静定结构的位移计算

关于静定结构的位移计算8.1概述

建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转动，称为结构的位移。8.1.1位移的概念

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使结构发生位移的因素主要有以下三种：

（1）荷载作用。（2）温度变化与材料收缩。（3）支座移动和制造误差。第3页,共137页，2024年2月25日，星期天(a)

例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动了一段距离，称为C点的线位移或挠度

；支座截面B转动了一个角度，称为截面的角位移或转角。第4页,共137页，2024年2月25日，星期天

又如图(b)所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形。刚架上的C点移动至点，则称为点C的线位移，用ΔC表示。F（b）CVCHCHCCV第5页,共137页，2024年2月25日，星期天还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移，分别用ΔCH和ΔCV表示，几何关系如图（b）所示，图中的为截面C的转角，称为截面C的角位移，上述线位移和角位移统称为绝对位移。第6页,共137页，2024年2月25日，星期天此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。ABΔAHΔBHFF第7页,共137页，2024年2月25日，星期天为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称为广义位移。

A、B两点的水平位移分别为ΔAH和ΔBH，它们之和为(ΔAB)H=ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对线位移。A、B两个截面的转角分别为和，它们之和为，称为A、B两个截面的相对角位移。第8页,共137页，2024年2月25日，星期天

静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容，在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。静定结构的位移计算也是超静定结构内力分析的基础。概括地说，它有以下三个目的：8.1.2计算位移的目的第9页,共137页，2024年2月25日，星期天

1.验算结构的刚度在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外，还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求，即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中，梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200，否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。第10页,共137页，2024年2月25日，星期天2.为计算超静定结构打基础在计算超静定结构的反力和内力时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条件，需要计算结构的位移。因此，静定结构的位移计算是求解超静定结构的基础。

第11页,共137页，2024年2月25日，星期天3.计算结构变形后的位置在结构的制作、架设等施工过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施，因而也需要计算结构的位移。

第12页,共137页，2024年2月25日，星期天本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与应变的关系符合胡克定律。

第13页,共137页，2024年2月25日，星期天8.2静定结构在荷载作用下的位移计算公式

在力学中功的定义是：一个不变的集中力所做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线有位移Δ时[如图]，作用于物体的常力F在位移Δ上所做的功为。8.2.1实功与虚功FFαΔ第14页,共137页，2024年2月25日，星期天

如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度时，两力所做的功为

W=2Fr=M

式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩与角位移的乘积。第15页,共137页，2024年2月25日，星期天由上述可知，功包含了两个因素，即力和位移。若用F表示广义力，用Δ表示广义位移，则功的一般表达式为

W=F

Δ第16页,共137页，2024年2月25日，星期天从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)。

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既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：

（1）位移是由做功的力引起的

例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移Δ11上做了功。Δ11F第18页,共137页，2024年2月25日，星期天Δ11

由于位移Δ11是由做功的力F1引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。F第19页,共137页，2024年2月25日，星期天

（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。

若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿F1方向又产生了位移Δ12如图所示。Δ11Δ22Δ12FF第20页,共137页，2024年2月25日，星期天

力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所做的功称为虚功。第21页,共137页，2024年2月25日，星期天在虚功中，既然做功的力和相应的位移是彼此无因果关系的两个因素，所以，可将二者看成是同一结构的两种独立无关的状态。其中，力系所属的状态称为力状态[图(a)]，位移所属的状态称为位移状态[图(b)]。（a）力状态

（b）位移状态

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如果在力状态中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，统称为广义力，用Fi表示。Δi表示与广义力Fi相应的广义位移，若用We表示外力虚功，则[图(a)]所示的力状态在[图(b)]所示的位移状态上所做的外力总虚功为

