天津市近几年高考数学(文科)试卷知识点总结

天津近几年高考数学（文科）知识点分类及分布

一\选择与填空

1.复数

〔选择题或填空题5分，简单，占3.3虬）

（2023文），是虚数单位，那么二

2-i

A1+2zB—1—2zC1—2zD—1+2z

复数言

(2023文)i是虚数单位,

(A)l+2i(B)2+4i(C)-l-2i(D)2-i

（2023文），是虚数单位，复数匕①=（）

1-z

A2—zB2+zC.—1—2,D—1+2i

5+3z

（2023文）i是虚数单位，复数二一二

4-i

（A）1-i山）-1+i（C）1+i（D）-1-i

（2023文）9.，是虚数单位.复数（3+1）（1—2/）二.

（2023文）⑴，是虚数单位，复数2立=［）

3+4z

।.方1731.1725.

A.1-IB.-1+zC.------1------1D.-------1------1

252577

（2023文）9.i是虚数单位，计算一的结果为.

2+i

（2023文）（9），是虚数单位，复数z满足（l+i）z=2,那么z的实部为.

2.线性规划〔16年开始考大题〕

x+y>3

（2023文）2.设变量x,y满足约束条件<x-1,那么目标函数z=2x+y的最小值为

2x-y<3

A6B7C8D23

x+y<3,

（2023文）（2）设变量x,y满足约束条件（x-1,那么目标函数z=4x+2y的最大值为

y>t

（A）12（B）10（C）8（D）2

X>1,

（2023文）2.设变量x,y满足约束条件（x+y-4K0,那么目标函数z=3x-y的最大值为

x-3y+4<0,

4

A.-4B.0C.—D.4

3

2x+y-2>Q

（2023文）⑵设变量x,y满足约束条件（x-2y+420,那么目标函数z=3x-2y的最小值为

x-l<0

(A)-5⑻-4(C)-2(D)3

3x+y-6>0,

(2023文)2.设变量x,y满足约束条件(x—y—240,那么目标函数z=y—2x的最小值为

7-3<0,

(A)-7[B)-4(C)11D)2

x+y-2>0,

（2023文）12）设变量满足约束条件y-2V0,那么目标函数z=x+2y的最小值为〔

y>l.

A.2B,3C,4D.5

1X-2?0

（2023文）2.设变量x,y满足约束条件Jx-2y?0，那么目标函数z=3x+y的最大值为（

fx+2y-8?0

（A）7（B）8（C）9（D）14

3.程序框图

选择题5分，简单，占3.3%o

（2023年天津文）6.阅读右面；：始的程序框图，那么输出的S=

20C30D55

11年io年

12年

(2023文)(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序，那么输出s的值为

(A)-l(B)0(C)l(D)3

(2023文)3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序，假设输入龙的值为-4,那么输出y的值为

A.,0.5B.1C.2D.4

(2023文)3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S的值为

[A)81B)18[C)26(D)80

(2023文〕3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出"的值为

(A)7(B)6(C)5(D)4

(2023文)(11)阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为.

(2023文)3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i的值为()

(A)2(B)3(C)4(D)5

(2023文)[11)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S的值

为.

4.对数、指数比拟大小

(2023文)5.设a=log[21=k)g]3,C=(』)03,那么

352

Aa<b<cBa<c<bCb<c<aDb<a<c

25

(2023文)(6)^a=log54,b=(log53),c=log4,则

(A)a<c<b(B))b<c<a(C))a<b<c(D))b<a<c

(2023文)5.a=log23.6,b=log43.2,c=k)g43.6那么

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

122

(2023文)4.a=2,Z?=(1)^,c=21og52,那么a,b,c的大小关系为

(A)c<b<a(B)c<a<b

(C)b<a<c(D)b<c<a

(2023文)4.设a=log2匹b=logi匹。二万一之,那么()

2

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

(2023文)12.a>0,b>0,ab=8,那么当。的值为时log2(2b)取得最大直

5.集合与逻辑

(2023文)13)设xeR,那么"九=1"是"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2023文)

(13)设全集U=A3={xeN]lgx<l},假设A(C„B)={m|m=2n+1,H=0,1,2,3,4},那么集合

B—___________

（2023文）（5）以下命题中，真命题是

(A)mmeR,使函数f(x)=x2+mx(xeR)是偶函数

⑻mmeR,使函数f(x)=x2+mx(xeR)是奇函数

(C)VmeR,使函数f(x)=x2+mx(xeR)都是偶函数

0))\/1116氏使函数£(x)=x2+mx(xeR)都是奇函数

(2023文)(7)设集合A={x||x-a|<l,xeR},B={x|l<x<5,xe7?}.若AcB=0,那么实数a的取值

范围是

(A)|a|0<a<6}(B){a|a<2,或a>4}

(C)[a\a<0,或a>6}(D){a\2<a<4}

（2023文）（4）设集合A={无eR|x-2>0},5={xeR|x<0},C={xeR|x（x—2）>o},那么

“xwA3”是"九6。”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2023文）（9）集合A={xeR||x—1|<2},Z为整数集，那么集合AcZ中所有元素的和等于

