山东省菏泽市第三中学2023-2024学高三下学期3月月考数学试题

菏泽市第三中学2024届高三下学期3月份月考数学试题第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=2px过点2,2，则焦点坐标为(

)A.0,0 B.14,0 C.122.已知平面向量a=3,2，b=-2,1，若a+λA.-45 B.-35 C.3.已知角α0∘<α<360∘终边上A点坐标为sinA.130∘ B.140∘ C.220∘4.设等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1也是等比数列，则A.-2 B.12 C.1 D.5.过点P-2,0作圆C：x2+y2-4x-4=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形A.4 B.42 C.8 6.设x>0，函数y=x2+x-7,y=2x+x-7,y=logA.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b7.设x1,x2是函数fx=xA.0 B.1 C.2 D.38.已知fx=aex-1-lnx+lna,gx=A.1e,1 B.1e,+∞ C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=3sinA.y=fx的最大值为2

B.y=fx的图象关于点π3,0对称

C.y=fx在0,π6上单调递增10.在▵ABC中，∠ACB=π2，AC=BC=22，D是AB的中点．将▵ACD沿着CD翻折，得到三棱锥A'-BCD，则A.CD⊥A'B．

B.当A'D⊥BD时，三棱锥A'-BCD的体积为4．

C.当A'B=23时，二面角A'-CD-B的大小为2π3．

D.当∠A'DB=2π311.已知点A-1,0,B1,0，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之和是2.设动点Mx,y的轨迹为曲线C，则A.曲线C关于原点对称

B.x的范围是xx≠0,y的范围是R

C.曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交

D.曲线C上两动点Pa,b,Q第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2a2-y2b13.记Sn为数列an的前n项和，已知an=1nn+214.已知A1,A2,A3,A4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知fx=2x+1lnx-x2(1)求a,b；(2)证明fx≤ax+b16.(本小题15分)①S3=7a3，②a2设正项等比数列an的前n项和为S(1)求an(2)求数列nan的前n项和T17.(本小题15分)在▵ABC中，点M,N分别为BC,AC的中点，AM与BN交于点G，AM=3,∠MAB=45(1)若AC=52，求中线(2)若▵ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围．18.(本小题17分)某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量y(单位：万人)，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年)．(1)根据散点图判断y=blnx+a与y=ec+dx(a,b,c,d均为常数)哪一个适合作为y关于(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；(3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：yw5.151.5517.520.953.85其中w=参考公式：对于一组数据u1,v1,u19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点Ax1,y1,Bx(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，▵AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值．

菏泽市第三中学2024届高三下学期3月份月考数学试题答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】代入所过的点可求p的值，从而可求焦点坐标．【详解】因为抛物线y2=2px过点2,2，所以4=4p，故故y2=2x，故焦点坐标为故选：C．2.【答案】D

【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，求解λ的值．【详解】平面向量a=3,2，b=由a+λb⊥b，则故选：D．3.【答案】B

【解析】【分析】先确定角α的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解．【详解】因为sin310所以角α的终边在第二象限，又因为tan=cos且0∘所以α=140故选：B．4.【答案】D

【解析】【分析】由{Sn+1}是等比数列，得S【详解】由题意可知，a1=1，a2若{an}若q≠1，则Sn若{Sn+1}也是等比数列，则S即q2q解得q=2或q=1(舍去)．故选：D．5.【答案】C

【解析】【分析】根据两点距离公式可得|PC|，即可由勾股定理求解|PB|，由三角形面积公式即可求解．【详解】由x2+y2-4x-4=0则|PC|=4，则PB=则四边形PACB的面积为2S故选：C6.【答案】A

【解析】【分析】由题意a,b,c分别为函数y=-x+7与函数y=x2,y=【详解】分别令y=x则x2则a,b,c分别为函数y=-x+7与函数y=x分别作出函数y=x

由图可知，a<b<c．故选：A．7.【答案】C

【解析】【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果．【详解】由题意得f'x=3x则x1,x故x1又x1+3x2=-2，则x则x1=-1，所以x1此时Δ=4故选：C．8.【答案】B

【解析】【分析】设Fx=ex+ex，利用同构得到Fx+lna≥Flnx【详解】由题意得，当x>0时，efx即ex+lna令Fx=e因为F'x=ex+e>0故x+ln即lna≥令hx=ln当x∈0,1时，h'x>0当x∈1,+∞时，h'x<0故hx=lnx-x在x=1处取得极大值，也故lna≥-1，解得a≥故选：B【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现ex与lnx，通常使用同构来进行求解，本题难点是将aex-e9.【答案】AC

【解析】【分析】化简得fx=2sin【详解】fx对A：y=fx的最大值为2，故A对B：因为fπ3=2sinπ3+对C：当x∈0,π6时，x+π6∈π6,π3对D：fπ6=2sinπ6+故选：AC10.【答案】ACD

【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理判断A；根据等体积法可判断B；确定二面角A'-CD-B的平面角，解三角形可得其大小，判断C；确定三棱锥A'-BCD的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积，判断D．【详解】对于A，▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=22，

