i(〃£N*),是＜丁＞的前〃项和，则S2O2o=()

/1/1

A.6--------B.6--------

“202002021

(121

C.6----------D.6---------

〃2020—1〃2021-1

3.某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把

这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）

A.076B.122

C.390D.522

、为奇数，

4.已知数列(｛4｝满足：4+2=/»/田共且。1=2,2=1，则此数列的前20项的和为()

[2〃〃》为偶数，-

A.621B.622

C.1133D.1134

3

5.已知抛物线y=—V,则它的焦点坐标为()

-4

A*)B.七0)

ego]D.℃

6.某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从

设备正东方向506米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备正北方向的5处，则这名工作人员被持续监测的时

长为。

3

A.1分钟B.-分钟

2

C.2分钟D.-分钟

2

7.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、

从二品、正三品)依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、

从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分

得俸粮是()

A.74石B.61石

C.48石D.35石

8.已知事件A,3相互独立，P(A)=0.8,P(3)=0.3,则P(A|g)=()

A.0.24B.0.8

C.0.3D.0.16

9.将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为X、y,记事件A为“x+y为偶数”，事件5为“1+y<7”,

则尸(3|4)的值为()

11

A.-B.一

32

57

C.1D.-

99

10.已知抛物线C：>2=4%的焦点为尸，A为。上一点且在第一象限，以R为圆心，E4为半径的圆交。的准线于

M,N两点，且A,F,M三点共线，贝!l|AF|=（）

A.2B.4

C.6D.8

11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵

爽弦图”.如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个

全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'8'C'拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论正确的是（）

①这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形；②若BB'=3,sinNAM'=%叵，贝!IA?=2；③若AB=2A%'，

14

则AB'=45BB';

④若4是A9的中点，则三角形ABC的面积是三角形A'B'C面积的7倍.

A.①②④B.①②③

C.②③④D.①③④

12.某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下:

年度

2017年2018年2019年2020年

项目

独立用户访问总量（单位：个）2512573924400060989

网站总访问量（单位：次）23435370348194783219288

下列表述中错误的是（）

A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；

B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；

C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；

D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.抛物线y=-4代的焦点坐标为.

14.若直线x+y=l与直线2（m+l）x+%y—4=0平行，则实数机的值为

15.若平面内两定点A,5间的距离为2,动点尸满足=◎,贝（J|冏2+归却2的最小值为

16.已知函数〃尤）的导函数为/'（%）,/（%）+/（%）＜3,/（0）=3,则〃X）＞3的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4｝满足4=1,。“+1=34+1

（1）证明是等比数列,

（2）求数列｛4｝的前"项和S.

18.（12分）已知函数/'（尤）=3O-l）-2xlnx.

（1）求/（x）单调增区间；

（2）当尤21时，f（x）Walnx恒成立，求实数。的取值范围.

19.（12分）如图，直四棱柱ABCD-A4G，中，底面ABC。是边长为1的正方形，点E在棱8月上.

（1）求证：\CXLDE.

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使得。与，平面吗G，并给出证明.

条件①：£为8月的中点；条件②：3。//平面E&G；条件③：DBXLBD｛.

（3）在（2）的条件下，求平面E&G与平面£＞4G夹角的余弦值.

20.（12分）已知圆C的圆心在直线y=2x+4上，且经过点”（0,2）和N（2,4）.

（1）求圆C的标准方程;

(2)若过点P(1,O)且斜率存在的直线/与圆C交于A,B两点,且|AB|=2百，求直线/的方程.

21.(12分)已知命题p：x?-6x+8<0，命题0：m-2<x<m+l.

(1)若命题p为真命题，求实数x的取值范围.

(2)若p是g的充分条件，求实数机的取值范围；

22.(10分)圆心在x轴正半轴上、半径为2的圆C与直线4y=0相交于A3两点且|AB|=2石.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线Z2//Z,,圆C上仅有一个点到直线12的距离为1,求直线12的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】取AC的中点过点M作肱V//皮)，且使得MN=BD,进而证明DN±平面AA.QC,然后判断出ADAN

是A。与平面4&GC所成的角，最后求出答案.

【详解】如图，取AC的中点拉，因为区4=8。=30,乙48。=90。，则AC=6,=3,皿1，AC,过点M作

MN//BD,且使得“N=3D=#，则四边形是平行四边形，而以DN"BM,DN=BM=3.

