2023年高考数学二轮复习教案新高考专用函数及其性质含解析

解密04讲：函数及其性质

【考点解密】

函数

两个集合A,B设46是两个非空数集

对应关系f:如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,

AT在集合8中都有唯一确定的数f(x)和它对应

名称称f：/f6为从集合力到集合8的一个函数

函数记法函数y=f(x),x^A

2.函数的三要素

(1)定义域：x的取值范围：(2)值域：y的取值范围.(3)对应关系f：AT

3.相等函数：定义域、对应关系都一致.

4.函数的表示法：解析法、图象法和列表法.

5.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对整系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

6.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

-一般地，设函数f(x)的定义域为/,区间生/,如果VM,X0)

当X1<X2时，都有/、(£)<翼及),那当X\<X2时,都有/、(£)>/、(矛2),

么就称函数/"(X)在区间。上单调那么就称函数f(x)在区间〃上

定义

递增，特别地，当函数/'(X)在它单调递减，特别地，当函数F(x)

的定义域上单调递增时，我们就在它的定义域上单调递减时，我

称它是增函数们就称它是减函数

图y=f(x)

象而)*2)

。卜,,

描

述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间。上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间。

叫做y=Ax)的单调区间.

7.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数材满足

(1)对于VA-GI,都有

(l)Vxei,都有/•(x)W/

条件f(.x)》断

(2)3使得f(x0)=M

(2)38G/,使得AAO)=M

结论〃为最大值例为最小值

8.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数f(x)的定义域为/,

偶函数如果vxe/,都有一xe/,且/'(一x)=关于y轴对称

/•(*),那么函数/'(X)就叫做偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为1,

奇函数如果VxG/,都有一xG/,且/'(—x)=一关于原点对称

fU),那么函数/'(X)就叫做奇函数

9.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+7)=f(x),

那么就称函数y=f(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数/'(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做F(x)的最小正

周期.

(3)函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

⑴若f(x+a)-—f(x),则7=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=呆，则T=2a(a)0).

(3)若f(x+a)=一3，则T=2a(a>0).

(4)若F(X+H)+F(x)=c,则7=2a(a>0,c为常数).

10.对称性

对称性的三个常用结论

2

(1)若函数/"(x)满足f(a+x)=fib—6,则y=f(x)的图象关于直线x=-Q一对称.

b\

(2)若函数f(x)满足/"(a+x)=-f(6—x),则y=f(x)的图象关于点后一，0)对称.

(3)若函数f(x)满足Ha+x)+fS—x)=c,则函数f(x)的图象关于点R-,J对称.

【方法技巧】

1.求函数值域的一般方法：

①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法；⑦导数法.

2.确定函数单调性的四种方法

(1)定义法：利用定义判断.

⑵导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的

单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.

3.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小.

⑵求最值.

(3)解不等式.利用函数的单调性将“尸符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.

(4)利用单调性求参数.

①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.

②需注意若函数在区间［a,6］上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调.

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

4.利用函数奇偶性可以解决以下问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据/•(*)±f(—x)=0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得

方程(组)，进而得出参数的值.

(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.

(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.

3

【核心题型】

题型一：求函数的定义域

1.（2012•山东•高考真题（文））函数/（》）=+"一防的定义域为（）

l_n（x:+l）、

A.[-2,0）U（0,2]B.（-1,0）U（0,2]

C.[-2,2]D.（-1,2]

【答案】B

x+l>0X>-1

【详解】x满足（X+1H1

即“xwO.解得一1<矛<0或0<xW,选B

4-x2>0-2<x<2

2.（2021•全国•高一专题练习）已知函数/（x+1）的定义域为（-2,0）,则/（2x-1）的定义域为（）

A.（T,0）B.（C）C.（0,1）卜会。）

【答案】C

【分析】由已知函数定义域求得f（x）的定义域，再由2x-l在〃x）的定义域内求得丈的范围即可得答案.

【详解】函数/（x+1）的定义域为（-2,0）,即-2<x<0,

/.-Kx+Kl,则f（x）的定义域为（Tl）,

由—1<2x—1<1,得0Vx<1.

・••/（2x-l）的定义域为（0,1）.

