数学文科第3部分-导数及其应用(系统复习-共9部分)

选修1-1第三章导数及其应用导数〔导函数的简称〕的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，那么函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，那么称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：=1\*GB3①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.=2\*GB3②以知函数定义域为，的定义域为，那么与关系为.2.函数在点处连续与点处可导的关系：=1\*GB2⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，那么相当于.于是=2\*GB2⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.注：=1\*GB3①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.=2\*GB3②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4.求导数的四那么运算法那么：〔为常数〕注：=1\*GB3①必须是可导函数.=2\*GB3②假设两个函数可导，那么它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，，那么在处均不可导，但它们和在处均可导.5.复合函数的求导法那么：或复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：=1\*GB2⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，那么为增函数；如果＜0，那么为减函数.=2\*GB2⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，那么为常数.注：=1\*GB3①>0是f〔x〕递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有>0，有一个点例外即x=0时f〔x〕=0，同样<0是f〔x〕递减的充分非必要条件.=2\*GB3②一般地，如果在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正〔或负〕，那么f〔x〕在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的.7.极值的判别方法：〔极值是在附近所有的点，都有＜，那么是函数的极大值，极小值同理〕当函数在点处连续时，=1\*GB3①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；=2\*GB3②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0=1\*GB3①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点=2\*GB3②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕.注=1\*GB3①：假设点是可导函数的极值点，那么=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.=2\*GB3②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比拟，最值是在整体区间上对函数值进行比拟.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：=1\*ROMANI.〔为常数〕〔〕=2\*ROMANII.=3\*ROMANIII.求导的常见方法：=1\*GB3①常用结论：.=2\*GB3②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.=3\*GB3③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得一．导数定义的应用例1假设，那么等于〔〕A．B．C．D．以上都不是分析：此题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于，应选A例2设函数在点处可导，试求以下各极限的值．1．；2．3．假设，那么等于〔〕A．－1B．－2C．－1D．分析：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不管选择哪种形式，也必须选择相对应的形式．利用函数在点处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．解：1．原式＝2．原式＝3．〔含〕，∴应选A．说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．例31．求函数在处的导数；2．求函数〔a、b为常数〕的导数．分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的根本方法，确定函数在处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．解：1．解法一〔导数定义法〕：，解法二〔导函数的函数值法〕：，∴2．二求曲线方程的斜率和方程例曲线上一点，用斜率定义求：〔1〕点A的切线的斜率〔2〕点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率，即求解：〔1〕〔2〕切线方程为即说明：上述求导方法也是用定义求运动物体在时刻处的瞬时速度的步骤．三证明函数的在一点处连续例证明：假设函数在点处可导，那么函数在点处连续．分析：从和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式〔变为导数定义形式〕的转化．解：证法一：设，那么当时，，∴函数在点处连续．证法二：∵函数在点处可导，∴在点处有∴∴函数在点处连续．四常用函数的导数1.利用公式求函数的导数例求以下函数的导数：1．；2．；3．．分析：解：1．2．3．2.根据斜率求对应曲线的切线方程例求曲线的斜率等于4的切线方程．分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．解：设切点为，那么，∴，即，∴当时，，故切点P的坐标为〔1，1〕．∴所求切线方程为即3.求直线方程例求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程．