CiHi

由题意，3D_L平面A5C,则MN_L平面ABC,而BA/u平面A5C,所以MNJ_6M，又，AC,ACcMN=M,

所以氏0，平面441。。，而£加//助公所以斯，平面441。。，连接。4八&,则ND4N是A。与平面441GC所

成的角.而A£)==2几,于是，sinNZMN=2g=—==坐

AD2V64

故选：C.

2、D

【解析】由4+i-。,=4—24+l=（q—I）?>0,得到｛4｝为递增数列，又由a,.-1=%（4—1）,得到

111o11111

—=---77»化简52020=—+-++-------=----------------------7，即可求解・

册%一]〃〃+1_1%〃2^2020%-1%021—1

【详解】解：由a；-a“+l=a“+i(〃eN*),得a“+i-氏=%；-2。“+1=(6,-1y，

7

又囚=:，所以（%-1）2/0,所以&-1）2>0,即%+1〉％,所以数列｛&｝为递增数列,

6

11

所以Q〃+i—l=a〃([枕—1)＞。得------二---------------------

4+i—l4@T)

1

又由5〃是<—>的前n项和,H----

“2020

+(7匕

“20201

故选：D.

111

【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出一=一7-----7,运用裂项相消求和法.

%an-l——I

3、B

【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.

【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，

则需要分为30组，每组26人；

设第n组抽取的编号为an,故可设an=26n+m,

又第一组抽中18号，故可得18=26+机，解得m=-8

故4=26〃-8,

当〃=5时,%=26x5—8=122.

故选：B.

4、C

【解析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.

a+2,n=2m-l/—

【详解】由于4+2=\。(me7V+),所以当〃为奇数时，是等差数列，即：

7

Lan.n-2m'

%=2,%=2+2x1,%=2+2x2,%=2+2x3,___,^19=2+2x9,共10项，

2689

。=2°,%=21。=22,。=2',^20=2,共10项，

1_?10

其和为2°x--------=21°—1=1023；

1-2

・・・该数列前20项的和S20=1023+110=1133；

故选：C.

5、D

【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距P=:,可得结果.

3442

【详解】由y=/9得9所以2P=1，所以p二§,

所以抛物线x2=1y的焦点坐标为(0,1).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.

6、C

【解析】以设备的位置为坐标原点。，其正东方向为》轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xQy,

求得直线/钻和圆。的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.

【详解】以设备的位置为坐标原点。，其正东方向为X轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xQy,

如图所示，

则A(50疝0),B(0,5076),可得J：x+y=50面，IBO:X2+/=10000

记从N处开始被监测，到M处监测结束,

-50国「

因为。到2的距离为OO'=I,I=50^/3米，

Vl2+12

所以MN=2dMO。-CO'?=100米，故监测时长为黑=2分钟

故选：C.

7、D

【解析】令5位官员（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）所分得的俸粮数是公差为-13数列｛4｝,利用等差

数列的前"项和求火,进而求出正三品为即可.

【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列｛为｝,

由题意，｛4｝是以—13为公差的等差数列，且S5=5q+10x（—13）=305,解得％=87.

故正三品分得俸粮数量为%=4+4x（-13）=35（石）.

故选：D.

8、B

【解析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.

【详解】因为事件A,3相互独立，所以P（AB）=尸（A>P（5）,所以。（川5）=勺鬻=吟?=0.8

故选:B

9、B

【解析】利用条件概率的公式求解即可.

【详解】根据题意可知，

若事件A为“x+y为偶数”发生，则X、y两个数均为奇数或均为偶数，

其中基本事件数为（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,3）,（3,5）,

1Q1

（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,1）,（5,3）,（5,5）,（6,2）,（6,4）,（6,6）,一共18个基本事件，.•.尸（人）=好=不

362

91

而4、3同时发生，基本事件有当一共有9个基本事件，.•.P（4B）=o=：

364

1

则在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）=勺吁=牛=1

P\A）-2

2

故选：B

10、B

【解析】根据A,F,M三点共线，结合点R到准线的距离为2,得到|AN|=4,再利用抛物线的定义求解.

【详解】如图所示：

是圆的直径，

:.ANLMN,4V〃兀轴，

又尸为AM的中点，且点口到准线的距离为2,

：.\AN\=4,

由抛物线的定义可得|A司=|AN|=4,

故选：B.