故选C.

【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中档题.定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造

使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若

已知函数/.（x）的定义域为心,圆，则函数f（g（x））的定义域由不等式a〈g（x）W〃求出.

3.（2011•河北衡水•三模（理））已知函数r■6h•<）的定义域为R,则实数k的取值范围是（）

A.人>1B.k>\c.0<k<lD,0<k<l

【答案】c

【详解】本题考查函数的定义域及恒成立问题的解法.

因为函数I、A6h•9的定义域为R，则小_6入+920恒成立.

①当k<0时，函数/（司="2-6"+9是开口向下的抛物线，不符合题意；

4

②当&=0时，函数/(x)=9恒满足/(力2底-6米+920,符合题意

③当人>0时，函数/(司=履2-6米+9满足〃力2丘2-6米+920恒成立的条件是公=。2-4收40,即

36公_4x%V0,解得0<%41.

由①②③知实数k的取值范围是04%W1

正确答案为C

题型二：求函数的值域

4.(2023・全国・高三专题练习)已知函数/(劝=1鸣/8(为=2》+4,若存在占,々€；,2，使得〃占)=8(%)，

则a的取值范围是()

A.[-5,0]B.("^，一5][0,-K»)C.(—5,0)D.(―8,-5)<J(0,+oo)

【答案】A

【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在“X2e1,2,使得f(必)=g(X2),等价为两个集合有公

共元素，然后根据集合关系进行求解即可.

【详解】当;KxW2时，logzgwf(x)<log22,即-1WF(X)W1,则f(x)的值域为[-L1],

当;Wx<2时，2x；+aWg(x)<4+a,即1+aWg(x)<4+a,则g(x)的值域为[1+a,4+a],

=

若存在X1,x2G~>2，使得f(Xi)g(x?),

则[1+a,4+a]n[-l,11^0,

若U+a,4+a]n[-1,1]=0,

则l+a>l或4+a<-1,

得a>0或a<-5,

则当[1+a,4+a]n[-1,1]¥0时，-5WaW0,

即实数a的取值范围是[-5,0],

故选A.

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题

的关键.

5.(2022•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用

其名字命名的“高斯函数”为：设xwR,用㈤表示不超过》的最大整数，则)，=[幻称为高斯函数.例如：1-2.1]=-3,

13.11=3,已知函数=则函数y="(x)]的值域为()

2+1

5

A.{0,1,2,3)B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

【答案】D

【分析】分离常数法化简f(x),根据新定义即可求得函数y=[f(x)]的值域.

【详解】==+_又2，>0,々€(0,2),1+二e(l,3)

八刃2,+11+2、1+2*1+2'1+2*

••.当xW(1,2)时，尸"(X)]=1；

当%£[2,3)时，y=[f(x)]=2.

二函数尸[f(x)]的值域是{1,2}.

故选D

【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题.

6.(2022•全国•高一课时练习)已知函数/(x)=^mx2+(m-3)x+\的值域是[。,+8),则实数m的取值范围是

【答案】

【详解】试题分析：设y=〃£+(m-3)x+l,由已知条件可知V可取到[(),+«))上的所有值，当帆=0时y=-3x+l

〃?>0rrr\

满足题意，当时需满足{4〉。，解不等式得0<〃?41或〃?29,所以实数机的取值范围是[0川39，内)

考点：函数性质

题型三：复合函数的单调性

7.(2022•全国•高三专题练习)下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是()

A./(力=^^B.f(x)=x3+x2

C./(x)=-x|x|D./(x)=-lg(Jf+l-x)

【答案】I)

【分析】分别判断四个选项的奇偶性与单调性即可得出答案.

【详解】对于A,定义域为(0,+8),不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；

对于B,因为/⑴=2,/(-1)=0,所以为非奇非偶函数，故B错误；

对于C,因为/(1)=-1,/(-1)=1,所以/(x)不是增函数，故C错误；

对于D,定义域为R,

因为/(_X)=Tg(Jx2+]+x)=lg———=\gUx2+l-x\=-f(X),

6

所以〃x)是奇函数，

/(x)=-lg(&+1_x)=lg(G+l+x),

令必=Jf+i+x为增函数,

y=lg〃也是增函数，

所以/(x)=-ig(V?TT-%)是增函数.

