第04讲函数的奇偶性专题讲义-高一上学期数学寒假复习人教A版

第04讲函数的奇偶性和周期性知识巩固1、函数的奇偶性定义偶函数奇函数定义如果对于函数的定义域内任意一个都有，那么函数是偶函数都有，那么函数)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)为偶函数；(2)为奇函数．注：判断函数奇偶性的两种方法①定义法： ②图象法：知识回顾1．判断下列说法正确与否．⑴奇函数的图象一定过原点．（）⑵偶函数的图象不一定与轴相交．（）⑶所有函数都可以表示成一个奇函数和偶函数的和．（）⑷有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数．（）2．判断下列函数的奇偶性如：判断下列函数的奇偶性：；（2）；（3）；（4）（5）3．已知为奇函数，当时，，则____；当时，________．4．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有．则（）A．B．C．D．2、周期性的定义：设函数，如存在非零常数，使得对任何且，则函数为周期函数。为函数的一个周期。3、常用结论（1）函数奇偶性常用结论①如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有；如果函数是偶函数，那么．如：1、设为增函数，且为偶函数，求的解集2、为定义在上的奇函数，当时，求为定义在上的解析式。（2）函数周期性常用结论；；（3）函数图象的对称性①若对于上的任意都有则的图象关于直线对称。②若对于上的任意都有则的图象关于对称。③若对于定义域内的任意都有，则函数是周期函数，周期为。【练习1】⑴若函数满足：，则的图象的对称轴为________；⑵若函数满足：，则的图象的对称轴为________；⑶若函数满足：，则的图象的对称轴为________．【练习2】如果函数满足下面的关系式，写出它的周期：（1）；（2）；（3）；．4、复合函数研究函数性质一般用换元法。考点分析考点1：函数奇偶性的应用【例1】（1）已知，且，则____．（2）已知和都是定义在上的奇函数，若在上有最大值，则在上的最小值为______．考点2：奇偶性与单调性综合【例2】（1）已知为奇函数，在上单调递增，，则的解集为______．（2）设偶函数满足，则的解集为________________．（3）定义在上的奇函数在上为增函数，则的解集为________．（4）已知定义在上的偶函数在区间上为减函数，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．（5）（培优专用）若定义在上的函数为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为____________．考点3：抽象函数的奇偶性【例3】（1）设函数的定义域为，对任意，，恒有成立．则是________（指明函数的奇偶性）．（2）（培优专用）若定义在上的函数满足：对任意实数，有，且．则函数是________（指明函数的奇偶性）．（3）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A．0B．C．1D．考点4：轴对称函数的性质【例4】（1）若函数在上为减函数，且对任意的，有，则（）A． B． C． D．（2）已知函数，当时，，且恒成立，则当时，________．（3）已知为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，，则当时，__________．（4）若函数满足：，则的图象的对称中心为________．考点5：中心对称函数的性质【例5】（1）已知函数当时，，且恒成立，则当时，________．（2）已知当时，，且恒成立，则当时，________．（3）（多选）已知是定义在上的函数且为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数不是奇函数 B．C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于点对称考点6：函数的周期性【例6】（1）若是上周期为的奇函数，且满足，，则（）A． B． C． D．（2）定义在上的函数满足且．则=______．（3）设定义在上的函数满足，若，则____________．（4）设函数是上的奇函数，且，则_____________．考点7：对称性与周期性综合问题【例7】（1）定义在上的偶函数满足，如果这个函数在上是增函数，则在上函数是（）A．增函数B．在上是减函数，在上是增函数C．减函数D．在上是增函数，在上是减函数（2）已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则的值是（）A．0 B．2 C． D．1课后巩固1、.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a1,2a],则 ()A.a=,b=0 B.a=1,b=1C.a=1,b=0 D.a=,b=12、已知函数为偶函数，则的值是（

）A． B． C． D．3、已知，若，则A．1 B． C． D．34、设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．5、若函数为奇函数，则（结果用数字表示）.6、已知函数为偶函数，且，则7、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为．8、已知定义在上的奇函数，当时，，当时，9、若定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．10、已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（

）A． B． C． D．11、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）12、下列函数为偶函数的是() A．B．C． D．13、若函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝()14、若函数为偶函数，则＝________.15、已知是定义在上的函数，且满足，当2≤x≤3时，，则＝___.16、设是定义在上的周期为3的函数，当时，则＝_____.17、设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为()18、已知定