当力与位移的方向一致时，虚功为正值，当力与位移的方向相反时，虚功为负值。第23页,共137页，2024年2月25日，星期天

这里所说的虚功并非不存在，而是强调做功过程中力与位移之间彼此无因果关系。使力做虚功的位移，可以是荷载引起的位移、温度变化或支座移动等其他因素引起的位移，也可以是虚设的位移。但是上述的所有虚位移必须是约束条件所允许的微小位移。既然位移状态可以虚设，同样，力状态也可以虚设。

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变形体虚功原理是力学分析中广泛应用的一个十分重要的原理，现将其表述如下：对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件，位移状态中的变形满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应的位移上所作的外力总虚功等于力状态中的内力在位移状态中相应的变形上所作的内力总虚功，即

We=Wi8.2.2变形体虚功原理第25页,共137页，2024年2月25日，星期天

上式称为变形体的虚功方程。式中：We表示外力虚功，即力状态中的所有外力在位移状态相应的位移上所作的虚功总和；Wi表示内力虚功，即力状态中的所有内力在位移状态相应的变形上所作的虚功总和。变形体系的虚功原理的证明从略。第26页,共137页，2024年2月25日，星期天

需要指出的是，在推导变形体的虚功方程时，并未涉及到材料的物理性质，只要在小变形范围内，对于弹性、塑性、线性、非线性的变形体系，上述虚功方程都成立。当结构作为刚体看待时，由于没有变形，则内力总虚功为零，即Wi=0，于是变形体虚功原理变成了刚体的虚功原理。变形体虚功方程变为刚体的虚功方程，即

We=0。所以说刚体的虚功原理是变形体虚功原理的一个特例。第27页,共137页，2024年2月25日，星期天

在工程实际中组成结构的构件都是变形体，结构在荷载作用下不仅要发生变形，同时还产生相应的内力。因此，利用虚功原理求解变形体结构问题时，不仅要考虑外力虚功，而且还要考虑与内力有关的虚功。第28页,共137页，2024年2月25日，星期天8.2.3位移计算的一般公式1.单位荷载法现在，我们结合如图所示刚架，讨论如何利用变形体虚功原理来建立计算平面杆件结构位移的一般公式。第29页,共137页，2024年2月25日，星期天如图(a)中虚线表示刚架在荷载和支座移动等因素的作用下所发生的变形，这是结构的实际位移状态，简称实际状态。现在要求该状态K点沿水平方向的位移ΔK。

(a)第30页,共137页，2024年2月25日，星期天利用虚功原理求解这个问题，首先要确定两个彼此独立的状态，即力状态和位移状态。由于是求实际状态下结构的位移，所以应把结构的实际状态[图(a)]作为结构的位移状态。(a)第31页,共137页，2024年2月25日，星期天而力状态则可以根据所求位移来虚设。为了便于求出位移和简化计算，我们选取一个与所求位移相对应的虚单位荷载，即在K点沿水平方向施加一个单位力=1，如图(b)所示。这是一个虚设的状态，简称虚拟状态。(b)第32页,共137页，2024年2月25日，星期天在虚单位荷载=1作用下，结构将产生虚反力和虚内力、、，它们构成了一个虚设力系。(b)第33页,共137页，2024年2月25日，星期天根据变形体系的虚功原理，计算以上两种状态中虚拟状态的外力和内力在相应的实际状态上所做的虚功。则有得（a）式中：ε、、k——实际状态中的轴向应变、剪切应变和弯曲应变。式（a）即为平面杆系结构位移计算的一般公式。第34页,共137页，2024年2月25日，星期天

由以上位移计算公式的建立过程，可归纳出用虚功原理求结构位移的基本方法：

(1)把结构在实际各种外因作用下的平衡状态作为位移状态，即实际变形状态。

(2)在拟求位移的某点处沿所求位移的方向上，施加与所求位移相应的单位荷载，以此作为结构的力状态，即虚设力状态。第35页,共137页，2024年2月25日，星期天

(3)分别写出虚设力状态上的外力和内力在实际变形状态相应的位移和变形上所做的虚功，并由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。我们把这种在沿所求位移方向施加一个单位力=1的位移计算方法称为单位荷载法。第36页,共137页，2024年2月25日，星期天需要说明的是，上述平面杆系结构位移计算的一般公式，不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由温度变化、制造误差以及支座移动等因素影响下的位移计算。第37页,共137页，2024年2月25日，星期天2.几种典型的虚拟状态单位荷载法是计算结构位移的一般方法，其不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移，只要虚拟状态中所设虚单位荷载与所求的位移相对应，即保证广义力与广义位移的对应关系即可。现举出几种典型的虚拟状态如下：第38页,共137页，2024年2月25日，星期天

