专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题5.1平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面向量的基本概念】 2【题型2平面向量的线性运算】 4【题型3向量共线定理的应用】 6【题型4平面向量基本定理的应用】 8【题型5平面向量的坐标运算】 11【题型6向量的线性运算的几何应用】 131、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解.【知识点1平行向量有关概念的归纳】1.平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】1.平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点3平面向量基本定理的探究】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点4平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【题型1平面向量的基本概念】【例1】（2023·北京大兴·校考三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【解答过程】由aa=bb表示单位向量相等，则由a=b表示a,所以“aa=b故选：B.【变式1-1】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足AB+BC=2AM，则A．12 B．1 C．22 【解题思路】根据几何关系求解.【解答过程】如图，AB+BC=AC=2AM，所以故选：C.【变式1-2】（2023·江苏盐城·统考三模）已知ABCD是平面四边形，设p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，则p是q的条件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答过程】在四边形ABCD中，若AB=2则AB∥DC，且AB=2DC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但AB=2故p是q的充分不必要条件.故选：A.【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（

）A．若AD=BC，则四边形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【解答过程】A选项，AD=BC，则AD//B选项，AD=13BC，则C选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，四边形ABCD是平行四边形；由于D选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，所以四边形ABCD为平行四边形；由于故选：D.【题型2平面向量的线性运算】【例2】（2023·浙江·统考二模）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA+2MB+2A．AB B．CD C．2AB D．【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.【解答过程】M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA=−所以MA+2故选：A.【变式2-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若DB=12AD，3CD

A．−2 B．2 C．−1 D．3【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.【解答过程】连接CD，如图所示：

因为DB=所以CD=所以3CD=CA故选：B.【变式2-2】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在△ABC中，D是线段BC上一点，满足BD=2DC,M是线段AD的中点，设BM=xAB+yA．x−y=−12 C．x−y=12 【解题思路】利用向量的线性运算，求出BM=−56【解答过程】因为D是线段BC上一点，满足BD=2DC，所以AD=又M是线段AD的中点，所以AM=所以BM=所以x=−56,y=故选：B.【变式2-3】（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形ABCD满足AB//CD，AC与BD交于点P，且AB=2CD=2BC，则下列结论错误的是（A．AP=2PC C．AP=23【解题思路】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【解答过程】依题意，显然△APB∽△DPC，故有ABCD即AP=2PC，PB=2PD，则AP=2又四边形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP=2在△ABD中，AP=又AC=故选：D.【题型3向量共线定理的应用】【例3】（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，EB=3DE，若AO=λAE+μBCA．−12 B．−2 C．12【解题思路】由EB=3DE，得到E为OD的中点，化简得到AE=12AO+【解答过程】因为平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，可得O为BD的中点，由EB=3DE，可得E为OD的中点，所以可得AO=2又由AO=λAE+μBC，所以故选：B．【变式3-1】（2023·甘肃武威·统考一模）已知正三角形ABC的边长为6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，则点A．23 B．3 C．33 【解题思路】由AP=32λAD+2μAE结合32λ+2μ=1【解答过程】因为3λ+4μ=2，所以32所以AP=λAB+μAE=12AC，则AP=所以点P在线段DE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值33故选：D.【变式3-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，AB=xAPx>0，ACA．34 B．94 C．3【解题思路】先利用向量的线性运算得到AG=x3【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以AM=12(AB又AB=xAPx>0，AC又P,G,Q三点共线，所以x3+y所以4x当且仅当xy+1=4(y+1)故选：B.【变式3-3】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）如图所示，O点在△ABC内部，D,E分别是AC,BC边的中点，且有OA+2OB+3OC=0，则A．32 B．23 C．43【解题思路】由题意可知O,D,E三点共线，且DEOD【解答过程】由OA+2OB+3又因为D,E分别是AC,BC边的中点，所以OA+OC=2所以2OD=−4OE所以O,D,E三点共线，且DEOD所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为32又△AEC的面积与△AOC的面积都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为32故选：A.【题型4平面向量基本定理的应用】【例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．4【解题思路】表达出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.【解答过程】由题意及图可得，∵BP=λ∴AP=∵AN=t∴AN=tt+1∵AP=∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=1故选：C．【变式4-1】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F是DE的中点，则A．12a+12b B．−【解题思路】根据向量的运算，利用基底向量a,b表示【解答过程】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，所以AF=AD+即AF=故选：C.【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知平行四边形ABCD，若点M是边BC的三等分点（靠近点B处），点N是边AB的中点，直线BD与MN相交于点H，则BHBD=（A．23 B．25 C．15【解题思路】设BM=a,BN=b，设BH=λ【解答过程】