故CD⊥AB，且AB=4，CD=AD=DB=1则在三棱锥A'-BCD中，CD⊥A'D，CD⊥BD，因为A'D∩BD=D，A'D,BD⊂平面A'BD，故CD⊥平面A'BD，A'B⊂平面A'BD，故CD⊥A'B，故A正确；对于B，当A'D⊥BD时，S▵A'BD由于CD⊥平面A'BD，故VA'-BCD=V对于C，当A'B=23时，则cos∠A'DB=A'D2故∠A'DB=2π由于CD⊥平面A'BD，故∠A'DB即为二面角A'-CD-B的平面角，故当A'B=23时，二面角A'-CD-B的大小为2π3对于D，当∠A'DB=2π3时，设▵A'DB的外接圆圆心为O'，半径为r，则2r=A'Bsin∠A'DB因为CD⊥平面A'BD，所以三棱锥A'-BCD的外接球的球心位于过O'垂直于平面A'BD的直线上，且在过CD的中点E垂直于CD的平面上，设球心为O，由于OO'⊥平面A'BD，则OO'//CD，故过E作OO'的垂线，垂足即为O，即三棱锥A'-BCD的外接球的球心，则四边形OO'DE为矩形，故OO'=ED=1设棱锥A'-BCD的外接球的半径为R，连接OD，故，R2=OD故三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为4πR2=20π故选：ACD．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．11.【答案】ACD

【解析】【分析】设Mx,y，根据题意求出曲线C的轨迹方程，再将-x,-y代入即可判断A；结合直线AM,AN的斜率都存在即可判断B；判断x趋于无穷大时，y-x是否趋于0即可判断C；求出PQ最小时，a,c的关系，再结合基本不等式即可判断D【详解】设Mx,y，由题意k即yx+1+y即y=x2-1对于A，将-x,-y代入得-y=-x-1-x，即所以曲线C关于原点对称，故A正确；对于B，由A选项知，x的范围是xx≠0且x≠±1，故B对于C，由y=x-1x，得当x→+∞时，-1x→0当x→-∞时，-1x→0所以曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交，故C正确；对于D，要使PQ最小，则曲线C在P,Q两点的切线平行，由y=x-1x，得y'=1+1x2因为a<0,c>0，所以a=-c，则P-c,-c+所以PQ=当且仅当8c2=所以PQmin=2故选：ACD12.【答案】54【解析】【分析】根据渐近线方程求出ba【详解】因为双曲线x2a2所以ba所以离心率e=故答案为：5413.【答案】1011【解析】【分析】注意到a2k【详解】由题意a2k所以S=1-1故答案为：101114.【答案】1

【解析】【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出|A【详解】因为An所以A1A2A2由题意设|A1A2|=x设A1(0,0)，如图，因为求则A2(x,0)，A3(x,1所以|A当且仅当x2=1所以|A1A故答案为：1．关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到|A15.【答案】解：(1)由fx=2x+1则f'1=2，所以曲线fx在点x=1又因为f1=-12，所以切线方程为：所以a=2,b=-5(2)要证明fx≤ax+b，只要证设gx=2x+1令hx=2ln所以hx在0,+∞上单调递减，又h所以当x∈0,1时，hx>0，则g当x∈1,+∞时，hx<0，则g所以gx≤g1

【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线y=fx在点x=1处的切线方程即可得a，b(2)要证明fx≤ax+b，只要证2x+1lnx-x16.【答案】解：(1)若选①S3=7因为等比数列an是正项数列，所以a所以6q2-q-1=0若选③a4，a3，6因为a3>0，所以6q所以在已知条件下，①等价于③，所以无论选①②还是选②③都有，q=12>0，a(2)由题意Tn两式相减得12所以Tn

【解析】(1)首先由等比、等差数列基本量计算得在已知条件下，①等价于③即q=12>0(2)由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解．17.【答案】解：(1)因为点M为BC的中点，所以2AM则AC=2AM-即50=4×9-4×3×AB×22+AB又因为BN=BN2=AM所以BN=

(2)SGMCN=2因为▵ABC是锐角三角形，所以∠A是锐角，即AB⋅即AB⋅2AM-AB∠B是锐角，即BM⋅BA>0所以3AB×∠C是锐角，即CA⋅MB>0所以AB2-3AB所以AB∈R，综上：3所以SGMCN

【解析】【分析】(1)对2AM=AB+AC(2)由分析知SGMCN=2218.【答案】解：(1)根据散点图可知，选择y=e(2)因为y=ec+dx，所以两边同时取常用对数，得设w=lny，则w=c+dx，先求w关于因为x=d=c=所以y=把x=8代入上式，得y=故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人．(3)这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以X的所有可能取值为1，2，3．P所以X的分布列为X123P131所以EX

【解析】(1)观察散点图结合增长速度情况即可求解；(2)两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程；(3)X的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望．19.【答案】解：(1)设“椭圆”上任意一点为Px,y，则P即x+c+y+所以“椭圆”的方程为x+c+(2)由方程x+c+x-c+2因为y≥0，所以2a-x+c-所以x≤-c-x-c-x+c≤2a或-c<x<cx+c-x+c≤2a解得-a≤x≤a，由方程x+c+x-c+2即2a-2y=-2x,x≤-c2c,-c<x<c2x,x≥c所以“椭圆”的范围为-a≤x≤a，c-a≤y≤a-c，将点-x,y代入得，-x+c+即x+c+x-c+2将点x,-y代入得，x+c+即x+c+x-c+2将点-x,-y代入得，-x+c+即x+c+所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称；

(3)由题意可设椭圆C的方程为x2将点1,1代入得14+1所以椭圆C的方程为x24+由题意可设直线MN的方程为x=my+1m≠0联立x=my+1x24Δ