专题6.1 等差数列及其前n项和【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题6.1等差数列及其前n项和【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1等差数列的基本量计算】 2【题型2等差中项及其应用】 3【题型3等差数列的性质的应用】 4【题型4等差数列的判定与证明】 6【题型5等差数列通项公式的求解】 8【题型6等差数列前n项和的性质】 11【题型7求等差数列的前n项和】 13【题型8求等差数列的前n项和的最值】 15【题型9等差数列的简单应用】 171、等差数列及其前n项和等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等；高考中数列内容一般设置一道选择题和一道解答题，需要灵活求解.【知识点1等差数列的基本运算的解题策略】1.等差数列的基本运算的两大求解思路：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【知识点2等差数列的判定的方法与结论】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【知识点3等差数列及其前n项和的性质及应用】1.项的性质：在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.2.和的性质：在等差数列中，Sn为其前n项和，则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【题型1\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"等差数列通项公式的基本量计算"等差数列的基本量计算】【例1】（2023·广西·统考模拟预测）设an为等差数列，若a3+2a1=1,a4=5，则公差d=（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【解题思路】由等差数列的基本量法列方程组求解．【解答过程】由题意得3a1+2d=1故选：D.【变式1-1】（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知数列an满足：∀m，n∈N*，am+n=amA．1 B．2 C．3 D．2022【解题思路】令m=1，则an+1=a【解答过程】令m=1，则a故an+1−a故数列an∴∴a故选：A.【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组，解方程求出a1,d，即可求出a【解答过程】设等差数列an的公差为d．由条件可知a1所以an=−1+2n−1由Sn−2an=6，得n2−2n−2故选：B．【变式1-3】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知等差数列an，记Sn为数列an的前n项和，若a1=1，S7=5A．1 B．2 C．−1 D．−2【解题思路】根据等差数列的求和公式以及通项公式可得出关于d的等式，解之即可.【解答过程】在等差数列an中，Sn为数列an的前n由S7=5a5可得7a故选：D.【题型2等差中项及其应用】【例2】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{an}满足a2+A．−12 B．12 C．2【解题思路】利用等差中项求解即可.【解答过程】因为数列{a所以a2+a所以cosa故选：A.【变式2-1】（2023·四川凉山·三模）在等差数列an中，a2+a4=2，A．3 B．5 C．7 D．9【解题思路】由等差中项性质得a3=1，利用等差数列通项公式求基本量公差d，进而写出通项公式，即可得【解答过程】由题设a2+a4=2若等差数列公差为d，则d=a所以，an通项公式为an=故选：C.【变式2-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知等差数列an的首项a1=1，公差d>0，数列bn满足bn=aA．14 B．12 C．1【解题思路】根据等差数列的通项公式及定义可得结果.【解答过程】易知an=dn−d+1，d>0，又因为bn所以b1,b2,化简得d=14，此时an=14n+故选：A.【变式2-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列an中，a2=2，当n≥3时，an−1，12an，aA．k B．k−1 C．2k D．k−2【解题思路】依题意可得数列an的递推关系a【解答过程】当n≥3时，an−1，12an，由于a2=2，则故选：D.【题型3等差数列的性质的应用】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知递增数列an是等差数列，若a4=8，3a2A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【解题思路】设数列an的公差为d（d>0），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求a1,d，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以a【解答过程】解法一：设数列an的公差为d（d>0因为a4=8，则a1+3d=23所以a2024解法二：设数列an的公差为d（d>0由3a2+又因为a4=8，即48=8−2d所以a2024故选：C．【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知数列an为等差数列，则“m=4”是“a2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【解答过程】当m=4时，根据等差数列的性质可得a2当an为常数列时，有a由a2+am+因此“m=4”是“a2故选：A．【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知等差数列an是递增数列，且满足a3+a5=14，A．33 B．16 C．13 D．12【解题思路】由等差数列的性质，a2+a6=a3得解.【解答过程】由等差数列的性质，a2+a6=a3+a5=14，又a∴a故选：C.【变式3-3】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）数列an是等差数列，若a3a9=8，1A．22 B．4 C．43 【解题思路】根据等差数列性质得到1a【解答过程】1a3+故选：C.【题型4等差数列的判定与证明】【例4】（2023·浙江温州·统考三模）已知数列an各项为正数，bn满足an2=A．bn是等差数列 B．bC．bn是等差数列 D．b【解题思路】分析可知数列bn的每一项都是正数，由已知条件可得出b【解答过程】因为数列an各项为正数，bn满足an故对任意的n∈N∗，bn+1所以，数列bn所以，bnbn+1由等差中项法可知，数列bn故选：C.【变式4-1】（2023上·高二课时练习）已知数列an是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（

