人教版高中数学必修二 平面与平面垂直的性质学案

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.4平面与平面垂直的性质学案

【学习目标】

1.理解平面与平面垂直的性质定理.（重点）

2.能灵活应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系.（重点、

难点）

3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.（重点）

【要点梳理夯实基础】

知识点平面与平面垂直的性质定理

［思考辨析学练结合］

1.（1）如果a，B，则a内的直线必垂直于p内的无数条直线吗？

［答案］正确.若设anp=l,aua,bcp,b±l,则aJ_b,

故0内与b平行的无数条直线均垂直于a内的任意直线.

（2）如果a，p,过B内的任意一点作a与0交线的垂线，则这条直线必垂直

于a吗？

［答案］错误.垂直于交线的直线必须在平面p内才与平面a垂直，否则不垂

直.

2.在长方体ABCD-A］B］CiD］的棱AB上任取一点E,作EF±AiB］于F,则

EF与平面AJCQi的关系是()

A.平行B.EFu平面

C.相交但不垂直D.相交且垂直

［解析］在长方体ABCZX4向G2中,平面平面A卢且平面

一14叫0平面AiBiCiDl=A［Bl,

又Ebu面A|AB8］,EF^AXBX,

...EF_L平面4片£。］,答案D正确.

［答案］D

【合作探究析疑解难】

考点1面面垂直性质定理的应用

［典例1］如图所示，P是四边形A6C。所在平面外的一点，四边形A8CO是

边长为。的菱形且ND4B=60。，侧面外。为正三角形，其所在平面垂直于底面

ABCD.

⑴若G为的中点，求证：平面公。；

(2)求证：AD1PB.

［分析］

(1)|菱形ABC。,ZDAB=60°\—“△A8O为~正三角形|

面以0,底面极力

—>\BG1AD\-------------->\BG1^PAD\

(2)要证只需证AZ)_L平面P3G即可.

［解答］(1)如图，在菱形ABC。中，连接6。，由已知ND4B=60。,

.•.△A3。为正三角形，

•.'G是A。的中点，

：.BG1AD.

•.•平面玄。，平面ABCD,

且平面以DC平面ABCD=AD,

...36_1_平面PAD.

⑵如图,连接PG.

•.•△以。是正三角形，G是A。的中点，

J.PGA.AD,由(1)知BGLAO.又•.•PGryBG=G.

...A0，平面PBG.

而P8u平面PBG.：.AD1PB.

［方法总结］

1.证明或判定线面垂直的常用方法

(1)线面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性质定理；

(3)若a〃〃，a_La,则b_La(a、b为直线，a为平面)；

(4)若a//P，则a_L£(a为直线，a,4为平面).

2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂

直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.

跟踪练习］

1.如图，四棱锥V-A6C。的底面是矩形，侧面以山，底面又V8_L

平面例£).求证：平面V5C_L平面VAC.

［证明］•.•平面底面A8C。，且

,8C_L平面以8,：.BC±VA,

又V8J_平面VAD,：.VBLVA,又VBHBC=B,

平面VBC,

•.•%u平面VAC.

平面平面VAC.

考点2垂直关系的综合应用

探究1如图，A,B,C,D为空间四点.在AABC中，AB=2,AC=BC

=#,等边△AO8以A5为轴转动.当平面AZ)B_L平面ABC时，能否求C0的

长度？

［解析］取的中点E,连接。区CE,因为△A08是等边三角形，所以

当平面408,平面ABC时，因为平面力。Bfl平面ABC=AB,所以0E_L

平面ABC,可知£>E_LCE,由已知可得。E=/，EC=\,在RSOEC中，CD

=yjDE2+EC2=2.

D

探究2在上述问题中，当AAOB转动时，是否总有ABLCO?证明你的结

论.

［解析］①当。在平面ABC内时，因为AC=BC,AO=B£>,

所以C,。都在线段A3的垂直平分线上，AB±CD.

②当。不在平面ABC内时，由探究1知A8LOE

又因AC=BC,所以ABLCE.又DE,CE为相交直线，所以A3,平面C0E,

由COu平面C0E,得A8_LCD综上所述，总有A3,CD

探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.

［分析］垂直问题转化关系如下所示：

面面垂直的定义

L_£划定定理^.判定义跳,,

［典例2］如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,CD=2AB,平

面以。_1_底面ABC。，PA±AD,E和尸分别是CD和PC的中点.求证：(1)勿1_

底面ABCD；

(2)BE〃平面PAD^

(3)平面平面PCD.

