2024年高考数学一轮复习第8章：解析几何（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第8章：解析几何学生版

1.(2022・南通模拟)已知P为抛物线C：V=4x上位于第一象限的点，尸为C的焦点，尸尸与

C交于点。(异于点P).直线/与C相切于点P,与x轴交于点过点尸作/的垂线交C于

另一点N.

(1)证明：线段的中点在定直线上；

(2)若点尸的坐标为(2,2/)，试判断Q,N三点是否共线.

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2.(2023•石家庄模拟)已知Ef/，0),从5'点N满足幀£]=/|/尸点/的轨迹为曲线

C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线/：尸丘+加与双曲线：亍一彳=1交于N两点，且/此加=至。为坐标原点),

求点A到直线/距离的取值范围.

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，提=1(心6>0),点F(l,0)为椭圆的右焦点，过点下且斜

3.(2023・广州模拟)已知椭圆C：

率不为0的直线厶交椭圆于N两点，当厶与x轴垂直时，|AW]=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)A„4分别为椭圆的左、右顶点，直线小/，分别与直线厶x=l交于P,。两点,

证明：四边形。山2。为菱形.

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4.(2022•衡阳模拟)设椭圆氏｝+本=1(。*0)的左顶点为小上顶点为8.已知椭圆的离心

率为最\AB\=yjl.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P,。为椭圆E上异于点/的两动点，若直线/P,的斜率之积为一：

①证明直线尸。恒过定点，并求出该点坐标；

②求厶42。面积的最大值.

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2024年高考数学一轮复习第8章：解析几何教师版

1.(2022•南通模拟)已知P为抛物线C：V=4x上位于第一象限的点，尸为C的焦点，PF与

C交于点。(异于点尸).直线/与C相切于点P,与x轴交于点过点尸作/的垂线交C于

另一点N.

(1)证明：线段的中点在定直线上；

(2)若点P的坐标为(2,2啦)，试判断Q,N三点是否共线.

解(1)设尸(X0,加),则完=4X0,

因为点尸在第一象限，

所以yo=24i),

对y=24两边求导得V=),

所以直线/的斜率为3,

令y=0,则x=-xo,

所以M(一刈,0),

所以线段M尸的中点为(°,3,

所以线段的中点在定直线x=0上.

(2)若尸(2,23)，则M(-2,0).

所以k,wp=也,左依=2也，

2

因为尸N丄/,

所以kpN=—価，

所以直线尸F：y=2业xT),

直线尸N：y=-^2(x-4).

产=4x,

由,厂得2J2—5X+2=0,

y=2v2(x—1),

所以x=1或2,

2

所以第一回，

俨=4x,

由，厂得N—10x+16—0,

y=—W(x—4),

所以x=2或8,

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所以N(8,—46

因为M(—2,0),,N(8,-4/),

2s

所以ksiQ—kMN

5，

所以“，Q,N三点共线.

0),点4满足|4£|=必|力尸点力的轨迹为曲线

2.(2023•石家庄模拟)己知歐应,0),

C.

(1)求曲线C的方程;

(2)若直线厶y=履+机与双曲线：^=1N两点，且NMON=g。为坐标原点),

“49

求点/到直线/距离的取值范围.

解(1)设4(x,y),因为(用=/玄尸|,

所以N(x一啦)2+&-0)2

2+(y—0)2,

将等式两边平方后化简得，+v=l.

y=Ax+〃?，

(2)将直线/：y=kx-\-m与双曲线^—匕=1联，得‘£_以=]=(4居-9.2+8灯内+4m2

4949~

+36=0,

设A/gyi),Ng,yi)9

所以有L7.