（2023文）（5）设xeR,那么"x>!"是“2x2+x；>0"的

2

A充分而不必要条件B必要而不充分条件

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

〔2023文〕（9）集合A=_21V5}中最小整数位:

〔2023文〕(11)集合A={x|xe周目<31，集合3=R(x-7〃)(x-2)<C)},且AcB(-L〃)，

那么m=,n=.

〔2023文〕1.集合A={xeH||x|<2},B={xe7?|x<l},那么AB=

1A)(-oo,2]⑻[1,2]©[-2,2]M[-2,1]

〔2023文〕4.设a,beR,那么"（。一6）/<。"是"a<b"的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2023文）3.命题p:Vx>0,总有（x+1）">1,则可为U

0x

A.3x0<0,使得(与+De'<1B.3x0>0,使得(%+l)e°<1

xx

C.3x0〉0,总有(x0+l)e°<1D.Bx0<0,总有(x0+l)e°<1

(2023文)1.全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={2,3,5},集合8={1,3,4,6},那么集合人[

(A){3}(B){2,5}(C){1,4,6}(D){2,3,5}

(2023文)4.设xiR,那么是的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(2023文)(1)集合A={1,2,3},3={y|y=2x—l,xeA},那么A8=〔)

[A){1,3}⑻{1,2}(C){2,3}2){1,2,3}

（2023文）［5）设x>0,y^R,那么"x>y"是的〔

1A）充要条件［B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

6.三视图

选择题5分，简单，占3.3虬

（2023文）12.如图是一个几何体的三视图，假设它的体积是36，那么a=.

（2023文）（12）一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为。

（2023文）10.一个几何体的三视图如下图（单位：m）,那么该几何体的体积为m3

（2023文）（10）一个几何体的三视图如下图［单位：m）,那么该几何体的体积加\

（2023文）（10）一个几何体的三视图如下图［单位：m）,那么该几何体的体积为m3.

（2023文）10.一个几何体的三视图如下图［单位：m），那么该几何体

的体积为m，.

12023文）13）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得

到的几何体的正视图与俯视图如下图，那么该几何体的侧（左）视

图为（）

7.平面向量

（2023文）15.假设等边AABC的边长为2百，平面内一点M满足

俯视图

->1f2f——

CM=%CB+5c4,那么MA・MB=

(2023文)[9)如图，在AABC中，AD±AB,BC=y/3BD,|AD|=I,那么AC-AD=

(A)2G(B)是(C)显(D)73

23

(2023文)14.直角梯形ABCD中，

A£>〃BC,NAQC=90°,AD=2,6C=1,P是腰。C上的动点，那

么\PA+3PB\的最小值为

(2023文)在^ABC中，/A=90°,AB=1,设点P,Q满足AP=ZIM,AQ=(1-^)AC,2eR。假设B。•CP=-2,

那么”

124

[A)-(B)-C)-(D)2

333

(2023文)12.在平行四边形ABC。中,AO=1,N8AD=60°,E为CD的中

点.假设AC2E=1,那么AB的长为.

(2023文)13.菱形A3CD的边长为2,ZBAD=120°,点E,尸分别在边8C、DC±,

BC=3BE,。。=2。斤.假设4£­4£=1,那么彳的值为,

(2023文〕13.在等腰梯形ABCD中,ABOC,=2,=1,NABC=60,点E和点F分别在线段BC

2.1

和CD上，且BE=-BC,DF=-DC,那么AE•AF的值为.

36

(2023文)(7)AABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边的中点，连接DE并延长到点

F,使得DE=2EF,那么A尸的值为〔)

1A)--(B)-[C)-(D)—

8848

8.直线与圆的方程

(2023文)14.假设圆/+y2=4与圆Y+V+z分一6=0(。〉0)的公共弦长为2石，那么

a=.