（1）若计算的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力[(a)]。（2）若计算的位移是杆件某一截面的角位移，则应在该截面上施加一个单位集中力偶[图(b)]。第39页,共137页，2024年2月25日，星期天（3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数[图(c)]。第40页,共137页，2024年2月25日，星期天（4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对反向共线的单位集中力[图(d)]。第41页,共137页，2024年2月25日，星期天(5)若计算的位移是结构上某两个截面的相对角位移，则应在这两个截面上施加一对反向单位集中力偶[图(e)]。(e)第42页,共137页，2024年2月25日，星期天(6)若计算的是桁架中某两杆的相对角位移，则应在该两杆上施加两个方向相反的单位力偶[图(f)]。第43页,共137页，2024年2月25日，星期天

需要明确的是，虚拟状态中单位荷载的指向是可以任意假设的，若按式（a）计算出来的结果是正值，则表示实际位移的方向与虚拟荷载的方向相同，否则相反。第44页,共137页，2024年2月25日，星期天

若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的，没有支座位移的影响（即c=0），则式(a)可简化为8.2.4荷载作用下的位移计算公式

式中，微段的变形

ds、

ds、kds是由荷载引起。(b)第45页,共137页，2024年2月25日，星期天若用

FN、FS、M表示实际位移状态中微段上由荷载产生的轴力、剪力和弯矩，在线弹性范围内，变形与内力有如下关系：

式中：EA、GA、EI——杆件的拉压刚度、剪切刚度、弯曲刚度，K为剪力分布不均匀系数，其与截面形状有关。(c)第46页,共137页，2024年2月25日，星期天

将式（c）代入式（b），得(d)

式（d）为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。式中，、、表示在虚拟状态中由广义单位荷载引起的虚内力，这些虚内力和原结构由实际荷载引起的内力，它们都可以通过静力平衡条件求得。

第47页,共137页，2024年2月25日，星期天公式（d）综合考虑了轴向变形、剪切变形和弯曲变形对结构位移的影响。在实际应用中，则根据不同形式的结构特性，对不同形式的结构分别采用不同的简化计算公式。(1)对梁和刚架而言，弯曲变形是主要的变形，而轴向变形和剪切变形对结构位移的影响很小，可以忽略不计。所以式（d）简化为

（*）

第48页,共137页，2024年2月25日，星期天

(2)对于桁架，由于各杆件均只有轴向变形，且每一杆件的轴力和截面面积沿杆长不变，所以式（d）简化为

第49页,共137页，2024年2月25日，星期天(3)对于组合结构，梁式杆件主要承受弯矩，其变形主要是弯曲变形，可只考虑弯曲变形对位移的影响。而链杆只承受轴力，只有轴向变形，所以其位移计算公式简化为

第50页,共137页，2024年2月25日，星期天

(4)对于拱，当不考虑曲率的影响时，拱结构的位移可以近似的按式（*）来计算。通常情况下，只需考虑弯曲变形的影响，按式（*）计算，其结果已足够精确。仅在计算扁平拱的水平位移或者拱轴线与合理轴线接近时，才考虑轴向变形的影响，即

第51页,共137页，2024年2月25日，星期天需要说明的是，在上述位移计算公式中，都没有考虑杆件的曲率对变形的影响，这对直杆是正确的，而对曲杆则是近似的。但是，在常用的结构中，如拱结构、曲梁和有曲杆的刚架等，这些结构中构件的曲率对变形的影响都很小，可以略去不计。第52页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.1】求图（a）所示简支梁的中点C的竖向位移和截面B的转角。已知梁的弯曲刚度EI为常量。

