2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题44 特殊的四边形（学生版+解析版）

专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?如图，取BC的中点H,连接MH,NH.∵M,H为BE,BC的中点，∴M∵N,H为CD,BC的中点，∴NH//BD,」同理∠HNM=∠QPA.【巩固】如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD求线段BC的长.二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB=6,BC=10.当折痕GH最长时，线段BH的长为【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH=x,则CH=10-x,HE=BH=x,解得x=6.8,故答案为：6.8.【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，(1)如图1,将△ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，习的值；图2三、直角三角形斜边上的中线M为EF中点，则AM的最小值为()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小.【巩固】四边形ABDE为平行四边形，若AD=6,BC=8,则CE的长为【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P为【解答】解：过A作AE⊥BC于E,设点P到BC的距离为h,即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线1的对称点G,连接CG交直线1于点P,【巩固】线段PD长是点P是直线BD上一动点，连接PC,当的值最小时，巩固练习1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A,B重合，且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论.其中错误的是()A.∠GEB与∠GFB一定互补B.点G到边AB,BC的距离一定相等C.点G到边AD,DC的距离可能相等D.点G到边AB的距离的最大值为2V22.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE,EF⊥AB,垂足为F,连接DF,时，四边形ADFE是平行四边形.3.如图，矩形ABCD,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为4.如图，菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是5.如图，在矩形ABCD中，AD=V3AB,对角线相交于点O,动点M从点B向点A运动(到点A即停止),点N是AD上一动点，且满足∠MON=90°,是.(写出所有正确结论的序号)6.如图，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,过点E作EG⊥AD于G,交BD于F,连接DE,若7.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD,则线段PD长的取值范围是8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD(1)求证：四边形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四边形BDFG的面积.(1)如图1,E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF,垂足为G,连接DG.点，连接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接写出CN的长.连接AC,将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D,CD交x轴于点E.如果CE=5,OC、OE的长是关于x的方程x²+(m-1)x+12=0的两个根，并且OC>OE.(1)求点D的坐标；(2)如果点F是AC的中点，判断点(8,-20)是否在过D、F两点的直线上，并说明现由.11.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转线段AM,连接FM.(1)线段AO的长为(2)如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：(3)连接EM.若△AFM的周长为3V29,请直接写出△AEM的面积.12.在菱形ABCD中，∠BAD=60°,(1)如图1,点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB=4,求线段EC的长；(2)如图2,M为线段AC上一点(不与A、C重合),以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ,判断DM与DQ的数量关系，并(3)在(2)的条件下，若AC=√3,请你直接写出DM+CN的最小值.专题44特殊的四边形【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?如图，取BC的中点H,连接MH,NH.【巩固】如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,连接EF,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,若∠CEF=45°,F【解答】解：设EF=x,点E,F分别是OA,OD求线段BC的长.连接BE答：线段BC的长为4V5.二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB=6,BC=10.当折痕GH最长时，线段BH的长为【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，故答案为：6.8.【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，(1)如图1,将△ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，的值；(2)如图2,若点E为CD的中点，过点A作AF⊥BE于F,连接DF,求证DF=BC.【解答】(1)解：如图1,∵四边形ABCD是矩形，由折叠可得AD=AM,(2)证明：如图2所示，延长BE,AD,交于点G,则∠BEC=∠GED,图2三、直角三角形斜边上的中线M为EF中点，则AM的最小值为()A.1B.1.3C.1.2【解答】解：∵AB=3,AC=4,BC=5,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交点就是M点.∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小.【巩固】四边形ABDE为平行四边形，若AD=6,BC=8,则CE的长为【解答】解：如图，过点B作BF//CD,且BF=CD,连接DF,CF,AF,∴四边形BDCF是平行四边形，且∠BDC=90°,【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=30°,P为PB+PC的最小值为【解答】解：过A作AE⊥BC于E,设点P到BC的距离为h,即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线I的对称点G,连接CG交直线1于点P,【巩固】如图，菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°,点P是直线【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E,连接AP,由菱形ABCD,可得AB=CB,∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°,∵当点A,P,E在同一直线上时，AP+PE最短，故答案为：巩固练习1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A,B重合，且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论.其中错误的是()A.∠GEB与∠GFB一定互补B.点G到边AB,BC的距离一定相等C.点G到边AD,DC的距离可能相等D.点G到边AB的距离的最大值为2√2又∵∠EGF=90°,四边形内角和是360°,B、过G作GM⊥AB,GN⊥BC,分别交AB于M,交BC于N,点G到边AD,DC的距离不相等，故D正确.2.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE,EF⊥AB,垂足3.如图，矩形ABCD,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为【解答】解：如图，取AD的中点H,连接CH,OH,4.如图，菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF设DE交AC于M,连接MB,DF,延长BA,DH⊥BA于H,∴点B关于AC的对称点为D,只有当点F运动到点M时，取等号(两点之间线段最短),∵菱形ABCD的边长为4,E为AB的中点，∴M点运动的距离是5.如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB,对角线相交于点O,动点M从点B向点A运动(到点∴M点运动的距离是点N是AD上一动点，且满足∠MON=90°,连结MN.在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①点M、N的运动速度不相等；【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD,当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB,N点运动到了N',,,∵O≤x≤1,在x的取值范围内函的图象随x增加而减小，∵MN²=(AB-BM)²+(AD-DN)²=AB²-2V3AB·DN)+BM²+DN²=(4AB²-2AB·BM-2V3A方法二判定④:如图2,延长MO交CD于M',则MN=NM',故答案为：①②③④.6.如图，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,过【解答】解：如图，过点D作DM⊥BD,交BC的延长线于点M,设∠DEG=a,则∠A=4a,故答案为：3.接PD,则线段PD长的取值范围是【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P₁处，CP₁=BPi,当点F与点E重合时，点P在点P₂处，EP2=BP2,当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP,∴点P的运动轨迹是线段P₁P2,∴△ABE,△BEC、△DCP₁为等腰直角三角形，8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.(1)求证：四边形BDFG是菱形：(2)若∠BAC=30°,BC=2,求四边形BDFG的面积.【解答】(1)证明：∵∠ABC=90°,BD∴四边形BDFG是平行四边形，∴平行四边形BDFG是菱形；(2)解：作DH⊥AG于H,如图所示：EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(·),:)(1)如图1,E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF,垂足为G,连接DG.点，连接MP,PQ,若PQ⊥MP,直接写出CN的长.【解答】解：(1)①如图1,过G作MN⊥CD于N,与AB交于点M,则MN//AD,∵MN垂直平分CD,②连接CF,如图1,∵CE垂直平分BF,延长CD至H,使得DH=CD,连接FH,则CF=CH,∴AD垂直平分CH,(3)∵MN垂直平分BP,设AP=x,PD=6-x,PQ=3+x,,(1)求点D的坐标；(2)如果点F是AC的中点，判断点(8,-20)是否在过D、F两点的直线上，并说明现由.设OC=x₁,OE=x2,x₁>x2.在Rt△COE中，解这个方程，得m=-6,m=8.∴m=8不符合题意，舍去.x1=4,x2=3.△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D.过D点作DG⊥x轴于G.DH⊥y轴于H.由已知条件可知D是第四象限的点，∴点D的坐标是∴点F的坐标是(4,2),设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b.∴点(8,-20)在过D、F两点的直线上.11.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,