2即皿2+9>4公且上片3,

1=(8痴?)2—4•(4斤一9)(4涼+36)>0,2

匕匕］、),8km4〃/+36

所以汨+%2=一—二,X1X2=--；----,

4店一94公一9

因为NMON口,

2

所以血丄赤，即而M•苏=0,所以X|X2+_nV2=0=XlX2+(丘|+机)1公^+⑼二。，

化简得(N+1)x1x2+km(x\+x2)+=0,

/8km]

把X1+X2=一一娶L,X1X2=4”'+36代入得/+]).坦_士亜+%”14产一9J+机2=0,化简

4R-94"94F-9

得旭2=36(产+1)因为m2+9>4/(2且厶力色

52

所以有36(4+1)+9>4尸且左之白，解得《

522

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圆N+y2=i的圆心为(0,0),半径为1,

66+1

圆心(0,0)到直线/：y^kx+m的距离为"=*===^_=8区1,

M师5

所以点/到直线/距离的最大值为竽+1,最小值为卓一1,

-6#63[J

所以点4到直线/距离的取值范围为L5'5

3.(2023•广州模拟)已知椭圆C：，+捺=36>0)，点/(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜

率不为0的直线厶交椭圆于M,N两点，当厶与x轴垂直时，|AW|=3.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)小，4分别为椭圆的左、右顶点，直线小/，4N分别与直线厶：x=l交于P,。两点，

证明：四边形。以2。为菱形.

(1)解由题可知c=l.

当厶与X轴垂直时，不妨设”的坐标为[1'3，

a2=b2+1,

9

所以丄+4=1,

中京

解得〃=2,b=y[3.

所以椭圆C的标准方程为《+且=1.

43

(2)证明设厶的方程为1,M(x\,y\),Ng玖)，

1,

联立也丄上—i消去x得(3m2+4»2+6〃少-9=0,

易知/>0恒成立，由根与系数的关系得川十次=—丄，KP2=——,

3/w2+43/n2+4

由直线4M的斜率为3”=一匸，得直线小"的方程为y=—(x+2),

1x\+2x\+2

当x=l时，yp=~^~,

xi+2

由直线4N的斜率为kAv=—•圧一，得直线42N的方程为y-(x—2),

2X2_2X2-2

当x=l时，yQ=―

X2-2

若四边形。为20为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证抄+阳=0,

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因为"台器+言3y1(工2-2)-F2(x】+2)=2即必-3(yi+闻

(xi+2)(x2—2)(〃吵1+3)(叩2—1)

-9c—6rn-18m+1八

则2my必—3(y1+及)=2”3.—：—=----------------=0

3〃於+437w2+43zn2+4

所以|PF|=|0E|,即尸0与。儿相互垂直且平分，所以四边形。口20为菱形.

4.(2022•衡阳模拟)设椭圆E：=1(心/A0)的左顶点为儿上顶点为8.己知椭圆的离心

率为:，网=近

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P,。为椭圆E上异于点4的两动点，若直线/P,/。的斜率之积为一丄

4

①证明直线产。恒过定点，并求出该点坐标；

②求△/产。面积的最大值.

⑴解|/用=百，

/.a2=4c2,a2+b2=l,

又〃2=人2+02,.・.〃2=4,b2=3,

椭圆E的方程为#+比=1.

43

⑵①证明当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m,

殍+¥=1,

由—3消去y得(3+442)%2+8左〃a+4加-12=0,

\y=kx+m,

、儿~、八/Xn,i,-8km4阳2—12

攻「(X[,yi)0(%2»玫)，则Xl+X2=1；,X\X2=-,

93+4F3+4F

又4(—2,0),由题知匕P•匕°=一^一•)；=—，

xi+2X2+24

则(xi+2)6+2)+4yly2=0,且xi,迫#—2,

则xiX2+2(xi+X2)+4+4(kx\+m)(kx2+⑼=(1+4k2)x\X2+(2+4k〃?)(xi+xi)+4/??2+4—

(1+4左)2(4加2—12)

+■(2+4km)———-+4w2+4=0,

3+4F3+4R

则m2—km—2k2=0,

/.(m—2kxm+k)=0,

••tn—2k或m——k.

当加=2左时，直线尸0的方程为歹=東+2左=碓+2),

此时直线P0过定点(-2,0),显然不符合题意；

当加=一女时，直线尸。的方程为