(a)第53页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】1)求点C的竖向位移ΔCV。在点C沿竖向施加单位力=1，作为虚拟力状态如图（b）所示。(b)l/2l/2A第54页,共137页，2024年2月25日，星期天

分别建立虚设荷载和实际荷载作用下梁的弯矩方程。取点A为坐标原点，当0≤x≤l/2时，有l/2Al/2x第55页,共137页，2024年2月25日，星期天x第56页,共137页，2024年2月25日，星期天由于该梁C点左右对称，所以ΔCV只需计算一半，把结果乘2倍，即得（↓）

第57页,共137页，2024年2月25日，星期天2)求截面B的转角。在B端施加一单位力偶，作为虚拟力状态如图(c)所示。(c)

ACBl第58页,共137页，2024年2月25日，星期天分别建立虚设荷载和实际荷载作用下梁的弯矩方程。取A点为坐标原点，当0≤x≤l时，则和M的方程为

ACBlx第59页,共137页，2024年2月25日，星期天x第60页,共137页，2024年2月25日，星期天则

计算结果为负值，说明实际的转角

与所设单位力偶的方向相反，即是逆时针方向。()第61页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.2】求图（a）所示刚架上点C的水平位移ΔCH

。已知各杆的EI为常数。

(a)第62页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在C点沿水平方向施加单位力，作为虚拟力状态如图(b)所示。分别建立虚设荷载和实际荷载作用下刚架各杆的弯矩方程。AB杆

BC杆第63页,共137页，2024年2月25日，星期天则点C的水平位移为

计算结果为负值，表明实际位移方向与所设单位荷载的方向相反。（→）

第64页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.3】

求图（a）所示桁架结点C的竖向位移。已知各杆的弹性模量均为E=2.1×105MPa，截面面积A=12cm2。

(a)第65页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在点C沿竖向施加单位力，作为虚拟力状态如图(b)所示。计算虚拟力状态的杆件内力如图(b)所示。

(b)-5/6-5/6-4/32/32/3第66页,共137页，2024年2月25日，星期天

计算实际状态的杆件内力如图（c）所示。(c)第67页,共137页，2024年2月25日，星期天具体计算过程列表进行，见下表。由于桁架及荷载的对称性，计算总和时，在表中只计算了半个桁架。杆DE的长度只取一半。最后求位移时乘以2。

杆件

/kN

杆长l/mm

A/mm2

E/(kN／mm2)/mm

ACADDEDC2/3-5/6-4/35/660-75-600400025000.5×4000250012001200120012002.1×1022.1×1022.1×1022.1×1020.630.620.630∑=1.88mmΔCV

=2×1.88=3.76mm(↓)第68页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.4】如图所示为一等截面圆弧形曲杆，已知杆的I和A均为常数。求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴向变形对位移的影响ΔBV。忽略曲率的影响。

F第69页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】1)在B点加单位竖向荷载。分别计算在实际荷载和虚设单位荷载作用下的内力。取B点为坐标原点，在与OB成θ角的任意截面上，两种状态下的内力分别为(b)(a)第70页,共137页，2024年2月25日，星期天

实际荷载状态

M=FrsinθFS=FcosθFN=Fsinθ

虚设荷载状态

=Frsinθ=Fcosθ=Fsinθ2)计算位移ΔBV。位移公式为将ds=rdθ，代入位移公式。第71页,共137页，2024年2月25日，星期天

为比较，分别计算M、FN、FS引起的位移，并用、、表示。第72页,共137页，2024年2月25日，星期天

设杆的截面为矩形(K=1.2)，宽度为b，高度为h,并设G=0.4E，h/r=1/10，则第73页,共137页，2024年2月25日，星期天

计算结果表明，当截面高度h远小于半径r时，轴向变形和剪切变形对位移的影响很小，可以忽略不计。第74页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.5】组合结构如图（a）所示。其中CD、BD为二力杆，其拉压刚度为EA；AC为受弯杆件，其弯曲刚度为EI。在D点有集中荷载F作用。求D点的竖向位移△DV。