分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率解：，∴曲线在点处的切线斜率是∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，∴所求的直线方程为，即．4.求常函数的导数例设，那么等于〔〕A．B．C．0D．以上都不是解：因为是常数，常数的导数为零，所以选C．五复合函数的导数1.求分段函数的导数例求函数的导数解：当时，当时，说明：如果一个函数在点连续，那么有，但如果我们不能断定的导数是否在点连续，不能认为．2.指出函数的复合关系例指出以下函数的复合关系．1．；2．；3．；4．。解：函数的复合关系分别是1．；2．；3．；4．说明：分不清复合函数的复合关系，无视最外层和中间变量都是根本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的根本函数，也可以是关于自变量的根本函数经过有限次的四那么运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．3.求函数的导数例求以下函数的导数．1．；2．；3．；4．。解：1．解法一：设，那么解法二：2．解法一：设，那么解法二：3．解法一：设，那么解法二：4．解法一：设，那么解法二：4.求复合函数的导数例求以下函数的导数〔其中是可导函数〕1．；2．解：1．解法一：设，那么解法二：2．解法一：设，那么解法二：六和、差、积、商的导数1.直接利用导数的运算法那么求导例求以下函数的导数：1．；2．3．；4．解：1．2．3．解法一：解法二：，∴4．解法一：解法二：，2.化简函数解析式在求解例求以下函数的导数．；解：∴3.根据点和切线确定抛物线的系数例抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数a、b、c的值．解：∵曲线过点，∴①，∴∴②又曲线过点，∴③．联立解①、②、③得七函数的单调性1.利用导数求函数的单调性例讨论以下函数的单调性：1．〔且〕；1．函数定义域为R．当时，∴函数在上是增函数．当时，∴函数在上是减函数．2．〔且〕；2．函数的定义域是或①假设，那么当时，，∴，∴函数在上是增函数；当时，，∴函数在上是减函数②假设，那么当时，，∴函数在上是减函数；当时，，∴函数在上是增函数3．．3．函数是奇函数，只需讨论函数在〔0，1〕上的单调性当时，假设，那么，函数在〔0，1〕上是减函数；假设，那么，函数在〔0，1〕上是增函数．又函数是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当时，函数在〔－1，1〕上是减函数，当时，函数在〔－1，1〕上是增函数．2.求解析式并根据单调性确定参数(较好较难)例，且1．设，求的解析式；2．设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在〔－1，0〕内是增函数．解：1．由题意得，，∴∴2．．假设满足条件的存在，那么∵函数在内是减函数，∴当时，，即对于恒成立．∴∴，解得．又函数在〔－1，0〕上是增函数，∴当时，即对于恒成立，∴∴，解得．故当时，在上是减函数，在〔－1，0〕上是增函数，即满足条件的存在．3.利用导数比拟大小例a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：．解：证法一：，∴要证，只要证，设，那么．，∴，且，∴∴函数在上是增函数．∴，即，∴证法二：要证，只要证，即证，设，那么，∴函数在上是减函数．又，即4.判断函数在给定区间上的单调性例函数在区间上是〔〕A．增函数，且B．减函数，且C．增函数，且D．减函数，且解：解法一：令，且，那么，排除A、B．由复合函数的性质可知，u在上为减函数．又亦为减函数，故在上为增函数，排除D，选C．解法二：利用导数法〔〕，故y在上是增函数．由解法一知．所以选C．八函数的极值1.利用导数求函数的极值例求以下函数的极值：1．；1函数定义域为R．2令，得．3(1)当或时，，∴函数在和上是增函数；(2)当时，，∴函数在〔－2，2〕上是减函数．就∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．；2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔0，2〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．3．3．函数的定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔－1，1〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值2.根据函数的极值确定参数的值〔较难〕例在时取得极值，且．1．试求常数a、b、c的值；2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：1．解法一：．是函数的极值点，∴是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又，∴，〔3〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕解得．解法二：由得，〔1〕〔2〕又，∴，〔3〕解〔1〕、〔2〕、〔3〕得．2．，∴当或时，，当时，∴函数在和上是增函数，在〔－1，1〕上是减函数．∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．九函数的最值1.根据条件确定函数的参数是否存在例函数，是否存在实数a、b、c，使同时满足以下三个条件：〔1〕定义域为R的奇函数；〔2〕在上是增函数；〔3〕最大值是1．假设存在，求出a、b、c；假设不存在，说明理由．分析：此题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a、b、c存在，然后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值．解：是奇函数又，即，∴．∴或，但时，，不合题意；故．这时在上是增函数，且最大值是1．设在上是增函数，且最大值是3．，当时，故；又当时，；当时，；故，又当时，，当时，．所以在是增函数，在〔－1，1〕上是减函数．又时，时最大值为3．∴经验证：时，符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，即2.供水站建在何处使水管费最少例有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站分析：根据题设条件作出图形，分析各条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适中选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．解：解法一：根据题