(2023文)[14)圆C的圆心是直线x-y+l=O与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。那么圆C的方程

为。

(2023文)(12)设机,“eR,假设直线+-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于B,且I与圆

f+y2=4相交所得弦的长为2,0为坐标原点，那么AAOB面积的最小值为J

(2023文)5.过点P(2,2)的直线与圆0-1)2+丁=5相切，且与直线以-y+1=0垂直，那么”

(A)一3(B)l(C)2(D):

22

（2023文）（12）圆C的圆心在x轴的正半轴上，点”（0,君）在圆C上，

且圆心到直线2x-y=0的距离为警，那么圆C的方程为

9.圆的几何性质第（6）的图

填空题5分，简单，占3.3虬

（2023文）11.如图，AA］与3耳相交与点0,45〃4用且ABugag,假设AAQB得外接圆直径为1,

那么AA］。？的外接圆直径为.

（2023年图）（2023年图）

（2023文）［11）如图，四边形ABCD是圆。的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。假设PB=1,PD=3,

那么空的值为。

AD

（2023文）13.如图圆中两条弦A3与相交于点P,E是A3延长线上一点，且

.=、/万,公/：F5:BE=4:2:1.假设CE与圆相切，那么CE的长为

（2023文）（13）如图，A3和AC是圆的两条弦，过点3作圆的切线与AC的延长线相交于。.过点。作

BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

3A的长

F,AF=3,EB=1,ER=2,那么线段

2

为:

（2023年图）【2023年图）［2023年图）BC

（2023文）13.如图，在圆内接梯形ABCD中，

AB//DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于D点E.假设

AB=AD=5,BE=4,那么弦BD的长为.

（2023文）7.如图,AABC是圆的内接三角行,0/A4C的平分线

卜

交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下，给出以下四个

结论：①BD平分NCBb；®FB2=FDFA；③AECE=BE-DE；④AF-BD=那么所有

正确结论的序号是〔）

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

（2023文）6.如图，在圆。中,是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N,假设CM=2,MD=4,CN=3,

那么线段NE的长为〔）

8105

（A）-（B）3（C）—（D）-

332

（2023文）［13）如图，AB是圆的直径，弦8与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,那么线段CE的长

为.

10.函数与导数

无，_A-yI£*〉0

(2023文)8.设函数/(x)='~那么不等式/(%)>/⑴的解集是()

%+6,%<0

A(-3,1)0(3,+00)B(-3,l)u(2,+oo)c(-1,1)0(3,+00)D(-00-3)0(1,3)

(2023文)10.设函数f(x)在R上的导函数为f〈x),且2f(x)+x7(x)>x2,x下面的不等式在R内恒成立的是

Af(x)>0Bf(x)<0Cf(x)>xD/(x)<x

(2023文)16.假设关于x的不等式(2%-1产的解集中整数恰好有3个，那么实数的取值范围是

(2023文)⑷函数f(x)=e*+x-2的零点所在的一个区间是

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)[0,1)(D)(1,2)

o(%)+%+4%<jp(%)

(2023文)(10)设函数g(x)=x2—2(xeR),/(x)=\、'，、那么/(x)的值域是

g(x)-x,x>g(x)

999

(A)——,0u(l,+oo)(B)[0,+oo)(C)[——,+oo)⑴)——,0u(2,+oo)

444

(2023文)(16)设函数f(x)=x-L对任意xe[l,+oo),f(mx)+mf(x)〈0恒成立，那么实数m的取值范围

x

是

a,a-b<l,,,

(2023文)8.对实数a和。，定义运算"②"：a®b=<设函数

b,a-b>\.

/(x)=(x2-2)®(x-l),xe7?o假设函数丁=/(x)—c的图象与龙轴恰有两个公共点，那么实数。的取

值范围是()

A.(—1,1]LJ(2,+oo)B.(—2,—1](1,2]C.(-oo,-2)LJ(1,2]D.[-2,-1]

(2023文)以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为

(A)y=cos2x,xeR(B)y=log2|x|,XER且xWO

y=-------,XGR(D)y=x+1,XGR

©2

lx2-11

(2023文)[14)函数y=J-----勺图像与函数y=履的图像恰有两个交点，那么实数左的取值范围

X-1

是.

(2023文)7.函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+00)单调递增.假设实数a满足

/(log2a)+/(logla)<2/(1),那么a的取值范围是

(A)[1,2](B)|0,1(C)i2(D)(0,2]

I2」12」

(2023文)8.设函数/(x)=/+x-2,g(x)=lnx+x2-3.假设实数a,b满足/(a)=0,g(6)=0,那么

(A)g(a)<0</(b)(B)/(6)<0<g(a)

(C)0<g(a)<f(b)(D)f(b)<g(a)<Q

(2023文)12.函数/(x)=lgx3的单调递减区间是.

,.fix2+5x+4|,x<0,,

(2023文)14.函数/(x)=।1假设函数y=/(x)—ad恰有4个零点，那么实数a的取

2|%-2|,%>0!