11、A

【解析】对于①，由三角形大边对大角的性质分析，对于②，根据题意利用正弦定理分析，对于③，利用余弦定理分

析，对于④，利用三角形的面积公式分析判断

【详解】对于①，根据题意，图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形43'。'拼成的一个大等边三角

形一ABC,故44=85'，AB>BB，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故①正确；

对于②，由题知，在AB3'中，BB'=3,sin/A55'=%^,ZAB5=120°，所以

14

sinZBAB=sin(60°-ZABB)=所以由正弦定理得———=——~r解得AB'=5,因为

\>14sinZBABrsinZABB

BB'^AA=3,所以AE=2,故②正确;

对于③，不妨设AB=2AZ'=2,AA'=x,所以在A3月中，由余弦定理得

\ABf=\AB'[+\BB'^-2\AB'\\BB'\cosZABB,代入数据得AA'=》=与±所以

AB'^AA+AB=1+^^所以a竺=华工，故③错误;

2BB'近一1

对于④，若A是A3'的中点，贝!1s'丽^-BB-ABsin120°=BC.ABsin600=2S.，,

/AAA.DDOZ_\ADCA

SJS

所以SAABC=3s△ABB+AABC=AABC>故④正确・

故选：A

第n卷（非选择题

12、D

【解析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.

【详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长54880、346913,显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确;

B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；

C：2019年至2020年，两项访问量分别增长16989、24505,正确；

D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、心山

【解析】化成抛物线的标准方程即可.

【详解】由题意知，x2=--y,则焦点坐标为口（0，-.

4-I16J

故答案为：

14、-2

【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可

【详解】解：因为直线x+y=l与直线2（m+l）x+〃w—4=0平行，

2（m+l）m-4

所e以一=

解得m——2

故答案为：-2

15、36-24夜##-24血+36

【解析】建立直角坐标系，设出尸的坐标，求出轨迹方程，然后推出|%|2+归@2的表达式，转化求解最小值即可.

【详解】以经过A,5的直线为X轴，线段48的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.

则A（—1,0）,5。,0）,设。（工田，由鬻=拒，则,（X+1）+）=0,

\PB\"A1『+》2

所以两边平方并整理得（尤-3）2+V=8,

所以P点的轨迹是以（3,0）为圆心，2夜为半径的圆，

所以V=8《_3）2,3-2A/2<X<3+2A/2.

则有|弘|2+|PB|2=2（x2+/）+2=2x2+18-2（x-3）2=12光之36—240,

贝!112+归砰的最小值为36_24叵.

故答案为：36-24JL

16、（-8,0）

【解析】根据/'（幻+/（%）<3,构造函数/（力=/[〃尤）—3],利用其单调性求解.

【详解】因为/'（力+/（力<3,

所以e[/'（x）+/（x）]<3e',

令R（x）=e[/（x）-3],

贝!|歹，（劝="[/（无）_3]+//，（同，

=^[r（x）+/（%）-3]<0,

所以尸（九）是减函数，

又歹(O)=e°[〃O)—3]=O,

/(x)>3即/(九)一3>0,ex[/(x)-3]>0,

所以尸(x)>尸⑼，

所以x<0,

则/(力>3的解集为(—8,0)

故答案为：(-8,0)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3"+i_2〃一3

17、(1)见解析；(2)5n=-——

"4

1

4+1+彳

【解析】(1)利用定义法证明----/是一个与"无关的非零常数，从而得出结论;

an+2

(2)由(1)求出电,利用分组求和法求5〃

1

1(n%+1+不

【详解】(1)由为+1=3%+1得%+1+]=3q+万，所以——3=3,

a-

一1n+

2

所以1%+;｝是首项为q+;=l13

公比为3的等比数列,，所以％+厂广口

一[(31323〃、〃

(2)由(1)知｛4｝的通项公式为=------(neN*)；则S1=--+—--+—~~—

2.222.2

3用-2〃-3

所以S"

4

【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题

c

18、(1)单调增区间为0,3；(2)a>l.

\)

【解析】(1)求导/(x)=>21n尤，由/'(%)>。求解.

(2)将了21时，f(x)Walnx恒成立，转化为时，3(尤-1)-2xln尤-alnxW0恒成立，令

g(x)=3(x-1)-2xlnx-alnx,g(l)=0,用导数法由g(x)<g⑴=0求解即可.

【详解】(1)因为函数/'(x)=3(x—1)—2尤Inx.

所以/(x)=l—21nx,

令/'(x)>0,

解得工(0,£],

所以/'(x)单调增区间为

(2)因为1之1时，f(x)Mainx恒成立，

所以九21时，3(x_l)_2xlnx_qlnxW0恒成立，

令g(x)=3(%—1)—2xln%—alnx,g(l)=0,

，/、x-tz-2xlnx

则g(x)=------------,

X

令/?(%)=x-a-2x\nx,li(x)=-1—21nx,h(V)=l-a

因为xNl时，/z(x)40恒成立,

所以久幻在工+8)单调递减.

