2021年考研数学(一)真题(含答案及解析)

2021年全国硕士研究生招生考试

数学（一）

（科目代码:301）

一'选择题（1〜10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.）

（1）函数：，在x=O处（）.

(A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值

(C)可导且导数等于零(D)可导且导数不为零

(2)设函数f(x,y)可微，且f(x+l,e)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x21nx,则df(l,l)=().

(A)dx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-dy

(3)设两数「，在x=O处的3次泰勒多项式为ax+bx¥cx3,则().

(A)a-1.6=O,<*=——(B)u=I./>=O.r=—

66

(C)a=-l.b=-l・<•；(D)a—l,b=-l.，；

(4)设函数f(X)在区间［0,1］上连续，则］|广一人().

(A)Imi\/-5-B)lnnX!।

(。litn\/I,1I1I

••'2n1n…，'2»'n

222

(5)设二次型f(Xi,X2,Xg)=(Xi+XZ)+(X2+xg)-(x3-Xi)的正惯性指数

与负惯

性指数依次为().

(C)2,l(D)l,2

I

m-4.A-a-IB-IB.活B.

p2,B3两两相交，则L,b依次为().

(A)堤.！(B)—"I•二(C)4,•―'T(D)5I

222222v72.-2

7)设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是().

iAAB\

(B)r=2r(A)

W)A1T1

/ABA\

◎I-2r(A)

'OAATl(D：-a)

8)设A,B为随机事件，且O<P(B)<1,下列命题中为假命题的是(),

(A)若P(A|B)=P(A),则P(A|B)=P(A)

(B)若P(A|B)>P(A),则P(A|B)>P(A)

(C)若P(A|B)>P(A|B),则P(A|B)>P(A)

(D)若P(A|AUB)>P(A|AUB),则P(A)>P(B)

9)设(Xi,Yj,(X2,Y。，…，(X,,Y)为来自总体N(ul・口2;oi,o2;p)的简单随机样本,

令o二小~P2,\：£Y,3=X-Y,则()

(A)6是0的无偏估计，“HI17

除不是0的无偏估计，「

(C是0的无偏估计，”.，山

(D)6不是0的无偏估计，/)「一""/J…

10)设X[X2,…,先是来自总体N(u,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：Ho：uW10,

Hi：M>10,(p(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={XN11},其

二\，则R=ll.5时，该检验犯第二类错误的概率为().

(A)l—<p(0.5)(B)l—<p(l)

(C)l—(p(1.5)(D)l—q>⑵

二、填空题⑴〜16小题，每小题5分，共30分请将答案写在题中的横线上.)

Il)f————=_______.

J-广+2，+2--------

12)设函数户y(x)由参数方程''''所确定，贝产、|

ly=4(/—De*+/1--------

3)欧拉方程x2y”+xy，-4y=0满足条件y(l)=l,y<l)=2的解为y=

4)设三为空间区域{(x,y,z)1x2+4y9,gT2}表面的外侧，则曲面积分

Jx*dydz+y2dzdjr+tcLrdj._..

5)设A=(ay)为3阶矩阵，A,为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,

贝!jAp+A2n+Ap=

16)甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙

盒中，再从乙盒中任取一球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y

的相关系数为

三、解答题（17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（17）（本题满分10分）

八十£入1\

求极I限lim-'1---------.

e—1sinx/

（18）（本题满分12分）

设）求缎（£"工）的树姆汲和函数

（19）（本题满分12分）

已知曲线''''•求C上的点至UxOy坐标面距离的最大值.

Il.r+2v+;30.

(20)(本题满分12分)

设DCR2是有界单连通闭区域，J，",7,.T…，取得最大值的积分区域为Di.

JU

(I)求KDi)的值；

(II)计算［空三也，其中3D1是D］的正向边界.

Jx+

(21)(本题满分12分)

IU1

已知A,Ia11

1—1"/

(I)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵;

(II)求正定矩阵C,使得C2=(a+3)E-A.

(22)(本题满分12分)

在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X,较长一段的长度

y

为Y,令Zx

(I)求X的概率密度；

(H)求Z的概率密度；

(山)求卜心).

2021年数学(一)真题解析

一、懒

⑴【答案】(D).

［解］'lit!,■得f(x)在x=0处连续;

再崎11mzi小」---------Em』--，得

XX・•《>y*ZT2

''wo.应选(D),

⑵【答案】(0.

【解】f(x+ld)=x(x+l)2两边对x求导得

fi(x+1,e)+e2f(x+1,e)=(x+l)2+2x(x+1),

取X=0得f(l,l)+f2(1,1)=1；

f(x,x2)=2x2lnx两边对x求导得

f(x,x2)+2xP(x,x2>4xlnx+2x

取x=l得f(l,l)+2fz(l,l)=2,

解得f(l,l)=0,f2(1,1)=1,故df(l,l)=dy,应选(C).

⑶【答案】(A).

【解】因为小，为奇函数，所以40;

J,1

由r11)/，，，I,!17勺日

卜I->；仔

«ini7

/<r)「—­~~—tja

14.r1G

应选(A).

⑷【答案】(B).

【■】即却保)：=1则;却生卜。」出,应选(B).