故D正确.

故选：D.

8.(2020•宁夏•青铜峡市宁朔中学高三阶段练习(理))设函数/(x)=ln(4+x2)+x2+l,则使得/(x)<〃2x+3)

成立的x的取值范围是()

A.(—3,+8)B.(—a?,—3)

C.(-3,-1)D.3)(—l,+oo)

【答案】D

【分析】结合函数的表达式，可知“X)是R上的偶函数，且在［0,m)上单调递增，从而不等式等价于N<|2X+3|,

即X2<(2X+3)2,求解即可.

【详解】当xNO时，函数y=4+Y为增函数，且4+犬>0，

根据复合函数的单调性，可知y=ln(4+V)在［0,”。)上单调递增，

又函数)，=/+1在［0,y0)上单调递增，

所以〃x)=ln(4+Y)+x2+l在［0,内)上单调递增.

函数“X)的定义域为R,/(-x)=ln(4+x2)+x2+l=/(x),

所以/(x)是R上的偶函数，且在［0,母)上单调递增.

因为/(x)</(2x+3),所以/<|2x+3|,

则X2<(2X+3)2,整理得(X+3)(X+1)>0,解得x<-3或x>—1.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.

7

9.（2019•福建省长乐第一中学高一阶段练习）函数y=log|Sin[2x+?）的单调递减区间为（）

2

f.7i.37r

A.k7r--,k7r+—(Z:GZ)B.k?i-\—,kjrH--(-林-z)

88I88

C.fk7r--,k7r(ZeZ)D.k7t--,k7r+—(kwZ)

88

【答案】D

【解析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的单调递减区间.

【详解】函数y=log,sin（2x+（1的单调递减区间满足：

s加（2工+?）>0

2k7T--<2x+-<2k7T+-

242

则：2人乃<2尤+?wZ）,

据止匕可彳导：k兀一三<x&kji+Z（kwZ、,

88

故函数y=log|Sin（2x+?）的单调递减区间为（版■-2,丘（ZeZ）.

故选〃

【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

能力.

题型四：根据函数的单调性与奇偶性解不等式

10.（2020•全国•高一课时练习）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+8）单调递增.若实数a满

足/（唾2〃）+，（嚏1“）42”1）,则a的取值范围是（）

2

A.[L2]B,f0,_C.—',2D.（0,2]

I2」12」

【答案】C

"Sn"log:a）~/'log：-）£2"）

【详解】试题分析：函数」）是定义在火上的偶函数，.••a,等价为

/（log2a）+/（-log,o）=2/（k>g2a）£2/（1））；即/（k>g：a）"（l）•.・函数/⑴是定义在及上的偶函数，且

在区间[a+x）单调递增，等价为/（卜8，4"/（1）.即.•.・[£陲解

8

-<a<2

得-，故选项为c.

考点：(1)函数的奇偶性与单调性：(2)对数不等式.

【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应

用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：『山"：「:二"’，即

Jt卜£:矶三J,结合单调性得：卜。8;司三1将不等式进行等价转化一'二阳g.出■1即可得到结论.

2

11.(2022•全国•高三专题练习)设f(x)为定义在A上的奇函数，当x2O时，/(x)=log2(x+l)+ar-«+l

常数)，则不等式/(3%+5)>-2的解集为()

A.(-00,-1)B.(-1,+oo)C.(TO,-2)D.(-2,+8)

【答案】D

【分析】根据定义在R上的奇函数的性质,(0)=0求出〃的值，即可得到当x上0时函数解析式，再判断其单调性，

最后根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：，(x)为定义在R上的奇函数，

2

因为当xNO时，/(x)=log2(x+l)+ax-«+1,

所以7(0)=1-。=0,

故a=l,/(x)=log2(x+l)+x2在［0,+O上单调递增，根据奇函数的性质可知/")在R上单调递增，

因为/(1)=2,所以=

由不等式/(3x+5)>-2=/(-1)可得，3x+5>-1,解可得，x>-2,

故解集为(-2,^0)

故选：D.

