人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5

(共30题)

一、选择题(共10题)

1.如果函数f(x)=1(m-2)x2+(n-8)x+l(m>0,n>0)在区间［工,2］上单调递减，那么mn

2L2」

的最大值为()

A.16B.18C.25D.以

2

2.证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎.小强买的股票A连续4个跌停(一个跌停：比前一天

收市价下跌10%),则至少需要几个涨停，才能不亏损(一个涨停：比前一天收市价上涨10%)

()

A.3B.4C.5D.6

3.函数y=匾(%2—3%+2)的单调递增区间是()

2

A.(一8,1)B.(2,+oo)C.(—00,3)D.(3,+8)

22

4.已知偶函数7(%)在区间［o,+8)上单调递增，则满足条件f(2%+l)</(5)的%的取值范围

是()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,2)D.卜3,2]

5.设b>a>0,cGR,则下列不等式中不一定成立的是()

A.B.工一c>L-c

ab

C.a+2>ciD.ac2<bc2

b+2b

6.已知a为第二象限角,且sin(n+a)=—：,贝Utan2a=()

A.4B.赵C.—有D._8

5773

f2X>2

7.已知函数/(%)=/一，若关于x的方程/(x)=k有三个不同的实根，则数k的

((%-1)2,X<2

取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(1,3)

8.下列关于函数y=cos（%+：）+sin（；—x）的说法正确的是（）

A.最大值为1,图象关于点q,o）对称

B.最大值为V3,图象关于点（：0）对称

C.最大值为1,图象关于直线%=-对称

6

D.最大值为V3,图象关于直线x=三对称

6

9.已知贝，上一寸<；"是9<1"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

10.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且/(%)

__________rk(x+2),0<%<1

是奇函数.当%G(0,2］时，/(%)=V1-(x-1)2,g(x)=j_i1<x<2f其中卜>

0.若在区间(0,9］上，函数h(x)=f(x)—g(x)有8个不同的零点，贝ljk的取值范围是

()

A.G，筠B.［，筠C.(0,1］D.(0,i)

34L3433

二、填空题（共10题）

11.关于x的方程27nx2—2x—3m—2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则实数m的

取值范围是^一.

12.条件48,若4=8,则8的____条件是A（选填"充分"、"必要"或"充要"）.

13.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,贝ij1+

a

1的最小值为一.

b

14.设集合A=\x\y=lg(%2—4%+5)｝，贝!JA=

2

15.若函数/(%)=”的反函数的图象经过点(1J)，则a=—.

24

16.设/(%)与g(%)是定义在同一区间［a,b］上的两个函数，若函数h(%)=/(%)-g(%)在［a,b］

上有两个不同的零点，则称/(%)与g(%)在［a,b］上是"关联函数〃.若/(%)=xx3+m与

3

0(%)=1％2+2%在［0,3］上是“关联函数〃，则实数m的取值范围是____.

2

17.集合A={(x,y)ly=a\x\,%eR},B={(x,y)ly=%+a,xeR),已知集合Ac\B中有且仅有

一个元素，则常数a的取值范围是—.

18.函数/(%)=logcos(-1%+豆)的单调递增区间为.

34

2

19.若关于%的方程2|x-=x有两个正实数根，则实数k的取值范围为一.

20.设二次函数f(%)=(2m+1)x2+nx-m-2(.m,neR且m*-1)在［2,3］上至少有一个零

2

点，则m2+n2的最小值为____.

三、解答题(共10题)

21.已知/(x)=x\x-a\+b,xGR.

(1)当a=1,b=1时，若f(x)=5,求x的值；

4

(2)若b<0,且对任何x6(0,1］,不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围.

22.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的

矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m,

三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左，右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙

保留3m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为

S(m2).

3

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值.

23.已知山心=2,求下列各式的值：

tanal

(1)2sina3ccsa

4sina9cosa

(2)2sin2a3cos2a

4sin2a9cos2a

(3)4sin?a3sinacosa5cos2a.

24.已知函数/(%)=x\x2|.

(1)画出该函数的图象；

(2)设a>2,求f(x)在［0,a］上的最大值.

25.已知函数f(x)满足：对任意x,yGR,都有fix+y)=/(x)-/(y)/(%)f(y)+2成立，且

x>0时，f(x)>2.

(1)求/(0)的值，并证明：当工<0时，1</(x)<2；

(2)猜测/(%)的单调性并加以证明.

(3)若函数g。)=|/(x)k|在g0)上递减，求实数k的取值范围.

