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专题06二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题,主要指的是在平面直角坐标系下,已知一条边(或两个顶点)的等腰三角形存在,求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”(1)以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有AB=AC;(2)以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分线,与x轴的交点即为满足条件的点C,有CA=CB.注意:若有重合的情况,则需排除.以点C1为例,具体求点坐标:过点A作AH⊥x轴交x轴于点H,则AH=1,又类似可求点C2、C3、C4.关于点C5考虑另一种方法.【方法2代数法】点-线-方程表示点:设点C5坐标为(m,0),又A(1,1)、B(4,3),表示线段:联立方程:,,总结:【典例分析】【考点1等腰角形的存在性】【典例1】(2020•泰安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在,请说明理由.【变式11】(2022•澄海区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点A的坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,3),对称轴为x=1.点M为线段OB上的一个动点(不与两端点重合),过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(1)求抛物线及直线BC的表达式;(2)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-2】(2022•荣昌区自主招生)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=ax2+x+c沿射线BC平移,B,C的对应点分别为M,N,当以点A,M,N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时,请直接写出点M的坐标,并任选其中一个点的坐标,写出求解过程.【典例2】(2020•贵港)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与线段BC交于点M,连接PC.当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.【变式2-1】(2022•东营)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)在对称轴上找一点Q,使△ACQ的周长最小,求点Q的坐标;(3)点P是抛物线对称轴上的一点,点M是对称轴左侧抛物线上的一点,当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时,请直接写出所有点M的坐标.【变式2-1】(2021•大渡口区自主招生)如图,若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x﹣3经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC.①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由;②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.专题06二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题,主要指的是在平面直角坐标系下,已知一条边(或两个顶点)的等腰三角形存在,求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”(1)以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有AB=AC;(2)以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分线,与x轴的交点即为满足条件的点C,有CA=CB.注意:若有重合的情况,则需排除.以点C1为例,具体求点坐标:过点A作AH⊥x轴交x轴于点H,则AH=1,又类似可求点C2、C3、C4.关于点C5考虑另一种方法.【方法2代数法】点-线-方程表示点:设点C5坐标为(m,0),又A(1,1)、B(4,3),表示线段:联立方程:,,总结:【典例分析】【考点1等腰角形的存在性】【典例1】(2020•泰安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=,(2)m=时,△ADE的面积取得最大值为(3)点P坐标为:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2)【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(﹣4,0)、B(2,0),C(0,6),∴,解得,所以二次函数的解析式为:y=,(2)y=的对称轴为x=﹣1,设P(﹣1,n),又E(0,﹣2),A(﹣4,0),可求PA2=9+n2,PE2=1+(n+2)2,AE2=16+4=20,当PA2=PE2时,9+n2=1+(n+2)2,解得,n=1,此时P(﹣1,1);当PA2=AE2时,9+n2=20,解得,n=,此时点P坐标为(﹣1,);当PE2=AE2时,1+(n+2)2=20,解得,n=﹣2,此时点P坐标为:(﹣1,﹣2).综上所述,P点的坐标为:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2).【变式11】(2022•澄海区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点A的坐标为(﹣1,0),点C坐标为(0,3),对称轴为x=1.