①a2n

②an+an+1

A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等差数列的定义判断．【解答过程】设{an}对于①，a2a2n对于②，anan对于③，3an+1−(3对于④，若an=n−5，则故选：C．【变式4-2】（2023上·天津蓟州·高二校考阶段练习）设数列an满足a(1)求an(2)证明：数列2kan（【解题思路】（1）由数列递推式求出首项，再得出n≥2时，a1+3a（2）由（1）的结果可得2ka【解答过程】（1）由题意知数列an满足a则n=1时，a1当n≥2时，a1则②-①得：2n−1an=2，故a故an（2）由（1）得2kan=k(2n−1)则bn+1故数列2kan（【变式4-3】（2023上·山东威海·高二统考期末）设Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前(1)求S1，S(2)求证：数列1S(3)求数列an【解题思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通过1Tn=Sn（3）当n≥2时，通过an=Sn−【解答过程】（1）由1Tn=Sn当n=1时，1T1=当n=2时，1T2=（2）对于1T当n≥2时，1T①÷②得Tn−1即Sn−1=S又1S∴数列1S（3）由（2）得1S∴S当n≥2时，an又n=1时，a1=S∴a【题型5等差数列通项公式的求解】【例5】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等差数列an满足a6+(1)求an(2)记Tn为数列an前n项的乘积，若a1【解题思路】（1）利用a6+a（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.【解答过程】（1）设an的公差为d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通项公式为an=2（2）因为a1<0，所以：得：当n≤5时，an<0；当n≥6时，从而T1又因为：T2=a1a故Tn的最大值为945【变式5-1】（2023·江西·校联考二模）已知数列an是公差为d的等差数列，且a1=1(1)当d取最大值时，求通项an(2)在（1）的条件下，求数列15n+1an的前n【解题思路】（1）由等差数列的性质，可得d=am−a1m−1=an（2）裂项相消即可.【解答过程】（1）由已知得d>0，数列an单调递增，不防设am=16,∴d=am−a1∵m与n越小，d越大，∴n−1=5m−1=3，∴m=4n=6，∴d=5（2）由（1）知：an=5n−4，∴15n+1∴S=1【变式5-2】（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知Sn为数列an的前n项和，且an(1)求an(2)若bn=3anan+1，数列b【解题思路】（1）根据给定的递推公式，结合“an=S（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和推理作答即可.【解答过程】（1）解：当n=1时，a1因为an>0，所以当n≥2时，an即an因为an>0，所以所以an是首项为4，公差为3的等差数列，故a（2）证明：因为bn所以Tn因为n∈N∗，所以，Tn【变式5-3】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）已知常数λ≠0，数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an(2)若cn=3n+【解题思路】（1）由a1=1和ann−1=Sn（2）根据数列cn是单调递增数列，得到3n+(−1)n【解答过程】（1）因为ann−1=因为an+1所以an+1化简得：an+1−a在an当n=2时，得a2∴数列{an}是以1故an=1+2λ(n−1)，（2）∵cn=3即3n+(−1)①当n是奇数时，−1+(2n−1)λ<3n，令f(n)=−3n+1f(n+2)−f(n)=−3f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…，且f(1)=−4，故λ>−4；②当n是偶数时，1+(2n−1)λ<3n，λ<3令g(n)=3n−1因为g(n+2)−g(n)=3所以g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…，且g(2)=83，所以综上可得：实数λ的取值范围是−4,8【题型6等差数列前n项和的性质】【例6】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列an的前n项和为Sn，S9=18,SA．9 B．212 C．12 D．【解题思路】根据等差数列前n项和的性质可得S3，S6−【解答过程】由已知S3，S6−S3，S所以2×S6−3故选：A．【变式6-1】（2023上·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列{an}中，a1=−2024，其前n项和为Sn，若A．2023 B．-2023 C．-2024 D．2024【解题思路】设{an}公差为d【解答过程】由{an}是等差数列，设公差为所以Snn=a1由S1010−所以S所以S20242024故选：C.