高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题7.1复数的概念（重难点题型精讲）

专题7.1复数的概念（重难点题型精讲）1．数系的扩充与复数的相关概念(1)复数的引入

为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①=1，即i是方程+1=0的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.(3)复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共轭复数(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=abi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质①=z.

②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部.【题型1复数的分类】【方法点拨】分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断.【例1】（2022·高一课时练习）下列关于复数x+i的说法一定正确的是（

A．是虚数 B．存在x使得x+iC．不是实数 D．实部和虚部均为1【解题思路】根据复数的概念即可得解.【解答过程】由复数x+i当x=−i时，x+当x=0时，x+i=i由于x的取值未知，故D错误；故选：B.【变式11】（2022·高二课时练习）复数1−i，2，－1，i2，0，3iA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用复数的概念逐一判断即可.【解答过程】由复数的概念可知1−i，3故选：B.【变式12】（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．i表示虚数单位，所以它不是一个虚数B．−1的平方根是±C．biD．若z=aa∈R，则复数z【解题思路】用复数的相关概念判断即可【解答过程】A：i表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；B：由±i2=−1，可知−1C：当b=0,biD：若z=aa∈R，则复数z故选：B.【变式13】（2022春·高一课时练习）下列命题中，正确命题的序号是（

）①若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；②若a,b∈R且a>b，则a+i③若x2−1+④两个虚数不能比较大小.A．①③ B．② C．③④ D．④【解题思路】根据复数的基本概念及复数的分类，逐项判定，即可求解.【解答过程】①中，当a=−1时，(a+1)i=0为实数，所以不正确；②中，由a+i③中，由x2−1+x2所以不正确；④中，由虚数不能比较大小，所以两个虚数不能比较大小是正确的.故选：D.【题型2复数相等的充要条件】【方法点拨】复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.【例2】（2022秋·河南·高三阶段练习）设1+2ia+b=−2i，其中a,bA．a=1,b=−1 B．a=1,b=1C．a=−1,b=−1 D．a=−1,b=1【解题思路】根据复数相等可得答案.【解答过程】∵1+2解得a=−1b=1故选：D.【变式21】（2022春·广西·高二学业考试）若复数3+4i=3+bi，i为虚数单位，则b=A．1 B．2 C．4 D．5【解题思路】根据复数相等求解即可.【解答过程】因为3+4i=3+bi故选：C.【变式22】（2022·高一课时练习）已知x，y∈R，i为虚数单位，若（x1）+（y+1）i=2+i，则x，y的值为（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，1【解题思路】根据复数相等的定义即可求解.【解答过程】解：因为（x1）+（y+1）i=2+i，所以x−1=2y+1=1，解得x=3,y=0故选：A.【变式23】（2022·全国·高一专题练习）复数4−3a−a2i与复数a2+4aA．1 B．1或−4 C．−4 D．4【解题思路】利用复数相等的定义求解.【解答过程】因为复数4−3a−a2i所以4−3a=a解得a=−4．故选：C.【题型3复数的几何意义】【方法点拨】复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.【例3】（2022春·湖南株洲·高一期中）在复平面内，复数z=−2i+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据给定条件，利用虚数单位i的意义求出复数z即可判断作答.【解答过程】依题意，复数z=−2i+2×(−1)=−2−2i，所以复数z故选：C.【变式31】在复平面内，与复数z=−1−i的共轭复数对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由共轭复数定义，及复数与点的对应关系可得【解答过程】复数z=−1−i的共轭复数为z=−1+i故选：B.【变式32】（2022·高一课时练习）当1<m<2时，复数m2+i−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由复数的坐标即可判断.【解答过程】z=m2+若1<m<2，则2m−4<0，m−1>0，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【变式33】（2022秋·贵州贵阳·高三阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部”复数，若复数z=2+ai（其中a∈R）为“等部复数”，则复数z在复平面内对应的点在（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由实部和虚部相等求得z，再判断复平面内对应的点所在的象限即可.【解答过程】复数z=2+ai的实部为2，因为它实部和虚部相等，故a=2，所以z=2+2i，复数故选：A.【题型4共轭复数】【方法点拨】根据共轭复数的概念，进行求解即可.【例4】（2022秋·浙江金华·高二阶段练习）已知i为虚数单位，复数z=i+i2，则A．−1+i B．−1−i C．1+i【解题思路】先求出复数z，再根据定义可求其共轭复数.【解答过程】z=i+i故选：B.【变式41】（2022春·浙江宁波·高二学业考试）已知z=2−3i（i虚数单位），则z的共轭复数z的虚部为（

