2024届广州市高三年级数学调研测试试题【含答案】

秘密★启用前试卷类型：B

2024届广州市高三年级调研测试

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能

答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答

案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z+彳=2,z-z=-4i,则|z|=

A.1B.2C.75D.275

2.已知集合/={x|y=ln(l-2x)},N={“y=e*},则=

A-[°，]B.C.D.0

3.已知向量a=(—2,4),〃=若。与8共线，则向量a+〃在向量j=(0,D上的投影

向量为

A.jB.—jC.2jD.-2j

4.已知函数/(x)=a+—-—(abwO)是奇函数，则

3X-1

A.2a+b=0B.2a-b=0C.a+b=0D.a-b=0

5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》

中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球,

第三层有6个球，…….记各层球数构成数列{4},且{。用一《}为

等差数列，则数列＜■的前100项和为

9910099200

A.-----B.----C.—D.

10010150而

数学试卷第1页(共5页)

6,直线/:y=区—2与圆6%一7=0交于48两点，贝!1|/8]的取值范围为

A.[4,4]B.[277,8]C.[6,4]D.12百同

兀13

7.已知0</?<a<5，cos(cr+/?)=—,sin(a-/?)=,,则tanatan，的值为

135c

A.—B.—C.—D.2

253

1a

8.若函数/(x)=§x3—℃92+x+l在区间(0,2)上存在极小值点，则。的取值范围为

A.园B.1,"C.?口.(1,+⑹

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户

家庭十月份的用电量（单位：kW-h）,将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），

画出如图所示的频率分布直方图，则

A.图中a的值为0.015

B.样本的第25百分位数约为217

C.样本平均数约为198.4

D.在被调查的用户中，用电量落在

[170,230）内的户数为108

10.已知双曲线£：=—匕=15>0）的左、右焦点分别为片，用，过点用的直线/与双曲

a2

线£的右支相交于尸，。两点，则

A.若E的两条渐近线相互垂直，则a=J5

B.若E的离心率为百，则E的实轴长为1

C.若/耳隼=90。，则|尸大用尸鸟|=4

D.当a变化时，△片尸。周长的最小值为8血

数学试卷第2页（共5页）

11.已知点是函数/（x）=sin[m+：）+b（0〉0）的图象的一个对称中心，则

B.(O---1—k,kGN

33

C.若/（x）在区间上有且仅有2条对称轴，则。2

D.若/（x）在区间[w，-上单调递减，则。=2或。=§

12.如图，在棱长为2的正方体48CQ-4用。12中，已知MN,尸分别是棱G2,幺4,

8c的中点，。为平面PW上的动点，且直线。回与直线QB1的夹角为30°,则

A.D5I_L平面尸AW

B.平面尸AW截正方体所得的截面面积为38

C.点0的轨迹长度为兀

D.能放入由平面尸4W分割该正方体所成的两个空间几何

体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三3

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线。：「=2?武夕〉0）的焦点为/，点加在。上，轴，若

（。为坐标原点）的面积为2,则夕=.

14.（2x?+x—＞）5的展开式中//的系数为（用数字作答）.

15.已知三棱锥尸—4BC的四个顶点均在同一球面上，尸C_L平面4BC,PC=BC=4h,

AB=2屈,且PZ与平面ABC所成角的正弦值为如，则该球的表面积为___________.

6

16.已知函数/（%）=/*—2a（x—2）e“—//（a〉。）恰有两个零点，则。=.

数学试卷第3页（共5页）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=2%-1.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

log,%,〃为奇数，,.

（2）若数列也｝满足“=<J〃为偶数，求数列也｝的前方项和利

18.(12分)

如图，在四棱锥尸一N8CD中，CD//AB,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

三棱锥B-PAD的体积为生2.

3

（1）求点P到平面48CD的距离;

⑵若P4=PD,平面产/。,平面/BCD,点N在线段4P上，AN=2NP,

求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.

19.(12分)

记△4SC的内角/,B,C的对边分别为a/,c,

兀

已知力sin5+csinC—asin/=26sin5sinC且Cw-.

2

7T

(1)求证：B=4+—；

2

(2)求cos/+sinB+sinC的取值范围.

数学试卷第4页（共5页）

20.(12分)

已知函数/(x)=(x+2)ln(x+l)-ax.

(1)当4=0时，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)当-l<x<0时，/(%)<0,求a的取值范围.

21.(12分)

杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京

杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致

和谐的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个

盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开

才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个

30元.

(1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开.当甲买到的吉祥物首次出现相

同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；

(2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直

接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？

22.(12分)

在平面直角坐标系X0中，点少(_若,0),点尸(x/)是平面内的动点.若以F户为直径的

圆与圆=4内切，记点尸的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程；

(2)设点N(jO)(l#2),直线分别与曲线E交于点

(8,7异于/),AHLST,垂足为X,求|。〃|的最小值.