⑸【答案】(B).

【解】令A.(ZI)则仁KAX,

=(X+1)(X2-3X)=0

得入i=T,X2=0,入3=3,应选(B).

(6)【答案】(A).

【解】由施密特正交化得0户®f;应选(A).

»nA.9

方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对

称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.

设3,(X2,aO线性无关，pi=ai,p2=Ct2-llPl,p2=a3*2p2，且线性无关,

则，砥不出=诋了3出=而而

(7)【答案】(0.

【解】」'0*\\\

OA\

\Ui'og\\H

由­I得门

A*f'CA1}O41，

由：：•::得",)，应选。

(8)【答案】(D).

【解】由P(A|B)=P(A)得P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B独立，

_P(AB)P(A)P(B)

于是P(A————-—-「(Ah

P(B)P(B)

由P(A|B)>P(A)得P(AB)>P(A)P(B)

____尸(4B)l-P(A)-P《3》+P(AB)

从而P(A|B>=-

p八八=r^-pcB)

>f*P(fi)P(A)-P(A)i

由P(A|B)>P(A|B)得'''"3,整理得P(AB)>P(A)P(B),

rP(B)1-P(B)

P(AB)

MP(A|B)("应通()

P(H)>P，rl：o：f尸D

(9)【答案】©.

懈】'(〃二

则E(。尸E(X)-E(Y)=g-Q0;

D(6)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

«~—―[Cov<x(・Y>+Cov(xj>y)++Cov(x.»y)]

»内用

,:«2.............一.,一.2一

•npo。''.，应选(C).

n

(10)【答案】(B).

悦】由题\"「心吱'…

犯第二类错误的概率为

PXII：-pL'14><-1)«1«(1).

芽

应选(B).

二、填空题

(11)【答案】

【解】，,，，..

•，,2，・2,1+(4+1尸2

(⑵【答案】

,,

［解］

dr<V2<1］rl/<h山\-I.

(13)【答案】x2.

【解】令乂=6/)一［则

xy'=Dy,x2y"=D(D-l)y,

代入欧拉方程得

力-"-0,

特征方程为X2-4=0,特征根为x,=-2,X2=2,

今T,=。的通解为尸C；dH泣原方程的通解为

G”>

r・

由y(l)=l,y'(l)=2得Ci+C2=l,-2g+2C2=2,解得C］=0,C2=1,

故y=x2,

方法点评：形如

,,,,

xy()+aa-ix"-'y*-D+...+a1xyi+aoy=f(x)

的方程称为欧拉方程.

令x=e1则'l)v1*'.।'-/)।/>I।\'-'',

d/At1At

x"y''=D(D-l)…(D-n+l)y,

代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=lnx代入即可得原方程的通解.

(14)【答案】4n.

【解】设三所围成的几何体为。，由高斯公式得

I+y3dzdx+xdrd>»+2>+l>dvi

由积分的奇偶性得

dr1*2=

(15)【答案】

2

it

a”«2(A|i+An+AK1)»3>»|

1

3

All+An+An"y

(16)(答案】

【解】(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),

3

2

I

PX

0

E(X)=^E(XJ)=yD(X)

illX得

得E<r>=1)

ill>'〜ID(Y

,xvJ；3

J^IWECXY)

10

'10

1

3I1一20

Cav(Xty)-E(Xr>-F<X>E(Y)=---=茹——j-

,,.—^―

99

三、解答题

(17)【解】方法一

(1+jer，dr)sin'一♦"十

livn------------------------------------

¥-1J7(e*-I)»injr

方法三

由泰勒公式得e，=1+/+062),

质，।.I;*..|［七

Jn3

2rr

urn】+

、即村时，“收敛；

______1―

再由Im"''上」7「的收敛半径为R=l,

・•1―〃(”・I)

W1»f,1,得

当*=±1时，士，；—二］:，利二［「的收敛域为II］，

故级数-1⑺的收敛域为(0,为

令、,="\、-J

HSJ』)='-i

Xn(it+I)卜n

=(l-x)ln(l-x)+x(O<x<l),

当x=l时，由、.[,、：得、，

(19)【解】设M(x,y,z)CC,点M到xOy坐标面的距离d=|z|,

4*F=z2+X(x2+2y2-x-6)+p(4x+2y+x-30),

F；«2Ax+4夕-0.

+2/i«0.lx=4i1=X

«F：-1一夕=。，得jl■或•，-一

F：，+2y*-—6・(hI念・12,lx

F：H4X+2、+z—30・。

故C上的点(-8,-2,66)到xOy面的距离最大为66.

(20)IB](I)显焦〃一,')<kdy取最大值的区域为4-x2-y2>0,

ft

即Di={(x,yW+"4},则

/(D,)-J(4-x*-yOdrdy-2«卜(4-r1)dr

o.

・2KJ(4,一，')d，・2/(8-4》,8JN

(11)令Lo:x2+4y2=r2(r>0,L»在L内，取逆时针），设aD,与L。所围成的区域为D。，

Lo围成的区域为D2,则

(+y)di'-jrldy

J/+」'

f(工，""+y>dz+(4ye"'t)dy

J―十e

*»p

=-7+jr)d-r+