当a21时，h(x)<h(l)<0,g(x)在(1,-+w)单调递减，

故g(%)<g⑴=0,符合要求；

当〃£(—e,l)时，h(I)>0,h(e)=-e-a<0,"(%)单调递减，

故存在XoG(1,e)使得"(X。)=0,

则当X«1,不)时以X)>0,g(x)单调递增，g(x)>g(l)=0,不符合要求；

当QW(-oo,—e］时，he2=a\e2-1<0,/z(x)单调递减，

\7\7

/\-a、

故存在l,e2J使得九小)=0,

则当％€(1,不)时，7(x)>0，g(x)单调递增，8(》)>86=。，不符合要求.

综上a21.

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

(1)恒成立：VxeD,/(x)>0o/(x)min>0；VxeD,/(x)<0o/(x)皿<0；

⑵能成立：大€。,/(%)>00/(%)2>0；3xeA/(x)<0^/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(x)(或a</(尤))，则

⑴恒成立：a>/(x)^a>/(x)max；。</(%)0。</(%)皿；

(2)能成立：a>/(x)<^a>/(%)min；

19、(1)证明见解析；

(2)答案见解析；(3)巫.

10

【解析】(1)连结3。，BR,由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得再由正方形的性质及线面垂直

的判定、性质即可证结论.

(2)选条件①③，设A£c耳4=0,连结OE,BD],由中位线的性质、线面垂直的性质可得。用，OE、

AG1DBX,再由线面垂直的判定证明结论；选条件②③，设4£门用。1=。，连结OE,由线面平行的性质及平

行推论可得。用±OE,由线面垂直的性质有AG，DB,,再由线面垂直的判定证明结论；

(3)构建空间直角坐标系，求平面E41c1、平面£>4G的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面璃G与平面

DAG夹角的余弦值.

【小问1详解】

连结42,由直四棱柱A4CA知：1平面4用。12，又AGu平面,

BD,ABCD-BB}

所以551_LAG，又4片。12为正方形，即4G，旦。1，又KQCB与=用，

4G，平面D[DBB[,又DEU平面。。331,

:..LDE.

【小问2详解】

选条件①③，可使，平面EMC1.证明如下：

设AGC4〃=O,连结0£,BD],又E,。分别是8月，耳。的中点,

：.OEUBDX.

又DB11B»,所以DBt±OE.

由（1）知：AC1上平面RDBB[,DB]u平面DQBB],则AG，。片.

又AGCOE=O,即平面璃G.

选条件②③，可使，平面E&C1.证明如下：

设AGC4〃=O,连结OE.

因为BDJ/平面璃G，BD1u平面D]DBB],平面DQBBin平面=OE,

所以BDJ/OE,又DB[:LB%则。用LOE.

由（1）知：AG，平面。。3与，DB]u平面DQBB],则AG，。片.

又AGCOE=O,即平面E41cl.

【小问3详解】

由（2）可知，四边形为正方形，所以DD[=BD=g.

因为ZM,DC,两两垂直,

如图，以。为原点，建立空间直角坐标系。-盯z,则£＞（0,0,0）,A(1,0词，4(1/,⑹，q(o,i,V2),

所以4G=(—1,1,0),D4t=(i,o,后》

由（1）知：平面EAC的一个法向量为。4=0,1,J可

"TG=-%+y=0

设平面D41G的法向量为〃={x,y,z},贝卜令xf，则为-1）.

n-DA1=x+=0

设平面E4c与平面DAG的夹角为凡贝!|cos8=cos（n,DB

1l'|n|.|Z>X|2x7510，

所以平面E&G与平面D&G夹角的余弦值为巫.

10

20、(1)/+仔―4『=4

(2)15x+8y-15=0

【解析】（1）设圆心C（a,2a+4）,由题意得，|CM|=|CN|,结合两点间的距离公式求解。的值，则圆心与半径可

求，圆的方程可求;

（2）若直线/的斜率不存在，设直线/的方程为x=l,符合题意，若直线/的斜率存在，设直线方程为丁=左（九-1）,

即Ax-y-k=0,由圆心到直线的距离与半径关系求得左，则直线方程可求

【小问1详解】

解：（1）设圆心C（a,2a+4）,由题意得，|。必=|。乂|,

J（a-0）2+（2a+4-2）2=2）?+（2a+4-4『,解得a=0.

二圆心坐标为C（0,4）,半径厂=|CM|=2.

则圆。的方程为V+（y—4）2=4；

【小问2详解】

解：（2）直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁=左（九一1）,即近一y-k=