数学试卷第5页(共5页)

2024届广州市高三年级调研测试

数学试题参考答案及评分标准

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数.选择题不给中间分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案CACBDDBA

二、选择题：本题共4小题，病一小题5分，三生20分.

题号9101112

答案ACACDBCABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

题号13141516

e2

答案2^/212036兀

~2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤.

17.解：⑴因为S“=2a〃—1,①

当〃=1时，百=2%-1=%,则q=1..........................1分

当时，S“_]=2a,i—1,②..........................2分

①一②得an=2an-2an_j,即a,=2j(〃22),..............3分

所以｛《｝是首项为1,公比为2的等比数列....................4分

所以a“=2"L..................................................5分

,f/7-l〃为奇数

(2)因为Iog2%=log22"-="-1,所以"='”—〃为偶数]............7分

所以&=4+仿+仇+…+打〃

=(4+4+…+^2H-1)+(4+4+…+4")

=(4+4+…+仇"-1)+32+2+…+/”)

=[0+2+---+(2«-2)]+(21+23+---+22"-1)

........................7分

(0+2〃-2)“।2(1-4')9分

21-4

o"+^2.........................................I。分

3

数学试卷第1页（共8页）

18.解：⑴设点P到平面的距离为五，

则七"40=/TBO.................................1分

由题可知SAABD=^AB-BC=4,.................................2分

所以九二3/TBO=晅=6，.................................3分

S^ABD4

故尸到平面N3C。的距离为J5..................................................4分

（2）取40的中点/,连接产初，因为P/=P£>,所以PM，40,

又平面「40,平面48CD,平面P4C>n平面48CD=4D,Wu平面「40,

PMLAD,所以平面48CD.....................................5分

由（1）知尸w=VL.......................................................................................6分

由题意可得BD=141，AD=7（4-2）2+322=272，^

所以=/B2,故ZZ）J_8Z）.

法一（坐标法）：以。点为坐标原点，£%为X轴，QB为>轴，过。点作W的平行线

为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则/（272,0,0）,P（V2,0,V2）,C（-V2,V2,0）....................................7分

--1—I——.I-/——■2—■(2"\/22^/2

依题意QC=(—^P=(-V2,0,V2),AN=-AP=---,0,—

—•—.—.(4A/2242}

所以Z)N=Z)/+/N=-2―,0,—,

、33,

设平面NCD的法向量为〃]=(X],%,zJ,

\ni.DC=0,'—小户岳产0，

则1n即J逝2^/2八

%-DN=0.------%.H--------z,=0.

I313'

令玉=1,得〃]=(1,1,-2).....................10分

又平面48CD的法向量为〃2=（0,0,1）

设平面NCD与平面ABCD的夹角为6,则

COS0=|cos<〃1，〃2>1=“1"2

同,网

即平面NCD与平面4BCD的夹角的余弦值为逅............................12分

3

法二（几何法）：在线段AM上取点H，使得AH=2HM,连接NH,过点H作HK_LCD,

垂足为K,连接NK.................................7分

因为AN=2NP,所以NH〃PM,NH/PM=3^，................................8分

33

21272

AH=-AM=-AD=—^.

333

因为PM,平面48CD,所以N",平面48CD,

所以NHLCD,

又HKLCD,且.HKCNH=H,

数学试卷第2页（共8页）

所以平面................9分

所以CDLNK,

所以/NKH是二面角N-CD-A的平面角.................10分

在Rt△HDK中,易知勺但，ZKDH=45°,

3

4

所以K〃=O"-sin45°=-

3

4

HKV6

日内、jcos/NKH----

所以NK-T,

3

故平面NC£（与平面4BCD的夹角的余弦值为如.

................12分

3

19(1)证明：因为bsinB+csinC—asinZ=2bsinBsinC,

由正弦定理得〃+02一/=2Asin8，....................1分

又因为cosZJ+c——..........2分

2bc

所以2bccosA=2bcsinB,即cos/二sin5...........3分

又cosA=sin］'一4j'所以一4］=sin5.

又4Be(0,7i),

所以z=8或幺)+8=兀...............4分

JT7T

又所以5='+4.....................5分

22

jr(7TI71

(2)解：由(1)知5=—+Z,C=H-A-B=TI-A-\-+A\=--2A......6分

2<2J2

由4,B,CG(0,71),解得/后［。,：).........................7分

所以cos/+sin5+sinC=cosA+sin^+/1+sin^-241

=cosA+cosA+cos2A....................8分

=2cos4+2cos2A-l......................9分

13

27

=2(COS^+2)-2，

又/£(0,；］,所以COS/£g,l，......................10分

I4)I2J

所以cos4+sinB+sinC的取值范围为(血,3)........................12分

(别解：因为cos/+sin5+sinC=2cosA+cos2A在［o,上单调递减，

所以后<2cos/+cos24<3，所以cos4+sin5+sinC的取值范围为(、历,3).)