［分析］(1)利用性质定理可得以，底面ABCD-,

(2)可证8E〃A0,从而得BE〃平面B4O；

(3)利用面面垂直的判定定理.

［解答］(1)因为平面以。，底面ABC£>,S.PALAD,所以勿，底面A8CD

(2)因为A8〃C£>,CD=2AB,E为CO的中点,

所以A8〃OE,且A8=D£

所以四边形ABED为平行四边形.

所以BE〃AD.

又因为BEC平面布。，4£>u平面©LD,

所以BE〃平面PAD.

(3)因为ABLA。，而且A5E0为平行四边形,

所以BE_LC£>,ADLCD.

由(1)知外，底面ABC。，

所以R1LCD

又A£>"4=A,

所以C£>J_平面PAD.

所以CDLPD.

因为E和尸分别是CD和PC的中点，

所以P0〃ER所以C0LEF.

又EFCBE=E,

所以平面BEF.又COu平面PCD,

所以平面8EF,平面PCD.

「方法总结］

1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方

法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的

性质定理.

2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三

点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直

于它们的交线.

［跟踪练习］

2.如图，在三棱锥P-4BC中，E,尸分别为AC,的中点.

（1）求证：£尸〃平面以8；

（2）若平面平面ABC,且以=PC,ZABC=90°.

求证：平面PEF,平面PBC

［证明］(1)：E,产分别为AC,8C的中点，又ERt平面附8,

ABu平面PAB,

...EF〃平面PAB.

(2)；E4=PC,E为AC的中点，

：.PE.LAC.

又•平面PACL平面ABC,

.•.尸£_1_平面ABC,：.PE±BC.

义•：F为BC的中点,：.EF//AB.

"：ZABC=90°,：.BC±EF.

，：EFQPE=E,.•.BC，平面PEE

又•.'BCu平面PBC,

，平面P5C，平面PEF.

【学习检测巩固提高】

题型一平面与平面垂直的性质及应用

1.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB，平面SBC,AB±BC,过点A作

AF_LSB,垂足为F.求证：BC±SA.

［证明］⑴因为平面SAB,平面SBC,平面SABA平面SBC=SB,AFu平面SAB,

AF_LSB,

所以AF_L平面SBC.

又因为BCu平面SBC,所以AFLBC.

因为AB_LBC,AFf!AB=A,

所以BC,平面SAB.

又因为SAu平面SAB,所以BCLSA.

2.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB,平面ABC,△VAB为等边三角形,

ACLBC且AC=BC=V5,0,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证：VB〃平面M0C；

(2)求证：平面M0C_L平面VAB；

(3)求三棱锥V—ABC的体积.

［证明］(1)；0,M分别为AB,VA的中点，

，0M〃VB.

•.•VBC平面MOC,OMu平面M0C,

...VB〃平面MOC.

(2)VAC=BC,。为AB的中点，AOCIAB.

又•.•平面VAB_L平面ABC,且平面VABA平面ABC=AB,OCu平面ABC,

.•.0（：_1_平面VAB.

'.'OCu平面MOC,

平面MOC_L平面VAB.

(3)解：在等腰三角形ABC中，AC=BC=q2,

，AB=2,OC=1,

,'S&VABAB2=y/3.

4

•.,OC_L平面VAB,

•••Vv_ABC=Vc—VAB=f

［解题感悟］

I.证明或判定线面垂直的常用方法：

(1)线面垂直的判定定理；

(2)面面垂直的性质定理；

(3)若a〃b,a_La,则b_La(a,b为直线，a为平面)；

(4)若a_La,a〃0,则a_L|3(a为直线,a,0为平面)；

2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法

是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.

题型二线线、线面、面面垂直的综合应用

3.如图，直四棱柱ABCD—A|B[C]D]中，AB〃CD,ADJ_AB,AB=2,AD=75，

AA］=3,E为CD上一点，DE=1,EC=3.

(1)证明：BE_L平面BB［C］C；

(2)求点B,到平面EAQi的距离.

［证明］(1)过B作CD的垂线交CD于F,

则BF=AD=&EF=AB-DE=1,FC=2.

在RtABFE中，BE=76.

在RtACFB中，BC=76.

在△BEC中，因为BE2+BC2=9=EC2,

故BE±BC.