26.子集

(1)对于两个集合A和B,如果集合A中___都属于集合B(若aed,贝!］aGB),那么集

合A叫做集合B的子集，记作或一，读作"一"或"一

可用文氏图表示为

(2)子集的性质：

@A£A,即任何一个集合是它本身的子集；

②0UA,即空集是任何集合的子集.

问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？

4

BA

27.设全集U=R,A={x|l<%<3},B={久12a<%<a+3}.

(1)当a=l时，求(C/)n①

(2)若(C/l)nB=B，求实数a的取值范围.

28.已知函数f(x)=cos(2x--)+2sin(x-匹)sin(%+.

344

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2)求函数f(X)在区间［一工产］上的值域.

L122J

29.已知集合A={%|-4<%<6},B={x|x2-4ax+3a2=0}.

(1)若AC8=0,求实数a的取值范围；

(2)若/UB=4求实数a的取值范围.

30.已知f(x)=sin2工+V3sin工cos(n+^).

222

⑴求f(X)的单增区间和对称轴方程.

(2)若0<%<匹，/(%)=——,求sin(2x+-).

2103

5

答案

一、选择题(共10题)

1.【答案】B

【解析】当巾=2时，/(x)=(n-8)x+1,要使其在区间9,2］上单调递减，则n-8<0=>

n<8,于是mn<16,贝!Jmn无最大值.

当mG(0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间上单调递减，需一修《1，

LL2」m—22

即2几+m418,又n之0,贝!］mn<m(9—y)=—+9m.

而g(m)=-lm2+9m在(0,2)上为增函数，

所以me［o,2)时，g(m)<g⑵=16,故me［o,2)时，mn无最大值.

当zn>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间［1,2］上单调递减，需—022,即

1-2」m-2

2皿+法12,而2皿+心2所L所以mn<18,当且仅当图累="，即(二，时,

取“=〃，此时满足m>2.

故(mn)=18.

\7max

【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大(小)值、函数的单调性

2.【答案】C

【解析】设小强买的股票A时买入价格为a,连续4个跌停后价格为a(l-10%)4=0.6561a,

设至少需要x个涨停，才能不亏损，则

0.6561a(l+10%)久>a,

整理得1.V>1.5242,

因为1.15=1.6105,1.14=1.4641.

所以至少需要5个涨停，才能不亏损.

【知识点】函数模型的综合应用

3.【答案】A

【解析】由题可得蜡—3%+2>0,解得x<1或工>2，

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得：

函数y=log式%2-3%+2)的单调递增区间为：(—8,1).

2

【知识点】函数的单调性、对数函数及其性质

4.【答案】A

【解析】根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间［o,+oo)上单调递增，

f(2x+1)</⑸=|2x+11<5,即一5<2x+1<5,

解可得：一3<%<2,即％的取值范围为(-3,2).

【知识点】函数的单调性

5.【答案】D

【解析】因为y=以在(0,+8)上是增函数，

所以.<冷

因为y=1-C在(0,+°°)上是减函数，

X

所以工一。>工一C;

ab

因为如2-&=这4>0,

b+2b(b+2)b

所以S±l>£；

b+2b

当c=0时，ac2=bc2,

所以D不成立.故选D.

【知识点】不等式的性质

6.【答案】B

【解析】由sin(n4-a)=-得sina=

55

又a为第二象限角，

所以cosa=—与贝ljtana=—仝，

53

所以tan2a=/3二=2.

l-tan2a7

故选B.

【知识点】二倍角公式

7.【答案】A

【解析】作出函数f(x)的图象和直线y=k,如图所示，

当ke(0,1),函数f(x)的图象和直线y=k有三个交点，所以ke(0,1).

7

【知识点】函数的零点分布

8.【答案】B

y=—sinx+cosx--sinx

22

【解析】

所以函数的最大值为V3.令x--=ku,kEZ,得1=匹+的1,ZcEZ,取k=0,得函数图象

66

关于点(10)对称.

令％-n=n+kir,ZcGZ,得％=5+Mi,fcGZ,故函数图象不关于直线％=心对称.

6236

【知识点】Asin(3X+。)形式函数的性质

9.【答案】A

【解析】上一』<2=-2v%_工<2=_工v%v1能推出X<1,反之，不能推出，故

333333

"\x-1|<2"是"x<1"的充分非必要条件.

33

故选A.