【变式6-2】（2023上·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn与Tn,且SnA．2921 B．2911 C．5821【解题思路】由等差数列性质可得a3b11+a9b11=【解答过程】因为数列an、bn都是等差数列,所以又S11=11故a6=S1111在SnT2n−1=5n+3故a3故选：D.【变式6-3】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列an的公差为d，共前n项和为Sn，已知S16>0，A．a1>0，d<0 B．S8与SC．a8+a【解题思路】由等差中项性质与等差数列前n项和公式即可求解.【解答过程】依题意，因为S16S17所以a8由a8+a所以d=a9由a8=a所以a1对于B：因为S9=S因此，S8与S9不可能同为故选：B.【题型7\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差数列中的最大（小）项"求等差数列的前n项和】【例7】（2023·四川内江·统考一模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2(1)求an及S(2)若bn=an+1Sn⋅【解题思路】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，（2）根据裂项求和即可求解.【解答过程】（1）设公差为d，则由a2=3，a1+d=35所以an=1+2（2）bn故Tn【变式7-1】（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，a1(1)求an(2)若Sk≤2023恒成立，求正整数【解题思路】（1）根据题意，当n=1时，求得a2=2，当n≥2时，得到2Sn−1=（2）由（1）求得Sn=nn+12，结合当k≤63时，S【解答过程】（1）解：由题意，各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，满足a1当n=1时，2a1=当n≥2时，2Sn−1=因为数列an中各项均不为零，即a所以数列an中奇数项是以a偶数项是以a2当n=2k时，a2k=a当n=2k−1时，a2k−1=a综上，数列an的通项公式为a（2）解：由（1）知数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，可得S因为Sk≤2023，所以当k≤63时，Sk当k=64时，Sk故正整数k的最大值为63.【变式7-2】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，其中a2(1)求数列an(2)求数列an的前n项和为T【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出an（2）由等差数列的求和公式求出Sn，讨论当n≤7时，an=−an，Tn=−【解答过程】（1）设{an}则a2=a所以an（2）因为an=2n−14，所以当n≤7时，an=2n−14≤0，此时Tn当n>7时，an=2n−14>0，此时T=−S综上所述：Tn【变式7-3】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）设等差数列an前n项和Sn，a1=1，满足(1)求数列an(2)记bn=n+1SnSn+2，设数列b【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；（2）利用等差数列前n项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.【解答过程】（1）依题意有2a∵a1=1又an为等差数列，设公差为d∴d=a2−（2）由（1）可得Sn∴b1=1411−13∴T【题型8\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差数列中的最大（小）项"求等差数列的前n项和的最值】【例8】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设Sn为等差数列an的前n项和，且∀n∈N∗，都有SnA．Sn的最小值是S9 B．SC．Sn的最大值是S9 D．S【解题思路】由Snn<Sn+1n+1结合等差数列的前n项和公式可知数列an为递增的等差数列，由S5=【解答过程】由Snn<Sn+1所以数列an因为S5=S13，所以则a9<0，a10>0，所以当n≤9且当n≥10且n∈N∗时，an>0.因此，故选：A.【变式8-1】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知Sn为等差数列an的前n项和．若S12<0，a5+aA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】由已知结合等差数列的性质和前n项和公式，可推得a6>0，【解答过程】因为等差数列an中，S12=所以a1因为a5+a所以a7由an为等差数列，得n≤6时，an>0；n>6所以当n=6时，Sn故选：D.【变式8-2】（2023·四川自贡·统考三模）等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若S10<0，S11>0，则下列四个命题正确个数为（