值范围为

(2023文)7.定义在R上的函数/(x)=2后叽1(加为实数)为偶函数，记

a=/(logo.53),6=/(10825),©=/(2"),那么。,4。,的大小关系为〔)

(A)a<b<c(B)c<a<b(C)a<c<b(D)c<b<a

_爪I2-\x\,x?2

(2023文)8.函数/(x)=；涵数g(x)=3-f(2-x),那么函数y=/(%)-g(x)的零点的

t(x-2)2,x>2

个数为

(A)2(B)3(C)4(D)5

(2023文)11.函数/(x)=adnx,xe(0,+oo)，其中a为实数，/'(x)为/(尤)的导函数，假设/'⑴=3,

那么a的值为.

(2023文)[6)/(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-8,0)上单调递增，假设实数。满足

/(24口)>/(—&),那么。的取值范围是1)

113133

(A)(-00,—)(B)(-8,5)U(5,+8)(C)(―,—)(D)(—,+00)

(2023文)(10)函数*r)=(2x+l)/,/'(x)为/㈤的导函数，那么1(0)的值为.

x1+(4a-3)x+3a,x<0„„_一，口、…广乂丁“、〜

(2023文)(14)函数/(x)=<(a>0且a71)在R上单倜递减，且关于x的万程

logfl(x+l)+l,x>0

\fM|=2-1恰有两个不相等的实数解，那么a的取值范围是.

11.三角函数

jr_

(2023文)函/(%)=sin(vtaH——)(%eJ?,w>0)的最小正周期为；r,将y=f(x)的图像向左平移|<p\个

4

单位长度，所得图像关于y轴对称，那么。的一个值是U

A」/吟

(2023文)右图是函数y=Asin(0x+°)(xeR)在区间三汉上的图象，“

66

为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx(xwR)的图象上所有的点

()-

K\0小

|j''

(A)向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变

32

(B)向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3

(0向左平移上JT个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1上倍，纵坐标不变

62

(D)向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

6

(2023文)函数/(%)=2sin3>%+0),x£H,其中口>0,-"〈肛若f(x)的最小正周期为6%,

且当x=T时，"X)取得最大值，那么〔)

A.“X)在区间［-2万,0］上是增函数B.7(%)在区间［-3肛-%］上是增函数

C.“X)在区间［3万,5扪上是减函数D.7(%)在区间［4肛61］上是减函数

(2023文)将函数y=sinox〔其中3>0］的图象向右平移?个单位长度，所得图象经过［手,()］,那

么3的最小值是

(2023文)6.函数/(x)=sin12x-f在区间0,|上的最小值是

(A)-1(B)(C)(D)0

22

(2023文)8.函数/(x)=Gsin。x+cos。x(刃>0),X£R在曲线y=/(x)与直线y=l的交点中，假

设相邻交点距离的最小值为jr:，那么/(元)的最小正周期为()

71Lr71c

A.—B.----C.TCD.27r

23

(2023文)14.函数"x)=sm0x+c°s&x(0>O),xeR,假设函数/⑴在区间(—④助内单调递增,

且函数/(%)的图像关于直线X=(D对称，那么。的值为.

(2023文)(8)函数/(x)=sin2掌+；sinm—g(o〉0),xeR.假设/(x)在区间(肛2㈤内没有零

点，那么切的取值范围是（）

1A）（0,口⑻（oi]U[|,l）⑹（o,|]（D）（0,3d

8488848

12.立体几何

__Q77"

（2023文）10.一个正方体的所有顶点在一个球面上.假设球的体积为二，那么正方体的棱长为.

2

13.不等式

（2023文）14.设a+b=2,b>0,那么'+回的最小值为.

21〃|b

14.圆锥曲线

（2023文）4.设双曲线二-'=1（。〉0力〉0）的虚轴长为2,焦距为2若，那么双曲线的渐近线方

ab

程为（）

V2

Ay=±V2xBy==t2xCy=±^-xDy=±—x

2

（2023文）[13）双曲线3=1（。〉0力〉0）的一条渐近线方程是、=氐，它的一个焦点与抛物线

ab

y2=16x的焦点相同。那么双曲线的方程为。

（2023文）6.双曲线二一斗=1（。〉01〉0）的左顶点与抛物线丁2=2℃（°>0）的焦点的距离为4,

CTb

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为〔-2,-1）,那么双曲线的焦距为0

A.2A/3B.2A/5C.473D.475

2222

（2023文）双曲线G:二—二=1（。〉0]〉0）与双曲线C,：二二=1有相同的渐近线，且G

ab416

的右焦点为F（V5,0），那么a=b=

（2023文）（19〕〔本小题总分值14分）

22

（2023文）11.抛物线丁=8x的准线过双曲线=-1=1（a>0,6>0）的一个焦点，且双曲线的离心率为

ab

2,那么该双曲线的方程为.