数学试卷第3页（共8页）

20.解(1)当。=0时,/(x)=(x+2)ln(x+l),/(0)=0,................................1分

r(x)=ln(x+l)+1i1,/(0)=2,.................................3分

所以曲线V=/(x)在(0,/(0))处的切线方程为y=2x..................................4分

⑵法一：r(x)=ln(x+l)+|^|-a,尸(0)=2一%

]]X

记°(x)=/'(x),则夕..........5分

11X

(备注：从逻辑推理的角度写成：/"(X)=二1一正7了=正可<0不扣分)

所以广(X)在区间(-1,0)单调递减............6分

(i)当aW2时，f'(x)>/,(0)=2-a>0,xe(-l,O),

所以/(x)在(TO)上单调递增，所以当xe(-l,O)时，/(x)</(0)=0,符合题意;

.....................8分

(ii)当a>2时，/,(0)=2-a<0,尸(一1+-。)=-a+1+e"-a>0,

所以存在x°e(-l+e-",O),使得/(%)=0.........................10分

从而在(-l,x0)上单调递增，在(xo,O)上单调递减，

故当xe(x0,O),/(x)>/(0)=0,矛盾，舍去..............11分

综上，。的取值范围为(-叱2].......................12分

法二：当一l<x<0时，/(x)<0,即ln(x+l)-2<0对Vxe(—1,0)恒成立.

2a

设g(x)=ln(x+l)-二^ln(x+l)+XG(-1,O).

x+2

12a=(x+2)2—2a(x+l)=x2+(4—2a)(x+i)相㈠⑼

x+1(X+2)2(X+1)(X+2)2(X+1)(X+2)2

.........................................6分

记q(x)=x2+(4-2a)(x+1)，

当aW2时，q{x}>0,xe(-l,O),......................7分

所以g'(x)>0,所以g(x)在(-1,0)上单调递增，

所以g(x)<g(O)=O,xe(-1,0),符合题意；...........8分

当a>2时，q(x)开口向上，对称轴x=—2+a〉0,q(—l)〉0,q(0)<0,

所以存在唯一x()e(-l,O),使得q(x())=O,......................9分

当xe(-l,x0)时，q(x)>0,g'(x)〉0；当xe(xo,O)时，q(x)<0,从而g'(x)<0

从而g(x)在区间(-1,%)递增，在区间(x0,0)递减，

故当xe6,。)，g(x)>g(O)=O,矛盾，舍去...........11分

综上，。的取值范围为(-叫2].......................12分

21.解：(1)由题意可知X所有可能取值为2,3,4,................................................1分

31不「14J3?

P(X=2)=-=-,尸(x=3)=竽、,尸(X=4)=奈=；.

................................................4分

11124

(其他解法：尸(X=2)=GX(§)2=§,尸(X=3)=C：C；X(§)2X§=§,

数学试卷第4页(共8页)

p(X=4)=l-P(X=2)-P(X=3)=|.)

(2)设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z.

依题意，x可取0,1,2,3.

方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用Z]=3x30=90元.

方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，

总费用Z2=19+2x30=79元.....................6分

方案3：购买2个盲盒时，

当2个盲盒打开后款式不同，则只需要直接购买剩下一款吉祥物，

J22

总费用Z3=2x19+30=68,p(Z3=68)=|l-=j；

172

(或尸亿3=68)=。；><§*5=§)

当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，

总费用Z3=2x19+2x30=98,P(Z3=98)=C]x|x|=1.

所以E(Z3)=68xg+98xg=78(元).....................8分

(别解：£(Z3)=30x|+2x30x1+38=78(7n))

方案4：购买3个盲盒时，

当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用=3x19=57,

3

P(Z4=57)=4(1)=|；

当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，

xx

总费用Zd=3x19+30=87,P(Z4=87)=4|1=p

当3个吉祥物盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，

11a1

总费用Z4=3x19+60=117,尸(Z4=117)=C；x(—户

221251

所以E(ZD=57x—+87x—+117x—=一(元)..............11分

21251

(别解：£(24)=30X5+2*30义§+3*19=亍(元))

显然£(Z3)<E(Z1)<E(ZJ<4.