）①S5为Sn的最小值

②a6>0

A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得a6>0，a5【解答过程】等差数列an中，S11=又S10=a1+a10于是可得等差数列an满足an+1−an=d>0，其为递增数列，则a1则四个命题正确个数为3.故选：C.【变式8-3】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，S15=30，A．当n=15时，Sn最大 B．当n=16时，SC．数列Sn中存在最大项，且最大项为S8 D．数列【解题思路】根据题意分析可得a1=2−7d，d<−4.对A：根据等差数列的前n项和的性质结合二次函数分析判断；对B：分类讨论判断S15与S【解答过程】设等差数列an的公差为d∵S15=15a8=30又∵S16=S对A：∵an为等差数列，则可设S由二次函数可知Sn对B：因为S16当d<−314时，S16当d=−314时，S16当−314<d<−4时，−30<对C、D：∵d<−4<0，则数列an且a8所以对∀n≤8,n∈N*，均有an>0；对所以Sn中，S8最大，故选：C.【题型9等差数列的简单应用】【例9】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（

）A．26 B．130 C．4213 【解题思路】根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列an,该等差数列的前30项和为390，首项a1=5，设公差为d，代入等差数列的前n项和公式，求出d【解答过程】设第n天的织布量为an,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列a该等差数列的前30项和为390，首项a1=5，设公差为所以S30=30×5+30×29所以a11所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.故选:B.【变式9-1】（2023·四川雅安·统考模拟预测）中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（

）A．4722 B．13166 C．12766【解题思路】根据给定条件，利用等差数列的第5项a5及公差d【解答过程】依题意，令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为{an},n∈于是得：a1+a2+所以中间二节容积之和为a4故选：A.【变式9-2】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（

）A．12 B．26 C．42 D．50【解题思路】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为an，首项为a1，公差为d=2，前n项和为Sn，由已知S16=432【解答过程】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为an，首项为a1，公差为d=2，前n项和为Sn所以S16=16×(所以a16故选：C．【变式9-3】（2023·四川达州·统考一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（

）A．754 B．755 C．756 D．757【解题思路】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以8为首项，15为公差的等差数列，再根据等差数列的前n项和公式即可得解.【解答过程】设除以三余二的正整数为数列an，则a除以五余三的正整数为数列bn，则b除以三余二且除以五余三的正整数为数列cn而3和5的最小公倍数为15，则数列cn是由数列an和数列cn是以8为首项，15则cn所以前10个数的和为10×8+143故选：B.1．（2023·全国·统考高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【解题思路】方法一：根据题意直接求出等差数列an的公差和首项，再根据前n方法二：根据等差数列的性质求出等差数列an的公差，再根据前n【解答过程】方法一：设等差数列an的公差为d，首项为aa2+a又a4a8所以S5故选：C.方法二：a2+a6=2a4从而d=a8−所以S5故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．−12 C．0 【解题思路】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【解答过程】依题意，等差数列{an}显然函数y=cos[2π3n+(a则在cosa1,cosa于是有cosθ=cos(θ+2π所以k∈Z，ab=故选：B.3．（2023·全国·统考高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【解答过程】方法1，甲：an为等差数列，设其首项为a1，公差为则Sn因此{S反之，乙：{Snn}为等差数列，即即nan+1−Sn两式相减得：an=nan+1−(n−1)因此an所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：an为等差数列，设数列an的首项a1，公差为d则Snn=反之，乙：{Snn即Sn=nS当n≥2时，上两式相减得：Sn−S于是an=a因此an所以甲是乙的充要条件.故选：C.4．（2022·北京·统考高考真题）设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】设等差数列an的公差为d，则d≠0【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x若an为单调递增数列，则d>0若a1≥0，则当n≥2时，an>a由an=a1+n−1d>0可得n>1−所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈假设d<0，令an=ak+当n>k−akd+1时，a所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N故选：C.5．（2022·全国·统考高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3=3S【解题思路】转化条件为2a【解答过程】由2S3=3S2即2a1+2故答案为：2.6．（2023·全国·统考高考真题）已知an为等差数列，bn=an−6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn(1)求an(2)证明：当n>5时，Tn【解题思路】（1）设等差数列an的公差为d，用a1,d表示S（2）方法1，利用（1）的结论求出Sn，bn，再分奇偶结合分组求和法求出Tn，并与Sn作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出Sn，bn，再分奇偶借助等差数列前【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d，而b则b1于是S4=4a1+6d=32所以数列an的通项公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)当n为偶数时，bn−1Tn当n>5时，Tn−S当n为奇数时，Tn当n>5时，Tn−S所以当n>5时，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)当n为偶数时，Tn当n>5时，Tn−S当n为奇数时，若n≥3，则T=32n2+52当n>5时，Tn−S所以当n>5时，Tn7．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列an的公差为d，且d>1．令bn=n2+na(1)若3a2=3(2)若bn为等差数列，且S99−【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{bn}为等差数列得出a1=d【解答过程】（1）∵3a2=3a1∴S又T3∴S即2d2−7d+3=0，解得d=3∴a（2）∵{b∴2b2=∴6(1a2−1a3∵d>1，∴a又S99−T99=99∴a50−2550a50=1当a1=2d时，a50=a当a