【知识点】充分条件与必要条件

10.【答案】B

【解析】作出两函数的图象，如图所示：

由图可知，函数y=f(x)和y=g(x)=-^在(0,9］上的图象有2个不同的交点，

故函数y=f(x^和y=g(x^=k(x+2^在％W(0,1］上的图象有2个不同的交点，才可以满

8

足题意.所以，圆心(1,0)到直线kx-y+2k=0的距离为d=-»<1,解得o<k(五,

V/C2+14

因为两点(—2,0),(1,1)连线斜率为，所以，1<fc<^.

334

丁hj-I~T-J—7~~»~~\―~T~~

【知识点】函数的零点分布

二、填空题(共10题)

11.【答案】zn〉0或租<一4

【解析】设f(x)=2mx2-2x-3m-2,方程2mx2-2x-3m-2=0的两个实根，一个小于

L人If/口m>0,八THV0,

1，另一个大于1的充要条件是八1)<0或f(l)〉0,

解得m>0或m<—4.

【知识点】函数的零点分布

12.【答案】充分

【知识点】充分条件与必要条件

13.【答案】夜+&

2

【知识点】均值不等式的应用、直线被圆截得的弦长

14.【答案】R或(-co,+oo)

【知识点】对数函数及其性质

15.【答案】1

2

【解析】函数f(X)=xa的反函数为f(X)=X：,f(X)=X：经过点(工,工)，得(工)：=工，解得

2424

<1=1.

2

【知识点】幕函数及其性质

16.【答案】民*)

23

9

【解析】因为/(%)=工X3+M与g(x)=lX2+2x在［0,3］上是“关联函数",

32

由定义可得，可把问题转化为m=-ix3+l%2+2有两个零点;

32

即y=jn与fc(x)=-ix3+lX2+2在［0,3］上有两个交点;

32

因为fc*(x)=—x2+%+2=—(%+1)(%—2)；

所以k(x)在［0,2］上递增，在［2,3］上递减；

且fc(0)=0,fc(2)=珥fc(3)=A

32

故实数m的取值范围是：艮玛.

23

10

3

-

2

【知识点】函数的零点分布

17.【答案】［一1,1］

【解析】因为集合A={(%,y)ly=。1%1,%GR},8={(%,y)|y=%+a,%ER},集合/nB中有

且仅有一个元素，

所以a|%|=%+a有1个解，

若％之0,ax=x+a,x=

a-l

若％V0,—ax=%+a,x=———,

a+l

q之o,qvo,a=L_>o

由已知得｛=1a>0或｛t1a<0或｛_aV0或｛«-1—'解得一1<。<1.

二<ua=-lf

a+1a+1a+l'

所以实数a的取值范围是［-1,1］.

【知识点】交、并、补集运算

10

18.【答案】(6k11+豌，6M1+空)，/CGZ

44

【解析】因为对数的真数大于零，

所以cos(--x+-)>0=2kn-^<一2x+匹<2kn+匹，/cGZ,

342342

解之得函数的定义域为：(6Mr-红,6kn+蚂，/CGZ,

44

令t=cos(-1%+口)=cos(Xx-1),

3434

因为0<工<1,

2

所以t关于％的单调减区间是函数/(%)=logcos(-1%+H)的单调递增区间，

234

由2kli-2ku+n,kGZ,得XE(6/CIT+舐，6kn+皿),/cGZ,

3444

再结合函数的定义域，得久E(6Mr+现,6kn+㈣，是原函数的增区间.

44

【知识点】对数函数及其性质、余弦函数的性质

19.【答案】k>0

【知识点】函数的零点分布

20.【答案】仝

53

【解析】①一个零点，此时需满足/(2)/(3)<0,即(7m+2n+2)(17m+3n+7)<0,在平

面中表示的区域如图所示，此时(M2+九2)=(-=2=)=生；

null=d2C/->//71-rZ/i'rZ—uV72+2253

②两个零点，若开口向下，2TH+1<0,即m2>止匕时m2+n2>i>不是最小值；若开

4453

口向上，2租+1>0,需满足4>0且/(2)>0且/(3)>0且2V----a一<3,即至少要

2(2m+l)

满足—76(黑+27+1：+)2£>/0<—4(2771+1),画图可知这两部分没有交集，该情况不存在•

11

【知识点】函数的零点分布

三、解答题(共10题)

21.【答案】

(1)山2或工.

22

(2)当b<—1时，a的取值范围是(1b,l—b)；

当一1Vb<2&-3时，a的取值范围是(182口).

【知识点】函数的相关概念、恒成立问题

22.【答案】

(1)由题设，得

S=(%-8)(驷-2)=-2%-逊916,x£(8450).