A．2 B．i C．3 D．3【解题思路】根据共轭复数定义得z=2+3【解答过程】由题设z=2+3故选：C.【变式42】（2022·高一单元测试）若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是（A．−2i B．−i C．i 【解题思路】由复数的类型有m+1=0且2m≠0，求参数m，进而写出z的共轭复数.【解答过程】由题意知：m+1=0且2m≠0，∴m=−1，即z=2i，故z的共轭复数是−2故选：A.【变式43】（2022秋·北京·高三期中）下列命题中，正确的是（

）A．1−2i的虚部是2 B．C．1−2i的共轭复数是−1−2i D．【解题思路】根据复数的概念，共轭复数的定义，复数在直角坐标系的表示方法即可求解.【解答过程】解：A选项：1−2i的虚部是−2B选项：|1−2iC选项：1−2i的共轭复数是1+2D选项：1−2i故选：B.【题型5复数的模的计算】【方法点拨】根据复数的模的计算公式，进行计算即可.【例5】（2023秋·吉林松原·高三期末）已知a，b∈R，若a+4i与3−bi互为共轭复数，则a+biA．8 B．7 C．6 D．5【解题思路】由a+4i与3−bi互为共轭复数，求出a,b的值，可解出【解答过程】a+4i与3−bi互为共轭复数，∴a=3,b=4，则有故选：D.【变式51】（2022秋·北京·高三阶段练习）已知复数z满足z=1−i，则z=（A．−1 B．1 C．2 D．2【解题思路】根据复数模的定义即可得到答案.【解答过程】|z|=1故选：C.【变式52】（2022秋·安徽宿州·高二期末）设z=2i1−i，则A．2 B．2 C．4 D．5【解题思路】根据运算之前的模等于运算之后的模可以很快求出答案.【解答过程】z故选：B.【变式53】（2022秋·广东·高三学业考试）若复数z满足z=−3+4i，则z=（A．1 B．5 C．7 D．25【解题思路】根据复数模的计算公式，可直接求得答案.【解答过程】因为复数z满足z=−3+4i，故z故选：B.【题型6复数的模的几何意义】【方法点拨】复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有|z|0，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.根据复数的模的几何意义，进行转化求解即可.【例6】（2022秋·广西·高二阶段练习）设z∈C，满足2≤z+i≤3，其在复平面对应的点为Z，求点A．1 B．5 C．π D．5【解题思路】复数z=x+yix,y∈R，根据复数的几何意义可知，满足【解答过程】设复数z=x+yix,y∈R，则z+i则2≤x+y+1i≤3等价于所以复平面对应的点为Zx,y表示复平面上以0,−1为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为9故选：D.【变式61】（2022·高一单元测试）满足1≤z≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为（A．π B．2π C．8π D．9π【解题思路】根据复数的几何意义可得构成图形为圆环，即可求出面积.【解答过程】满足1≤z≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为故选：C.【变式62】（2022秋·山东威海·高二阶段练习）已知复数z满足z−1=z−i，则在复平面上zA．直线 B．线段 C．圆 D．等腰三角形【解题思路】根据复数的几何意义，结合z−1=z−i，得到点P【解答过程】设复数z=x+yi根据复数的几何意义知：z−1表示复平面内点P(x,y)与点A(1,0)的距离，z−i表示复平面内点P(x,y)与点B(0,1)因为z−1=z−i，即点P(x,y)所以点P(x,y)在线段A,B的垂直平分线上，所以在复平面上z对应点的轨迹为直线.故选：A.【变式63】（2022春·陕西渭南·高二期末）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若z=1，则z=±1或B．若z+1=1，则点Z