22

（2023文）6.双曲线3—2r=1（。〉0]〉0）的一条渐近线平行于直线l:y=2x+lQ,双曲线的一个焦点

ab

在直线/上，那么双曲线的方程为（）

X2)21x2y21c”一支=1D.E—J

A.-------二IB.-------二I

5202052510010025

（2023文）5.双曲线1-1=l（a>0]>0）的一个焦点为尸（2,0）,且双曲线的渐近线与圆

ab

52『+y2=3相切,那么双曲线的方程为（

2222

xy1XX2_i

(A)---=1(B)——(c)--y=1(D)X2--=1

913133

r22

（2023文）（4）双曲线一—%=1（。〉0乃〉0）的焦距为2旧,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0

a

垂直，那么双曲线的方程为〔）

22。3%23,[D)—-^=1

(A)-=1〔B)X2--=1

4-4205520

15.数列

（2023年文）设同｝是等比数列，公比q=0,斗为同｝的前n项和。记T“=*5,二凡—“比*.设为

4+1

数列｛，｝的最大项，那么〃o=。.

（2023文）｛a,,｝为等差数列，S“为其前〃项和，neN*,

假设%=16,S20=20,那么耳。的值为

（2023文）5.设｛4｝是首项为%,公差为-1的等差数列，S"为其前n项和，假设S2,成等比数

列，那么为=（）

11

A.2B.-2C.一D

22

16.概率统计

（2023文）9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校

四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生

人数之比为4:5:5:6,那么应从一年级本科生中抽取名学生.

（2023文）（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,，甲获胜的概率是!，那么甲不输的概率为

23

（）

二、解答题

1.概率〔2023年以前考〕与线性规划〔2023年以后考〕

（2023文）18.1本小题总分值12分）

为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂

进行调查，A,B,C区中分别有18,27,18个工厂

（I）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；

［II）假设从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的比照，用列举法计算这2个工厂中至少

有1个来自A区的概率。

（2023文）（18）I本小题总分值12分）

有编号为A-A?,...A［。的I。个零件，测量其直径（单位：cm）,得到下面数据：

»--------1-

小44

编A:4a

1.46l.531.47

1.511.491.491.491,I.511.47

L____L_I______

其中直径在区间［1.48,1.52］内的零件为一等品。

（I）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率;

UI）从一等品零件中，随机抽取2个.

1i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

Hi）求这2个零件直径相等的概率。

（2023文）15.1本小题总分值13分）

编号为…，46的16名篮球运发动在某次训练比赛中的得分记录如下:

运发动编号

A4AAAA,4A

得分1535212825361834

运发动编号

4AoAiA2A3A4A5Ae

得分1726253322123138

（I〕将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;

区间

[10,20)[20,30)[30,40]

人数

UI）从得分在区间［20,30）内的运发动中随机抽取2人，

⑴用运发动的编号列出所有可能的抽取结果；

（ii）求这2人得分之和大于50的概

（2023文）（15题）（本小题总分值13分）

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学

生进行视力调查。

⑴求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II〕假设从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

〔1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

（2023文）15.体小题总分值13分）某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z

评价该产品的等级.假设S<4,那么该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本,

其质量指标列表如下：

产品编号AAAAA

质量指标（x,y,z）(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(i,i,D(1,2,1)

产品编号AsAAAAo

质量指标（x,y,z）(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(2,1,2)

⑴利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

（II）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

⑴用产品编号列出所有可能的结果；

（ii）设事件3为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4",求事件3发生的概率.

（2023文）（15）（本小题总分值13分）

某校夏令营有3名男同学A,5c和3名女同学X,RZ，其年级情况如下表：

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYz

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛〔每人被选中的可能性相同）.

（I）用表中字母列举出所有可能的结果；

（II）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学〃，求事件M发表的

概率.

（2023文）15.1本小题总分值13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27,9,18,先采用

分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运发动参加比赛.

⑴求应从这三个协会中分别抽取的运发动人数；

（II）将抽取的6名运发动进行编号，编号分别为4,4,从这6名运发动中随机抽取2名参加

双打比赛.

⑴用所给编号列出所有可能的结果；

（ii）设A为事件"编号为A，4的两名运发动至少有一人被抽到"，求事件A发生的概率.

（2023文）（16乂本小题总分值13分）

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙

中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此根底上生产甲乙两种肥料.生