2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评六十五

核心素养测评六十五

圆锥曲线与其他知识的交汇问题

（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.若直线y=kx-2与抛物线yz=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且

|厶/|，4,|3尸|成等差数列，则卜=（）

A.2或-1B.-1

C.2D.1±V5

【解析】选C.设A(x,y),B(x,y).

1122

由卩=kx-2,消去y,得k2X2-4伏+2)X+4=0,故

ly2=8x

△=16依+2)2-16k2=64(l+fc)>0,

解得k>-1,且x+xdQ).

1

2k2

由MF|二x七=X+2,|8F|二x之;X+2,且l/lFl，4,成等差数列,

1,12,2

得x+2+x+2=8,得x+x=4,

1212

所以“"+2)=4解得k=T或k=2,

又k>-1,故k=2.

-1-

22

2.如图,F,F分别是双曲线匚==1色>0,b>0）的两个焦点，以坐标原点0为圆

12”2方2

心，叫为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点，若与2AB是等边三角形，则双

曲线的离心率为（)

A.痣B.2C.TD,6+1

【解析】选D.连接AF,依题意知:

1

|4引2c居即=2|4FI|，

所以2a=|4F2门4F]|:(61)|4居|,

ag/Fj=v?+1

a(毎1)|用|

3.已知抛物线C:y2=x,M为X轴负半轴上的动点,MA,MB为抛物线的切线,A,B分别

为切点，则加,丽的最小值为（）

A.--B.丄C.丄D.-1

R4?

【解析】选A.设切线MA的方程为x=ty+m.

代入抛物线方程得y2-ty-m=0.

由直线与抛物线相切得A=t2+4m=0,m=-—,

4

所以M（_?,0），则人号》号勺

-2-

故MA•MB*,j）*（一，-）三三（产《

当t=±—•丽的最小值为一丄.

?16

222

4.已知双曲线C:匚-y2=l,双曲线C:二-二=l（a>b〉O）的左、右焦点分别为F,F,M

1A2C2b212

是双曲线C的一条渐近线上的点，且0M丄MF,0为坐标原点，若△OMF的面积S=16,

222

且双曲线C,C的离心率相同,则双曲线C的实轴长是（）

122

A.32B.16C.8D.4

【解析】选B.双曲线C：t-y2=1的离心率为止，

147

设F（c,0）,双曲线C一条渐近线方程为y丄x,

22a

则|FM|=2L^=b,即|0M|=；c2_b2=a）

2va2+62\

由S=16得丄ab=16,即ab=32,又a?+b2=C2,£="，解得a=8,b=4,c=4j^,即双曲线的

2n2

实轴长为16.

二、填空题（每小题5分，共20分）

廿2.,2

5.若点0和点F分别为椭圆L七二=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，

QA

则而•加的最小值为.

"2.,2

【解析】点P为椭圆土3-=1上的任意一点，

9«

设P（X,y）（-3WxW3,-2、2WyW20，依题意得左焦点F（-1,0）,所以

OP=(x,y),FP=(x+1,y),

-3-

所以FP•0P=X(x+1)+y2=X2+x+匸J'=±X2+X+8.

9g

记f(x)」xz+x+8,对称轴x=--,

9?

又x£[-3,3],

所以f(x)在[-3,3]上单调递增，故f(x)2f(-3)=6,所以行-万的最小值为6.

答案：6

6.阿基米德(公元前287年一公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的

数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心

率为3面积为20五，则椭圆C的标准方程为.

22

【解析】依题意设椭圆C的方程为匚+J=1(a>b>0),则椭圆C的面积为

22

S二JIab=20u，又e=解得32=25,b2=16.则椭圆C的标准方程为匕+==1.

答案:二+二二1

7g1G

7.已知平面上有两定点A、B,该平面上一动点P与两定点A、B的连线的斜率乘

积等于常数m(m£R),则动点P的轨迹可能是下面哪种曲线:①直线;②圆;③抛物

线;④双曲线;⑤椭圆________(将所有可能的情况用序号都写出来).