由BB|_L平面ABCD得BE，BB1,

又BBQBC=B,所以BE,平面BB|C]C.

(2)三棱锥E—A]B[C]的体积

=

V=QA]A/SAA|B1C1\/2•

在RtAA,D,C,中，A,C,=j'AD2D=3淄.

11111v11+11

同理，EC]=JEC2+CC2=372,

A1E={'A产+AD2+DE2=26.

故SAAICIE=34.

设点B1到平面A|C|E的距离为d,

则三棱锥B1-A|C|E的体积

V=ldSAAIC|E=V5d.

从而d=yi2,d=.

即点B1到平面EAgi的距离为岸.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，ZDAB=60°,

侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD±PB；

(2)若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到一点F,使平面DEF_L平面

ABCD?并证明你的结论.

(1)［证明］过设G为AD的中点，连接PG,BG,如图.

因为△PAD为等边三角形，

所以PG±AD.

在菱形ABCD中，ZDAB=60°,

G为AD的中点，所以BGLAD.

又因为BGnPG=G,

所以AD,平面PGB.

因为PBu平面PGB,所以AD_LPB.

(2)［解］过当F为PC的中点时，满足平面DEF,平面ABCD.

如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF〃PB.

在菱形ABCD中，GB〃DE,

4B

而EFu平面DEF,DEu平面DEF,EFCDE=E,

所以平面DEF〃平面PGB.

由（1）,得PG_L平面ABCD,

而PGu平面PGB,

所以平面PGB_L平面ABCD.

所以平面DEF_L平面ABCD.

［解题感悟］

证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法

是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性

质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三

点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直

于它们的交线.

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系

2.3.4平面与平面垂直的性质课时检测

一、选择题

1.平面a_L平面6直线a〃a,则（）

A.aA./3B.a///3

C.a与《相交D.以上都有可能

［答案］D

2.平面an平面4=/,平面W，则（）

A.l//yB.luy

C.I与y斜交D.Z±y

［解析］在丫面内取一点0,

作0E，m,0F±n,

由于「_1_丫，ynp=m,

所以0E上面0,所以OELl,

同理0FL1,OEAOF=O,

所以l±y.

［答案］D

3.下列命题中错误的是（）

A.如果平面a,平面夕，那么平面a内一定存在直线平行于平面夕

B.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面

C.如果平面aJ_平面平面AL平面-aC£=l,那么/J_平面/

D.如果平面。，平面夕，那么平面a内所有直线都垂直于平面夕

［解析］如果平面aJ_平面夕，那么平面a内垂直于交线的直线都垂直于平面夕，

其他与交线不垂直的直线均不与平面夕垂直，故D项叙述是错误的.

［答案］D

4.若平面a与平面尸不垂直，那么平面a内能与平面用垂直的直线有（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

［解析］若存在1条，则a，B，与已知矛盾.］

［答案］A

5.设a—l—R是直二面角,直线aua,直线bu§,a,b与I都不垂直，那么（）

A.。与6可能垂直，但不可能平行

B.。与〃可能垂直，也可能平行

C.。与匕不可能垂直，但可能平行

D.。与6不可能垂直，也不可能平行

［答案］C

6.已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是（）

①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意

一条直线

③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上

④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面

A.4B.3C.2D.1

［答案］B

7.如图所示，平面a_L平面夕，Ada,BG}A8与两平面a、4所成的角分别

为g和a过A、8分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A'、B',则

等于（）

A.2：1

B.3：1

C.3：2

D.4：3

［角窣析］如图：由已知得AA」面P，

,71

/ABA，、

7t

BBU面a,NBAB，=4，

设AB=a,则BA'=«a,BB'="a,

在RM.BA'B'中，A'B'=ga,

［答案］A

二、填空题

8.四棱锥P—ABC。的顶点P在底面ABC。中的投影恰好是A,其三视图如图:

(1)根据图中的信息，在四棱锥产一A5C。的侧面、底面和棱中，请把符合要

求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：

①一对互相垂直的异面直线;

②一对互相垂直的平面;

③一对互相垂直的直线和平面;

(2)四棱锥P—ABCD的表面积为

［解析］(2)依题意：正方形的面积是a2,

S&PAB-PAD_232,

又PB=PD=^a,..SAPBC-S&PCD

所以四棱锥p—ABCD的表面积是S=2a2+娘a2.