CDBAEIEAEAaaa(a)第75页,共137页，2024年2月25日，星期天(b)【解】在D点沿竖向施加单位力，作为虚拟力状态如图（b）所示。分别计算虚设荷载和实际荷载作用下链杆的轴力[图(b，c)]，并建立受弯杆的弯矩方程。CDBAEIEAEAaaa第76页,共137页，2024年2月25日，星期天(b)(c)1FBC

杆

AB

杆CDBAEIEAEAaaaCDBAEIEAEAaaaxx第77页,共137页，2024年2月25日，星期天求得D点的竖向位移为

第78页,共137页，2024年2月25日，星期天8.3图乘法

由上节知道，在计算由荷载作用引起的梁和刚架的位移时，需要建立弯矩方程和进行繁琐的积分运算，利用图乘法求位移，可以避免这些繁琐的计算。第79页,共137页，2024年2月25日，星期天

在计算由荷载作用引起的梁和刚架的位移时，需要计算积分。8.3.1图乘公式及适用条件

式中是两个弯矩方程的乘积。若在满足一定条件的情况下，能画出两种状态下的弯矩图，则上式可以转换为用弯矩图互乘的方法，即用图乘法代替积分运算，这样可使计算得到简化。现在对上面的积分式进行分析：第80页,共137页，2024年2月25日，星期天如果该杆截面的弯曲刚度EI为一常数，则

如图所示为直杆段AB的两个弯矩图，假设图为一直线图形，M图为任意图形。第81页,共137页，2024年2月25日，星期天

这里tanα为一常数，则有

由于图为一直线图形，所以

图中某一点的纵坐标为第82页,共137页，2024年2月25日，星期天

式中，dA表示M图的微面积（图中阴影线部分的面积）；积分表示M图的面积对于y轴的静矩，它等于M图的面积A乘以其形心C到y轴的距离xC，即

。所以第83页,共137页，2024年2月25日，星期天

设M图的形心C所对应的M图中的竖标为yC，由图有

第84页,共137页，2024年2月25日，星期天对于由多个弯曲刚度EI为常数的杆段组成的结构，用图乘法计算位移的公式为显然，图乘法是将积分运算问题简化为求图形的面积、形心和竖标的问题。第85页,共137页，2024年2月25日，星期天需要说明的是，用图乘法计算位移时，梁和刚架的杆件必须满足以下条件：（1）杆段的弯曲刚度

EI为常数。（2）杆段的轴线为直线。（3）各杆段的M图和图中至少有一个为直线图形。第86页,共137页，2024年2月25日，星期天对于等截面直杆，前两个条件自然满足。至于第三个条件，虽然在均布荷载的作用下M图的形状是曲线形状，但图却总是由直线段组成，只要分段考虑也可满足。于是，对于由等截面直杆段所构成的梁和刚架，在计算位移时均可应用图乘法。第87页,共137页，2024年2月25日，星期天应用图乘法时应注意：(1)在图乘前要先对图形进行分段处理，保证两个图形中至少有一个是直线图形。(2)A与yC是分别取自两个弯矩图，竖标yC必须取自直线图形。(3)

当A与yC在杆的同侧时，乘积AyC取正号；A与yC在杆的异侧时，乘积AyC取负号。第88页,共137页，2024年2月25日，星期天下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积及其形心位置。在应用图示抛物线图形的公式时，必须注意曲线在顶点处的切线应与基线平行，即在顶点处剪力为零。第89页,共137页，2024年2月25日，星期天第90页,共137页，2024年2月25日，星期天