【解析】设|AB|=2a(a>0),以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建

立平面直角坐标系，则A(-Q,0),B(Q,0),

-4-

设P的坐标为（x,y）（x扌±a）,

则k='k二^—,

PAr-FaPBx-a

由题意，—:—•=m,艮卩y2=mx2-ma2.

r+nx-a

当m=0时，方程化为y=0,表示直线；

当m=-1时，方程化为X2+y2=a2,表示圆；

22

当m>0时，方程化为［-壬=1,表示双曲线；

22

当m<0且mHT时，方程化为匚+上-=1,表示椭圆，所以动点P的轨迹可能是:①

一me?

直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆.

答案:①②④⑤

8.（2020•宿州模拟）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上异于顶点0

的一点，点B的坐标为（a,b）（其中a,b满足b2-4a<0）.当|+|AF|最小时,AABF

恰为正三角形,则a=.p|

【解析】依题意巴=1,抛物线的焦点坐标为F（l,0）.根据抛物线的定义可知，当AB

垂直抛物线的准线时，|4B|+|AF|取得最小值，

因为4ABF为等边三角形，所以|AF|=|BF|=|AB|,

-5-

又由抛物线定义得|AM|二|AF|,

所以|AM|=|AB|,所以A为MB中点，

故A1,力，由于三角形ABF为等边三角形，

而B(Q.1)，根据对称性有!■><(%+Q)=1,

解得a=3

答案:三

a

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知椭圆C:二+二1(a>b>0)的一个焦点为F(l,0),点壁)在C上.

滔h2[“？)

(1)求椭圆C的方程.

(2)若直线1:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点，问y轴上是否存在点M,使得4ABM

是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理

由.

【解析】(1)由题意可得c=1,点P(^任)在C上，所以丄+3=1,又

4J9Q23b2

32=62+02=62+1,

22

解得32=4,b2=3,所以椭圆C的方程为上工=1.

4.3

⑵假设v轴上存在点M(0,使aABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，

-6-

(x2y2_

+-

设AQi,%),B(x?,%),线段AB的中点为N(x0,yn),TT,消去V

ly=x+m

可得7x2+8mx+4m2-12=0,

2

A=64m2-28(42)=48(7-m2)>0,解得m2<7,所以x+x=--,

所以X二:止2二一%:,y=x+m=四,所以N(——也)，依题意有AM丄BM,MN丄I,

077007V7377

2m

由MN丄I,可得5X1=T，可得t二-三；

。干喲7

由AM丄BM可得上・红工=7,

小孙

因为y=x+m,y=x+m,代入上式化简可得

1122

2xx+

12(m-t)(zl+X2)+(m-t)2=0,

则2(4m212)_(8m)2+(8m)[

解得m=±yj3,

满足题意.

22

1。.如图,已知椭圆q三+纟口（b＞。）的左焦点F与抛物线q：产-2Pxs＞。）的焦点

重合,M是q与q在第二象限内的交点，抛物线的准线与X轴交于点E,且IMEI?

-7-

(1)求椭圆C及抛物线C的方程.

12

⑵过E作直线1交椭圆C于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得

1

NA­而为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由两曲线焦点重合，知屮炉与

由椭圆的对称性，知E为椭圆的右焦点，连接MF,

由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,

则|MF|=4一二二.

33

设M(x,y),过点M作准线的垂线，垂足为H,

MM

由抛物线的定义知=

a

因而y二亿)232x=~±,

M'%丿％丿R片3P

代人中，得丄+卫二1,

4b2加2彳82

与，4^炉亭关立，

22

得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为匚+匚=1,

4.3

抛物线的方程为y?=-4x.

(2)由(1)知E(1,0),若直线I的斜率存在,

设直线方程为y=k(x-1),

-8-

(―+^=1,_

由.43得(3+4k2)X2-8k2x+4k2-12=0.

y=k(x-l),

设A(x,y),B(x,y),

1122

所以X+x8A~~X•X

1212a+gz

假设点N存在，其坐标为(m,0),其中-2WmW2,

NA•NR;(x-m,y),(x-m,y)