综上，应该一次性购买2个吉祥物盲盒.................12分

22.解：(1)法一：设抄的中点为G,依题意以F户为直径的圆内切于圆。:/+/=4,

IPFI

所以|G0=2—Bp|PF|=4-2|GO|,..........1分

数学试卷第5页(共8页)

设g(G,0),又21OG|=|PgI，所以|PF|+|P%=4>2G=|%I，......2分

所以点尸的轨迹是以尸，鸟为焦点，4为长轴长的椭圆，

22________

设£的方程为--+=l（4z>b>0）则c=J§\a=2,b-a2—c2=1,

ab

2

所以尸的轨迹方程E:—+y2=l....................4分

4

法二：设？（xj）,则尸尸的中点为G（污8,］）,...........1分

依题意得\OG\=2-^\PF\,即J（三回了+（1）2=2一沁+厨4...........2分

整理得7（x-V3）2+y2=4-7（x+V3）2+y2，...........3分

V2

化简得点尸的轨迹方程£:土+必=1.........................4分

4

（2）设8（国,乃）,7（马,y2），先证明直线ST恒过定点，理由如下：

法一：由对称性可知直线ST的斜率不为0,所以设直线ST的方程为：x=my+n.

x=my+n,

联立直线ST与£的方程《2(m2+4)y2+2mny+zz2-4=0,

x,消去工得:

—1~y=1，

14/

所以A>0,即4+加2-〃2>0，①

_—2mnn2-4

%+为................5分

m2+42门

M/1、八f

所以直线4S的方程为：％二=■；（»—l）,令y=0,解得点四横坐标，=一

乂T必一1

同理可得点N横坐标47=」、，

y2T

工+二=

................6分

X-1y2-i

将再=myx+n,x2=my2+n代入上式整理得：

（2加+4）为>2+（〃—加一4）（为+>2）+4一2〃=0.（3）................7分

将②代入③并整理得加2+2/77〃+〃2-2%-2〃=0，...........8分

即加，〃满足方程（根+〃）（根+〃-2）=0.

若加+"=0,即〃=一加，则直线ST方程为》=根（歹一1）,过点幺（0,1）,不合题意;

所以加+〃一2=0,此时〃=2—掰，直线ST的方程为x=%（y-l）+2,

所以直线ST过定点。（2,1）............10分

因为直线ST过定点2（2,1）,且与轨迹E始终有两个交点，

又4（0,1）,AHLST,垂足为笈，

故点X的轨迹是以为直径的半圆（不含点4Q，在直线4。下方）......11分

设4。中点为C，则圆心C（l,l）,半径为1.

所以10H以。C|—1=0-1，当且仅当点笈在线段。。上时，

故|。*|的最小值为近—1..................12分

数学试卷第6页（共8页）

法二：①当直线ST斜率存在，设直线ST的方程为歹二"+加.

y=kx+m,

联立直线ST与椭圆E的方程《一

—y=1，

14'

消去x得：（l+4k2）x2+Skmx+4m2-4=0,

所以A〉0,即4左2+1—加2>o，①

-8km4m2-4

%+%2②...............................5分

1+4左2'―1+4左2・

所以直线/S的方程为：x1（y-l）=（y1-l）x,

,y,-1

（备注：若直线NS方程写成^-1=二一x,需另外考虑西=0的情形,可参考方

再

法四①.）

令y=0,解得点河横坐标/=

%T

一X?

同理可得点N横坐标4-7=

y2T

玉!X2_4

...............................6分

T>2-1

即X](%T)+/(乂T)=一4(乂一1)(^2—1)，

将弘=kX[+m,y2=履2+掰代入上式，得

（4左2+2左）西七+（1+4左）（加一1）（须+々）+4（加一I）?=0,.........................7分

将②代入上式，得（4左2+2k）纵加一?+（1+4后）（加—1）二^+4（m-l）2=0.

1+4左义1+4H

整理得2加一2左+加2_2m+1=（加一1）（2左+加一1）=0,.........................8分

所以加=1—20（其中加=1时，直线ST:y=^+l过点/,不符合题意，舍去.）

直线ST的方程为：歹=Ax+（1—2左）恒过定点Q（2,1）.

②当直线ST斜率不存在，此时S（XQI）,T（XI，-%），

同理可得$7+上;=一牝即±=1—疗,

Ji-1-Ji-12

2

又1+弁=1，解得石=0或%=2.

若石=0,则S,T中必有一点与/重合，不符合题意;

若石=2,则重合，也不符合题意......................9分

综上，所以直线ST过定点。（2,1）.....................................10分

后略，同法一.

法三：①若直线/s,NT的斜率均存在，即不。0,工2。0,

7Vl—117%~11

则eS=------==，kAT-=—；

石-tx2t-4

工+^^=一4...............................5分

数学试卷第7页（共8页）