在图乘运算中，经常会遇到一些不规则的复杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定，在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。8.3.2图乘技巧第91页,共137页，2024年2月25日，星期天（1）若两个图形都是直线，但都含有正、负两部分如图所示，可将其中一个图形分解为ABD和ABC两个三角形，分别与另一个图形图乘并求和。M图ACDBC1C2yC2yC1第92页,共137页，2024年2月25日，星期天（2）如果M图为梯形[如图所示]，可以把它分解为两个三角形，然后把它们分别与图相乘，最后再求和，即C1C2ldcyC1CabDBAM图式中：yC2第93页,共137页，2024年2月25日，星期天

（3）若M图是非标准抛物线图形时，可以把AB段的弯矩图分解为一个梯形和一个标准抛物线图形[如图所示]两部分，这段直杆的弯矩图与相应简支梁在两端弯矩MA、MB和均布荷载q作用下的弯矩图是一样的。ABABqaABCDdxdxaqABMBMA第94页,共137页，2024年2月25日，星期天

从上图可以看出，以C、D连线为基线的抛物线在形状上虽不同于水平基线的抛物线，但两者对应的弯矩图竖标处处相等且垂直于杆轴，因此两个抛物线图形的面积大小和形心位置是相等的，即（不能采用上图中的虚线CD长度）。必须指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图竖标的叠加。第95页,共137页，2024年2月25日，星期天

（4）如果杆件（或杆段）的两种弯矩图都不是直线图形，其中一个图形为折线形，应按折线分段的方法进行处理[如图所示]，然后分别进行图乘再求和。

另外，即使弯矩图是直线图形，但杆件为阶梯杆，在这种情况下，由于各杆段的弯曲刚度不同，所以也应分段图乘。第96页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.6】求图示简支梁中点C的竖向位移ΔCV。梁的EI为常数。

第97页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在简支梁中点C加单位竖向力，如图(c)所示。分别作荷载产生的弯矩图M图和单位力产生的弯矩图图，如图（b，c）所示。

C第98页,共137页，2024年2月25日，星期天

因M图是曲线，应以M图作为A

，而

图是由折线组成，应分两段图乘。但因图形对称，可计算一半再乘两倍。

所以第99页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.7】

求图示悬臂梁在B点的竖向位移ΔBV。梁的EI为常数。

第100页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在悬臂梁B点加竖向单位力，如图(c)所示。分别作荷载产生的弯矩图M图和单位力产生的弯矩图图，如图(b，c)所示。

lABql2第101页,共137页，2024年2月25日，星期天图乘时要注意，此时的M图的B点不是抛物线的顶点，因而面积和形心不能直接用公式。而是应将M图分解为一个上边受拉的三角形A1和一个下边受拉的抛物线图形A2。图形的面积和纵坐标计算如下：lABql2A1A2y1y2第102页,共137页，2024年2月25日，星期天

于是B点的竖向位移为lABql2A1A2y1y2第103页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.8】求图（a）所示外伸梁C点的竖向位移ΔCV。梁的EI为常数。

(a)第104页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在C点加竖向单位力，如图(c)所示。分别作荷载及单位力所产生的M图[图(b)]和图[图(c)]。

第105页,共137页，2024年2月25日，星期天

A1A2

图包括两段直线，所以，整个梁应分为AB和BC两段进行图乘。AB段的M图可以分解为一个在基线上边受拉的三角形A1和一个在基线下边受拉的标准二次抛物线图形A2。第106页,共137页，2024年2月25日，星期天BC段的M图则为一个标准二次抛物线图形A3。M图中各分面积与相应的图中的纵坐标分别计算如下：

于是C点的竖向位移为A1A2（↓）

yc3yc2yc1第107页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.9】求图（a）所示悬臂刚架梁中点D的竖向位移ΔDV。各杆的EI为常数。

F(a)第108页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】在梁中点D加竖向单位力[图(c)]。分别作荷载作用下的M图[图(b)]和单位力作用的图[图(c)]。

