新教材高中数学人教B版学案3-1-1第2课时函数的表示方法

第2课时函数的表示方法[课程目标]1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．知识点函数的表示方法[填一填](1)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．(2)图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法．(3)解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法．[答一答]某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．(1)该函数的定义域是什么？(2)y与x满足的关系式是什么？(3)试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．(4)试用图像表示x与y之间的关系．提示：(1)定义域为x∈{1,2,3,4,5}．(2)y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．(3)表格如下.铅笔数x/支12345钱数y/元0.511.522.5(4)如图．类型一函数的表示方法[例1]某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．[解]这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为：笔记本数x/个12345钱数y/元510152025用图像法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示：函数三种表示方法的适用范围1列表法适用于定义域是有限集的情形.2图像法适用于任何函数，函数的图像可以是连续不间断的曲线，也可以是间断的不连续的曲线或相应的点.3解析法适用于对应法则可以用一个数学式子表示的情形.4对于一个给定的函数其可以有几种不同的表示，比如fx＝1x∈R，也可以用图像来表示，此时图像是一条直线.[变式训练1]某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试分别用列表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：(1)该函数关系用列表法表示为：x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000(2)该函数关系用图像法表示，如图所示．(3)该函数关系用解析法表示为y＝3000x，x∈{1,2，3，…，10}．类型二作函数的图像[例2]作出下列函数的图像，并求出其值域：(1)y＝eq\f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.[解](1)用列表法可将函数y＝eq\f(x,2)＋1，x∈[1,5]，x∈Z表示为：x12345yeq\f(3,2)2eq\f(5,2)3eq\f(7,2)图像如图．值域为{eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)}．(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧(如图所示)．值域为[－5,3)．1.作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像.2.函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数的图像：(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝x2－2x－3(x∈R)；(3)y＝eq\f(x2－x,x－1).解：(1)函数y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)的定义域为{－2，－1,0,1,2}，图像为五个点，这些点在直线y＝1－x上．列表：x－2－1012y3210－1所画函数图像如图1.(2)函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4且当x＝－1,3时，y＝0；当x＝1时，y＝－4；当x＝0时，y＝－3.所画函数图像如图2.(3)函数y＝eq\f(x2－x,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．则y＝eq\f(x2－x,x－1)＝x，函数图像如图3.类型三函数表示法在实际问题中的应用[例3]下列图像中，哪几个图像与下述三事件分别吻合得最好？请你为剩下的那个图像写出一件事．(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停车思考一番，于是返回家里找到了作业本再上学；(2)我骑着车一路匀速行驶，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．[解](1)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后来发现作业本忘家里了，返回家的过程中离开家的距离又逐渐减小；找到作业本后离开家的距离又逐渐增大，故(1)对应D.(2)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后因为交通堵塞，在一段时间内没有前进，因此离开家的距离未变化；交通通畅后继续前进，离开家的距离又逐渐增大，故(2)对应A.(3)刚开始缓缓前进，所以离开家的距离缓缓增加；加速后离开家的距离急剧增加，故(3)对应B.剩下的图像C为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢．函数表示在实际问题中的解题策略1提取信息：仔细阅读题目条件、认真观察分析图像或数表中的信息，不轻易放弃对提供的条件、图像、图形和数据的利用，在解答过程中要尽可能地利用题目所提供的数据和信息.2合理选择：根据实际问题的特征选择合适的方法表示函数，比如自变量有限函数值确定则可以选择列表法也可以用图像法，如果自变量的取值为区间的形式则一般选择解析法.[变式训练3]某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间适合关系式：y＝ax＋eq\f(b,x).且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y关于x的解析式．(2)用列表法表示此函数．解：(1)把x＝2，y＝100；x＝7，y＝35分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,7a＋\f(b,7)＝35，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196，))∴函数解析式为y＝x＋eq\f(196,x)(x∈N*,0<x≤20)．(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8类型四待定系数法求函数解析式[例4]求满足下列条件的二次函数的解析式．(1)已知二次函数的图像经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2，5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图像上；(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上．[解](1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定．根据已知条件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，,4a－2b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))因此所求函数为y＝x2－2x－3.(2)设所求函数为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根据已知条件得：a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，因此所求函数为y＝－eq\f(1,2)(x－4)2＋2＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6.(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，∴顶点A(2，h－4)，由已知得：(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，因此所求函数为y＝x2－4x－5.用待定系数法求函数解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后解出待定系数即可.注意设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，要根据条件选取适当的形式.[变式训练4]二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，可知二次项系数相同，若顶点坐标为(h，k)，则其解析式为y＝a(x－h)2＋k.(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)的图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2(x＋1)2与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.1．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图形中，能表示f(x)的图像的只可能是(D)解析：作一条垂直于x轴的直线，此直线与图像有唯一交点的图像可能为函数f(x)图像，从而选项A、C不正确，再结合定义域、值域可得只有选项D正确．故选D.2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(D)A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.3．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像形状一样，