高中数学一轮复习 函数的值域

第2.4章函数的概念与性质

2.4.2函数的值域

课程要求心中有敷

1理解函数值域的概念；

高中要求

2会求常见函数的值域。

Ll基础1知识夯实基础，■立完整知识体系

一函数的概念

1概念

设力、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系乃使对于集合a中的任意一个数X,在集合B中都有唯

一确定的数/（X）和它对应，那么就称f：A7B为从集合力到集合B的一个函数.记作：y=fO）,xeA.其

中，％叫做自变量，久的取值范围4叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

V（x）|xCA｝叫做函数的值域.

2定义域

①概念：函数自变量x的取值范围.

②求函数的定义域主要应考虑以下几点

（1）若/（久）为整式，则其定义域为实数集/?.

（2）若/"（X）是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.

（3）若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.

（4）若八支）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交

集.

（5）实际问题中，定义域要受到实际意义的制约.

3值域

①概念：函数值y的取值范围

②求值域的方法

（1）配方法（2）数形结合（3）换元法（4）函数单调性法（5）分离常数法（6）基本不等式法

腌^仝典例题从典例中见解建能力

【题型1】函数值域的概念

【典题1】函数—久)=%+1,%€{—1,1,2}的值域是()

A.0,2,3B.0<y<3C.{0,2,3}D.[0,3]

答案C

解析,••/(%)-x+1,XG{-1,1,2)

.•.当％=—1时，f(-1)=0；当x=l时，/(1)=2；当x=2时，/(2)=3

二函数/(x)=x+l,xC{-1,1,2}的值域是{0,2,3},故选：C.

变式练习

l./(x)的图像如右下图，则f(久)的值域为:

2.函数y=%2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是.

答案{一1,一2,2}

解析：当》取一1,0,1,2时，y=-1,-2,-1,2,故函数值域为{-1,一2,2}.

3.已知函数/(久)=则/Xx)的值域是.

答案(0,1］

2

解析X+2>2;0<^+2-p；•f(X)的值域为(。，］.

【题型2】求函数的值域

【典题1］求函数/(无)-x2-4x+2,x&［1,4］的值域.

由题意：函数/(x)=%2-4比+2,开口向上，对称轴x=2,

画出函数/(%)=x2-4x+2,xE[1,4]如下,

二函数/（%）=%2-4%+2在区间［1,4］上的值域为［-2,2］.

【典题2】求函数丫=第（久>0）的值域.

2(x+l)-33

解析y---------=ZQ

%+1%+1

X>0,X+1>1,

-1一3

0V----V1,―1<2-------V2.

%+1x+1

・•・函数y=若■（久>0）的值域为（一1,2）.

【典题3】求函数/（无）=x-2V1-x+1的值域.

解析令瓜三c=t,t>0,（要注意新变量t的取值范围）

则x-1—t2,

则y=1—产―2t+1=-/―2t+2,其在［0,+8）上的值域是y<2,

（把函数转化为二次函数值域问题）

即函数/（%）=%-2V1-x+1的值域为（-8,2］.

变式练习

1.函数/（x）=x2-2x,xG［-1,2］的值域为.

答案［-1,3］

解析/（x）=（%-1）2—1在［—1,1）上递减，在（1,2］上递增,

所以X=1时，/（X）取得最小值f（l）=-1;

久=—1时，取得最大值/（—1）=3,故值域为［—1,3］.

2.函数/(%)=|2%-3|+1|的值域为.

答案［:,+8)

3%+4,%V1

解析/(%)=|2%—3|+|%—1|=(—-%+2,1工<黑%工<

3x—4,x>-

12

函数图象如图：

由图可知，函数/(x)=|2比一3|+回一1|的值域为弓,+8).

3.若函数y=等的值域是____.

%+2

答案(一8,2)U(2,+00)

解析•・,y=2一二，

XT—8时，y1+8,%7+8时，y-2,x->—2时，y->—oo,

・•・函数的值域是：(-8,2)U(2,+00),

4.已知函数f(x)=分的定义域和值域都是［2,b］(b>2),则实数b的值为

答案3

其图象如图,

由图可知，函数f(x)=詈在［2,句上为增函数，

又函数/(%)=箸的定义域和值域都是［2,b］(b>2),

/(h)==b,解得：b=3.