［答案］(1)①PALBC(或PA±CD或AB±PD)②平面PAB_L平面ABCD(或平

面PAD,平面ABCD或平面PAB,平面PAD或平面PCD,平面PAD或平面

PBCJ_平面PAB)③PAJ_平面ABCD(或AB_L平面PAD或CD,平面PAD或

AD_L平面PAB或BCL平面PAB)

(2)2a2+，2a2

9.如图，空间四边形ABC。中，平面平面8C。，N8A0=9O。，且A6=

AD,则AO与平面68所成的角是.

［解析］过A作AO,8。于。点,

•.•平面平面BCD,

.,.AO_L平面BCD,

则NA。。即为A。与平面8C£>所成的角.

'：ZBAD=90°,AB=AD.

：.NA£>O=45°.

［答案］45°

10.若a邛,aC/3=l,点、PGa,PD/&1,则下列命题中正确的为.（只

填序号）

①过P垂直于I的平面垂直于做

②过P垂直于I的直线垂直于3,

③过P垂直于a的直线平行于小

④过P垂直于B的直线在a内.

［解析］由性质定理知②错误.

［答案］①③④

11.a、夕、>是两两垂直的三个平面，它们交于点。，空间一点尸到a、4、y的

距离分别是2cM、3cM、6cM,则点P到O的距离为.

［解析］P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6为长、宽、高的长方体的对角线

的长.

［答案］7cm

12.在斜三棱柱ABC—中，NBAC=90。,BCtlAC,则点g在底面ABC

上的射影H必在________.

［解析］由AC_LBC］,ACLAB,

得又ACu面ABC,

.•.面ABCJ面ABC.

AC,在面ABC上的射影H必在交线AB上.

［答案］直线AB上

三'解答题

13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，平面PC£>J_平面A5CD

求证：平面PCD.

［证明］在矩形ABC。中，AO_LC0,因为平面PC0_L平面A5C0,

平面peon平面ABC£>=C£>,A£>u平面ABC。，所以AO_L平面PCD.

10.如图，在三棱锥产一ABC中，用，平面48C,平面平面PBC.

求证：BCLAB.

证明：在平面PAB内，作ADLPB于D.

•.•平面PAB，平面PBC,

且平面PABC平面PBC=PB.

.•.AD_L平面PBC.

又BCu平面PBC,

AADIBC.

又YPA，平面ABC,BCu平面ABC,

APA1BC,，BCJ_平面PAB.

又ABu平面PAB,ABC1AB.

15.如图所示，P是四边形ABC。所在平面外的一点，四边形A8C0是ND48

=60。且边长为。的菱形.侧面以。为正三角形，其所在平面垂直于底面A8CD

(1)若G为A0边的中点，求证：8G,平面以0；

证明：(1)连接PG,由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点,

/.PG±AD.

又平面PAD，平面ABCD,

.•.PG_L平面ABCD,APG1BG.

又•.•四边形ABCD是菱形且NDAB=60°,:.BG±AD.

又ADCIPG=G,，BGJ_平面PAD.

(2)由(1)可知BGJ_AD,PG±AD.

所以AD_L平面PBG,所以ADLPB.

16.如图所示，△ABC为正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,且CE=C4=2B。,

M是E4的中点，求证：

(l)DE=DA；

(2)平面平面ECA；

⑶平面£>EA_L平面ECA.

［证明］(1)如图所示，

取EC的中点F,连接DF,'.'EC，平面ABC,

AECIBC,又由已知得DF〃BC,ADF1EC.

在/?/△EFD和R3DBA中，

VEF=1EC=BD,

FD=BC=AB,

?./?/△EFD丝RSDBA,

故ED=DA.

(2)取CA的中点N,连接MN、BN,则MN然;EC,

，MN〃BD,，N在平面BDM内，

•.,EC_L平面ABC,/.EC±BN.又CA_LBN,

，BN，平面ECA,BNu平面MNBD,

平面MNBDJ_平面ECA.

即平面BDM_L平面ECA.

(3)VBD=^EC,MN=^EC,

ABD然MN,

AMNBD为平行四边形，

，DM〃BN,'.•BN，平面ECA,

...DM，平面ECA,又DMu平面DEA,

平面DEA_L平面ECA.

17.如图，棱柱如5。一45c的侧面5CCI4是菱形,B］C_LA/.

(1)证明：平面平面&BG；

(2)设。是4G上的点且从卢〃平面81C。，求缁的值.

R