FlFlFl0.5l0.5l0.5l(c)(b)第109页,共137页，2024年2月25日，星期天在应用图乘法时，把单位力产生的图作为图形的面积，梁上的图面积作为A1，柱上的图面积作为A2[图(c)]。

FlFlFl0.5l0.5l0.5lA1A2y1y2(c)(b)第110页,共137页，2024年2月25日，星期天

于是D点的竖向位移为第111页,共137页，2024年2月25日，星期天8.4支座移动引起的位移计算

静定结构是无多余约束的几何不变体系，支座移动对静定结构不产生任何内力和变形，只产生刚体位移。如图所示，静定刚架由于地基的沉陷，使支座A发生了竖向位移Δ，整个刚架发生了如图中虚线所示的刚体位移。

第112页,共137页，2024年2月25日，星期天

因此，静定结构在支座移动时的位移计算，属于刚体的位移计算问题，位移计算公式可简化为

式中：——虚拟状态的支座反力；

c——实际状态的支座位移；

——虚拟状态下所有支座反力在实际状态的支座位移上所做的外力虚功之和。第113页,共137页，2024年2月25日，星期天在上式中，当虚拟状态的支座反力方向与实际支座位移的方向一致时乘积取正号，否则取负号。

第114页,共137页，2024年2月25日，星期天【例8.10】如图（a）所示结构，若A端发生水平移动a，竖向下沉b，转角

。求由此引起的点B的水平位移ΔBH和竖向位移ΔBV。

(a)第115页,共137页，2024年2月25日，星期天【解】1)求△BH。在B点加一水平单位力，如图（b）所示。由结构的整体平衡条件，计算支座反力。

（b）第116页,共137页，2024年2月25日，星期天

（←）

位移△BH为2)求ΔBV

。在B点加一竖向单位力，如图（c）所示。(c)第117页,共137页，2024年2月25日，星期天

由结构的整体平衡条件，计算支座反力。

位移△BV为（↓）

(c)第118页,共137页，2024年2月25日，星期天8.5互等定理

本节介绍线弹性体系的三个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，其余两个定理可由功的互等定理推导得到。这几个定理在计算位移和求解超静定结构时是很有用的，也是今后学习、研究其他有关内容的基础。第119页,共137页，2024年2月25日，星期天设同一结构分别受到两组外力F1和F2的作用，如图(a，b)所示的两种状态。

8.5.1功的互等定理（a）状态IAB12（b）状态IIAB12F1F2第120页,共137页，2024年2月25日，星期天状态Ⅰ中，在F1产生的内力用FN1、FS1、M1表示，F1产生的与F2相应的位移为

21。状态Ⅱ中，在F2产生的内力用FN2、FS2、M2表示，F2产生的与F2相应的位移为

12。（a）状态IΔ21AB12（b）状态IIΔ12AB12F1F2第121页,共137页，2024年2月25日，星期天若以We12表示状态Ⅰ的外力在状态Ⅱ的位移上所做的虚功，则根据虚功原理可写出虚功方程如下：反过来，若以We21表示状态Ⅱ的外力在状态Ⅰ的位移上所做的虚功，可写出虚功方程如下：(a)(b)第122页,共137页，2024年2月25日，星期天比较(a)、(b)，可知以上两式的右边完全相同，故有We12=We21

。或写为∑F1Δ12=∑F2Δ21上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。显然，功的互等定理研究的是同一结构的两种状态的虚功关系。第123页,共137页，2024年2月25日，星期天位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况，研究的是同一体系的两种状态，在两个作用点分别作用单位力时，在单位力的作用点沿单位力方向的位移之间的关系。8.5.2位移互等定理第124页,共137页，2024年2月25日，星期天

在如图所示的两种状态中，结构受到的荷载均为单位荷载，即都只受一个单位力F1=F2=1的作用。设用δ12表示由F2=1引起的与F1相应的位移，用δ21表示由F1=1引起的与F