点M为线段OB上的一个动点(不与两端点重合),过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(1)求抛物线及直线BC的表达式;(2)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线对称轴为x=1,点B与A(﹣1,0)关于直线x=1对称,∴B(3,0),设y=a(x﹣3)(x+1),把C(0,3)代入得:﹣3a=3,解得:a=﹣1,∴y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3,设直线BC的解析式为y=kx+d,则,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,故抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,直线BC的解析式为y=﹣x+3;(2)存在,设Q(m,﹣m+3)(0<m<3),∵A(﹣1,0),C(0,3),∴AC2=OA2+OC2=12+32=10,AQ2=(m+1)2+(﹣m+3)2=2m2﹣4m+10,CQ2=m2+m2=2m2,∵以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形,∴AC=AQ或AC=CQ或AQ=CQ,当AC=AQ时,10=2m2﹣4m+10,解得:m=0(舍去)或m=2,∴Q(2,1);当AC=CQ时,10=2m2,解得:m=﹣(舍去)或m=,∴Q(,3﹣);当AQ=CQ时,2m2﹣4m+10=2m2,解得:m=,∴Q(,);综上所述,点Q的坐标为(2,1)或(,3﹣)或(,).【变式1-2】(2022•荣昌区自主招生)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=ax2+x+c沿射线BC平移,B,C的对应点分别为M,N,当以点A,M,N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时,请直接写出点M的坐标,并任选其中一个点的坐标,写出求解过程.【解答】解:(1)将A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+x+c,∴,解得,∴y=﹣x2+x+2;(2)设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位,则沿y轴正方向平移m个单位,∴B点平移对应点M(4﹣2m,m),C的对应点N(﹣2m,2+m),∴AM=,AN=,MN=2,①当MN=AM时,=2,解得m=2+或m=2﹣,∴M(﹣2,2+)或(2,2﹣);②当MN=AN时,=2,解得m=或m=﹣(舍),∴M(4﹣2,);综上所述:M点坐标为(﹣2,2+)或(2,2﹣)或(4﹣2,).【典例2】(2020•贵港)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与线段BC交于点M,连接PC.当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3(2)①n=时,PM最大=②P(3﹣,2﹣4)或(2,﹣3).【解答】解:(1)将A,B,C代入函数解析式,得,解得,这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;(2)解法一:当PM=PC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n2﹣2n﹣3+3)2,解得n1=n2=0(不符合题意,舍),n3=2,n2﹣2n﹣3=﹣3,P(2,﹣3).当PM=MC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n﹣3+3)2,解得n1=0(不符合题意,舍),n2=3﹣,n3=3+(不符合题意,舍),n2﹣2n﹣3=2﹣4,P(3﹣,2﹣4).综上所述:P(3﹣,2﹣4)或(2,﹣3).解法二:当PM=PC时,∵BC:y=x﹣3∴∠ABC=45°∵PH⊥AB∴∠BMH=∠CMP=45°∴PM=PC时,△CPM为等腰直角三角形,CP∥x轴设P(n,n2﹣2n﹣3),则CP=nMP=﹣n2+3n∴n=﹣n2+3n解得n=0(舍去)或n=2,∴P(2,﹣3)当PM=CM时,设P(n,n2﹣2n﹣3),则=﹣n2+3n=﹣n2+3n∵n>0∴n=﹣n2+3n解得n=3﹣∴P(3﹣,2﹣4)综上所述:P(3﹣,2﹣4)或(2,﹣3)【变式2-1】(2022•东营)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)在对称轴上找一点Q,使△ACQ的周长最小,求点Q的坐标;(3)点P是抛物线对称轴上的一点,点M是对称轴左侧抛物线上的一点,当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时,请直接写出所有点M的坐标.【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),点B(3,0)代入y=ax2+bx﹣3,∴,解得,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)连接CB交对称轴于点Q,∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∵A、B关于对称轴x=1对称,∴AQ=BQ,∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC,当C、B、Q三点共线时,△ACQ的周长最小,∵C(0,﹣3),B(3,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=x﹣3,∴Q(1,﹣2);(3)当∠BPM=90°时,PM=PB,∴M点与A点重合,∴M(﹣1,0);当∠PBM=90°时,PB=BM,如图1,当P点在M点上方时,过点B作x轴的垂线GH,过点P作PH⊥GH交于H,过点M作MG⊥HG交于G,∵∠PBM=90°,∴∠PBH+∠MBG=90°,∵∠PBH+∠BPH=90°,∴∠MBG=∠BPH,∵BP=BM,∴△BPH≌△MBG(AAS),∴BH=MG,PH=BG=2,设P(1,t),则M(3﹣t,﹣2),∴﹣2=(3﹣t)2﹣2(3﹣t)﹣3,解得t=2+或t=2﹣,∴M(1﹣,﹣2)或(1+,﹣2),∵M点在对称轴的左侧,∴M点坐标为(1﹣,﹣2);如图2,当P点在M点下方时,同理可得M(3+t,2),∴2=(3+t)2﹣2(3+t)﹣3,解得t=﹣2+(舍)或t=﹣2﹣,∴M(1﹣,2);综上所述:M点的坐标为(1﹣,﹣2)或(1﹣,2)或(﹣1,0).【变式2-1】(2021•大渡口区自主招生)如图,若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x﹣3经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC.①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由;②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【解答】解:(1)对于y=x﹣3,令x=0,y=﹣3,y=0,x=3,故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),将点B、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;(2)设:点M(x,x﹣3),则点P(x,x2﹣2x﹣3),①有,理由:PM=(x﹣3)
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