故答案为：3.

5.若函数y=好一4%-4的定义域为[O,zn],值域为[一8,-4],则m的取值范围是

答案[2,4]

解析函数y=/—4x-4的图象是开口向上，且以直线x=2为对称轴的抛物线

—(4)=一4,打2)=—8

•.•函数y=x2-4x-4的定义域为值域为[-8,-4],

2<m<4,即的取值范围是[2,4].

6.函数-7.x-Nx-1的值域为.

答案党y)

解析设[=Vx-1,则X=t2+1

2

f(t)=2(产+1)—一方+2=2(t—J+石(七之。)

.,•值域为僧，8).

o

7.已知二次函数f(x)=-)2+X,如果存在实数<n),使得/⑺的定义域和值域分别是和

[3m,3n],求m+n的值.

答案-4

解析根据题意，二次函数/0)=-9/+%=一*%一1)2+1的对称轴为“=1,最大值为宗

分3种情况讨论：

/(m)=--xm2+m=3m

：，

{f(n)=--xn2+n=3n

解可得血=-4,n=0,此时m+zi=-4；

②当TH<1<n时，/(x)的最小值为/(l)=1=3n,解可得n=

LO

与mclvzi矛盾，不符合题意;

③当lWznVTi时，/（%）在［m,用上递减，

若/⑶的值域分别是［3犯3n］,必有3几叶，则有n,，不符合题意;

故m+n=—4.

轻松训练通过捱习，媒事能力

1.函数y=ax+b在［1,2］上的值域为［0,1］,则Q+b的值为（

C.0或1

答案c

解析因为函数丫=。％+6为单调函数，

当a>。为单调递增函数时，若％=1,则y=0,所以a+b=0,

当a<0为单调递减函数时，若％=1,则y=l,所以a+b=l,

所以a+b=0或a+b=1,

故选：C.

2.设a>0,若函数y=g,当xe［a,2a］时，y的范围为贝!|a的值为（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析a>0,函数y=g,当久€［a,2a］时，y的范围为［/2］,,

倍=2

.•一°na，解得a=4.故选：B.

3.函数y=正G豆的值域为（

C.(0,-]

答案c

■■­%+-

.•・函数值域为：（0,日.

故选：C.

4.函数y=%+72一%的值域为()

A.(;Q,+oo)B.巳Q+8)C.(-oo,Q-)D.(-oo,-9]r

4444

答案D

解析由题意：函数y=x+，2—x,

令1=怎下，则函数t的值域为[0,+8),可得：x=2-t2,

那么：函数y=x+V2—x转化为/(£)=2-乎+如开口向下，对称轴t=(，

・•,t20,••・当t=g时，函数/(t)取得最大值为=，

即函数y-x+72-x的最大值为京

.•.函数y=X+V2-X的值域为(一8,三.

故选：D.

5.函数f(x)=/-4x(-l《x4a)的值域为[-4,5],则实数a的取值范围为

答案[2,5]

解析/"(X)=(久一2)2-4,对称轴为x=2,由。-2)2-4=5,得x=5或乂=-1,

•••/(-1)=5,/(2)=-4,2<a<5,即实数a的取值范围是[2,5].

6.函数f(x)=^|(x>1)的值域是.

答案［0,1)

解析/0)=号=^-喂=1-4?

x+3x+3%+3x+3

当支21时，0<々41,0<1,即函数的值域为[0,1).

7.函数/(%)=[3制-3[%]的值域是.(注：其中[制表示不超过久的最大整数)

答案(—L3)

解析根据高斯函数的性质，%-1<[%]<%,

那么3%-3<3[%]<3%,则-3%<—3[%]<3—3x

由3%一1V[3x]<3%,・,・-1<[3x]—3[x]<3

函数/(%)=[3%]-3[对的值域为(-1,3).

8.若函数/(X)=三的定义域是[0,+8),则/(%)的值域是.

答案[一L1)

解析当X》。时，/(X)=弓==1—三e[—1,1