设BM=a,BN=设BH=λBD，则BH=3λa+2λ因为BH=所以3λ=1−μ2λ=μ，解得λ=所以BH=15故选：C.【变式4-3】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解题思路】根据平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，根据面积比推出【解答过程】由Sa⋅OA由a⋅OA+b⋅OB根据平面向量基本定理可得−SbS所以SbSa延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，则SbSa=|AE||BE|，又所以CE为∠ACB的平分线，同理可得BF是∠ABC的平分线，所以O为△ABC的内心.故选：B.【题型5平面向量的坐标运算】【例5】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a+b)⋅(a【解答过程】因为a=(x,1)，b由(a+b即x2+1−又因为a∥b，所以联立x2−y2=3故|c故选C.【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD，则

A．23 B．2 C．3 【解题思路】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据AC=x【解答过程】以A为坐标原点，以AD为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(−1故AC=(则由AC=xAB+y即33故x+y=23故选：A.【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知向量a=−2,cosα，b=1,sinA．23 B．32 C．−2【解题思路】根据两个向量共线的坐标表示得出tanα，化简所求分式，再代入tan【解答过程】已知向量a=−2,cosα，则−2sinα−cossin=−1故选：A.【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=1,−1,b=−1,2,c=A．3 B．13 C．−13【解题思路】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件计算即可.【解答过程】由题意可知，na+b因为na+b整理得n=3m，即nm故选:A．【题型6\t"/gzsx/zj168399/_blank"\o"向量的线性运算的几何应用"向量的线性运算的几何应用】【例6】（2023·全国·模拟预测）在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ES

A．5+12 B．−5+12 【解题思路】将ES+PA转化为【解答过程】在五角星中，ES=RC，PA=∵AT∴DR∴RQ∴λ=1−故选：C.【变式6-1】（2023·吉林·统考一模）在直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的重心、外心、垂心、内心分别为G1，G2，G3，G4，若AGi=λiA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用△ABC的重心、外心、垂心、内心的位置特征，结合向量的线性运算，求出λi【解答过程】直角三角形ABC中，A=90°，D为BC中点，△ABC的重心为G1

AG则λ1=μ直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的外心为G2，则G2为

AG2=12直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的垂心为G3，则G3与A点重合，则λ3=μ直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的内心为G4，则点G

直角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，设内切圆半径为r，则S△ABC=1AGλ=ba+b+c,μ=λ2+μ2=1故选：B.【变式6-2】（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，AE=λAB+μAC，则A．−1,1 B．0,1 C．−1,2 D．0,2【解题思路】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC，CD，AD三种情况，求出λ+μ的取值范围.【解答过程】以B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设AB=1，则B0,0当点E在BC上时，设E0,m则−1,m=λ−1,0+μ−1,1，即当点E在CD上时，设Et,1则t−1,1=λ−1,0+μ−1,1，即故λ+μ=1−t∈0,1当点E在AD上时，设E1,u则0,u=λ−1,0+μ−1,1综上，λ+μ的取值范围是λ+μ∈0,1故选：B.【变式6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD=2CD=2CB=2，点P在线段BC上运动，若AP=xAB+yAD，则A．54