XX

(2)因为8<x<450,所以2x次之2^2xx胸=240,

XX

当且仅当工=60时等号成立，

从而S<676,

所以：当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.

【知识点】函数的最大(小)值、均值不等式的应用、建立函数表达式模型

23.【答案】

(1)由=2,得tana=2.

tana-1

注意到分式的分子和分母均是关于sina,cosa的一次式，可将分子、分母同时除以cosa(因为

cosaW0),然后代入tana=2.

2sina-3cosa_2tana-3_2x2-3=_1

4sina-9cosa4tana-94x2-9

⑵注意到分式的分子和分母均是关于sina,cosa的二次式，将分子、分母同时除以cos2a

(因为cos2aW0),然后代入tana=2.

12

2sin2a3cos2a_2tan2a3__2x43_5

4sin2a9cos2a4tan2a94x497

⑶先将原式看成分母为1的分式，再进行变形，然后代入tana=2.

4si匹a3sinacosaSco^a

4sin2a3sinacosaSccs2a

sin2acos2a

4tan2a3tana5

tan2al

4x43x25

41

1.

【知识点】同角三角函数的基本关系

24.【答案】

(1)因为fM=x\x2|=x；蓑；

结合二次函数的图象可作出该函数的图象如图：

(2)当a>2时，

因为xe［0,2］的最大值为/(I)=21=1,x6［2,a］时，f(x)单调递增，最大值为/(a).

令/(a)f(l)=0,则a=1V2.

所以当2<a<l&时，f(a)</(l),此时f(x)在［0,a］上，/(x)max=/(I)=1.

当a>l夜时，/(a)>f(l),此时f(x)在［0,a］上，/(%)max=/(a)=a22a.

【知识点】函数的最大(小)值、函数图象

25.【答案】

(1)因为f(0)=f(0)"(0)/(0)/(O)2,

所以尸(0)3/(0)2=0,f(0)=2或f(O)=l.

若/(O)=1,则

/⑴=/(I0)

=/⑴"(0)f(l)f(0)2

=1.

与已知条件x>0时，/(x)>2相矛盾，

所以/(O)=2.

设%V0,则无>0,那么f(x)>2.又

2=/(O)

=f(xx)

=f(x),f(x)f(x)f(x)2.

二匚l、l1/一、f(x工=1—3---.

f(x)1f(x)1

因为f(x)>2,所以。<--—<1，从而1<f(x)<2.

f(x)1

13

(2)函数f(x)在R上是增函数.设x1<x2,贝l]x2>0,所以f(x2>2,

=f%—%+4)

一=f(4--f(4-4)-/(\)+2

=f(q-\)[/(\)-1]-/(%j+2.

因为由(1)可知对任意x6R,f(x)>1.

所以/(%)-1>0,又f(x2-xi)>2,

所以/(x2-4)•[f(%)-1]>2fop-2,/(x2-4)-[/(xp-1]-/(%)+2>/'(%),即

f(>2)>f(xp.

所以函数f(x)在R上是增函数.

⑶因为由(2)知函数f(x)在R上是增函数，

所以函数/(x)y=/(%)-k在R上也是增函数，若函数g(x)=|f(x)-k.|在(-oo,0)上递减,

贝!]xG(—co,0)时，5(x)=1/(x)—k\=k-/(%)»即久€(—8,0)时，/(%)-k<0.

因为x6(-oo,0)时，f(x)</(0)=2,所以k22.

【知识点】函数的单调性、抽象函数

26.【答案】(1)任何一个元素；AQB-,B2A；A包含于B；B包含A

(2)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由无C4能推出XEB.

例如{0,1}C[-1,0,1},则由0£[0,1}能推出0e(-1,0,1).

【知识点】包含关系、子集与真子集

27.【答案】

(1)当a=1时，B={x\2<x<4},CVA={x\x<1或%>3],

故={x|3<x<4].

(2)因为(C"A)CB=B,

所以B项QUA.

当8=0时，则2a2a+3,解得a23,B£C/4，符合题意;

、“c~qn.r<2aVa+3,2a<a+3,

当840时，则Q+3W1或Gra1,

解得aW—2或'Wa<3.

2

综上，实数a的取值范围是{a|a三一2或(123}.

2

【知识点】交、并、补集运算

28.【答案】

14

因为f(%)=COS(2x--)+2sin(%-三)sin(%+匹)

344

=1cos2x+近sin2x+(sin%-cos%)•(sinx+cosx)