第08讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第08讲第七章立体几何与空间向量（基础拿分卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）下列四个命题中的真命题是（

）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面【答案】D【详解】对于A，B，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误，对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，故选：D2．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又，所以．故选：D3．（2022·江西宜春·高一期末）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的底面边长为48mB．正四棱锥的高为4mC．正四棱锥的体积为D．正四棱锥的侧面积为【答案】C【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，则为的中点，连接，则平面，，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，取，∴，则，，．在中，，解得，故底面边长为，正四棱锥的高为，侧面积为，体积．故选：C．4．（2022·湖南·邵东市第一中学高一阶段练习）已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【详解】对于A选项，，，则或，故A错误；对于B选项，，，则或或与斜交，故B错误；对于C选项，，，则或，故C错误；对于D选项，，，根据面面平行，可证得线面平行，即故选：D.5．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知，，如果与为共线向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为与为共线向量，所以，故选：D6．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，所以，整理得：，又由题知，由空间向量的基本定理知：解得所以.故选：C.7．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，由，则，，所以，，，，，因为为的中点，所以，，，所以，所以，即异面直线与所成角的为.故选：D.8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（

）A．存在点，使B．异面直线与所成的角最小值为C．无论点在线段的什么位置，都有D．无论点在线段的什么位置，都有平面【答案】B【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，所以，即，故A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设，则，，所以，，当且仅当，即点是线段中点时，等号成立，所以异面直线与所成的角的余弦值，所以的最小值小于，故B不正确；对于C，结合B选项的讨论，，，则，所以，故C正确；对于D，在正方体中，有，因为平面，平面所以，平面，平面，因为，平面，所以平面平面因为平面，所以，故D正确.故选：B二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·江苏·高一课时练习）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确.对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，B错误.对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面.所以C错误.对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.故选：AD10．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（

）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】ABD【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.11．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（

）A． B． C．2 D．【答案】CD【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设所以，，设为平面的法向量，则有：，令，可得，则点到平面的距离为，因为，所以距离的范围是.故选：CD.12．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为【答案】ABD【详解】A：，又，∴.B：∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴.对于C、D：，，所以D正确，C错误，故选：ABD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知向量则在上的投影向量的模为___________.【答案】【详解】因为，，所以；所以向量在向量上的投影向量的模．故答案为：．14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．【答案】平行【详解】因为是正方体，且棱长为，故以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示：则，由题可知，设点坐标为，则，故可得，即；，设点坐标为，则，故可得，即；故所在的方向向量为，又平面的一个法向量，故，故直线//面.故答案为：平行.15．（2022·北京·101中学高二阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：①；②；③.以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.【答案】若，则；若，则.【详解】如图,建立空间直角坐标系则设,则而所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:若,则若,则答案任填其中一个即可故答案为:若,则(若,则)16．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）在长方体中，已知，E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球半径为______，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为______．【答案】

##【详解】解：以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：依题意得：，，，则，，所以，则即；设为中点，因为，，则，所以点为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径为，设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以，故截面圆的半径为，所以截面圆面积为，故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知，.（1）若，分别求与的值；（2）若，且与垂直，求.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）由得：，即，解得：；（2），，又，，即，由得：，.18．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．（1）证明：A1C∥平面B1ED1；（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，因为EO1⊂平面B1D1E，A1C⊄平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），∴，，∴，设是面B1ED1的法向量⇒，令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，设B1D与面B1ED1所成角为θ，，∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积；（2），OA，OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，2，，1，，0，，1，，2，，设异面直线PM与OB所成的角为，则.异面直线PM与OB所成的角的余弦值为.20．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2)（1）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分别为，的中点，，1，，，1，，，0，，，2，，设平面的法向量为，则,即，令，则因为，，所以平面．（2）,,设点到平面的距离为，所以21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，为AD中点，，平面BDE，平面BDE，平面BDE.为BC中点，，又D、E分别为AP、PC的中点，，则.平面BDE，平面BDE，平面BDE.又，平面MFN，平面MFN，平面平面BDE，又平面MFN，则平面BDE；（2）底面ABC，.以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.，，0，，0，，4，，0，，2，，2，，则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得取，得.由图可得平面CME的一个法向量为..由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为，则正弦值为；（3）设，则0，，，.直线NH与直线BE所成角的余弦值为，.解得：.当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.22．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(