12.(2022•湖南师大附中高三阶段练习)已知函数f(x)满足x)=-/(x),且对任意的大，电目。,小药,西工々，

都有/(土卜/>2/(1)=2020,则满足不等式/@一2020)>2(》-1011)的龙的取值范围是()

X2-Xl

A.(2021,田)B.(2020,+oo)C.(1011,+e)D.(1010,”)

【答案】A

【分析】"%)一/S'>2可化为D(三)-2'」一［/(芭)3J>0,构造函数/(x)-2x,再结合奇偶性可知该函数

迎一百x2-x1

y

在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.

【详解】根据题意可知，/(当)一/(为)>2

马一玉

可转化为卜伍)-2臼-卜(再)-2旬>0,

々一玉

所以/(x)-2x在[0,+8)上是增函数，又/(-x)=-/(x),

所以/(x)-2x为奇函数，所以2x在上为增函数，

因为/(%-2020)>2(x7011),/(I)=2020,

所以f(x-2020)-2(x-2020)>/(I)-2,

所以x-2020>1,

解得x>2021,

即x的取值范围是(2021,4w).

故选：A.

[关键点点睛】本题的关键是将不等式J(内)>2化为[/仇)-29[-[“'-2、>0,从而构造函数

-X,X2-X,

fM-2x,再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.

题型五：奇偶函数对称性的应用

13.(2022•全国•高三专题练习)已知函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，且〃2-x)=〃x),当OVxVl时，

f(x)=x,设函数g(x)=f(x)-logsN,则g(x)的零点的个数为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由题设知g(x)的零点可转化为/(x)与logsW的交点问题，而〃x)€[0,ll且周期为2,关于y轴对称的函

数；logsN且关于F轴对称，当-54x45时有log5|x|e(9,l],画出(0,+8)的草图即可确定交点个数，利用对称

性确定总交点数.

【详解】由题意知：/。)关于x=l对称，而g(x)的零点即为〃x)=bg5|x|的根，

又•••Ax)在R上的偶函数，知：/(x)e[0,l]且周期为2,关于y轴对称的函数，而-5Wx45时国e(—1]且关

于y轴对称

/.fw与logsW在(0,-H»)的图象如下，

10

，共有4个交点，由偶函数的对称性知：在(-8,0)上也有4个交点，所以共8个交点.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对称

性判断交点的个数.

14.(2022•全国♦高一课时练习)设/(x)为定义在"上的函数，函数/(x+1)是奇函数.对于下列四个结论：

①“1)=0;

②/(l-x)=-/(l+x)；

③函数“X)的图象关于原点对称；

④函数“X)的图象关于点(1,0)对称；

其中，正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】令g(x)=/(x+l),①:根据g(0)=。求解出/⑴的值并判断;②:根据g(x)为奇函数可知g(-x)=-g(x),

化简此式并进行判断；根据y=〃x+l)与y=的图象关系确定出/(x)关于点对称的情况，由此判断出③④是

否正确.

【详解】令g(x)=/(x+l),

①因为g(x)为R上的奇函数，所以g(O)=/(O+l)=O,所以/⑴=0,故正确；

②因为g(x)为R上的奇函数，所以g(-x)=-g(x),所以/(-x+l)=-/(x+l),即=故正确;

因为y=〃x+l)的图象由y=/(x)的图象向左平移一个单位得到的，

又y=/(x+l)的图象关于原点对称，所以y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，故③错误④正确，

11

所以正确的有：①②④，

故选：C.

【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

(1)若"X+a)为偶函数，则函数y=的图象关于直线x=a对称；

(2)若〃x+a)为奇函数，则函数y=〃x)的图象关于点(”,0)成中心对称.

15.(2022•江苏•扬州中学高三开学考试)已知“X)是定义在R上的奇函数且满足/(X+1)为偶函数，当xe[l,2]

时，=(a>0且〃工1).若〃-1)+〃4)=12,则/(等卜()

A.-8B.8C.4D.-4

【答案】B

【分析】根据已知条件可得/(X)的对称中心(0,0)，对称轴x=l,可得4为f(x)的一个周期，由

穴4)=-〃2)=/(0)=0、=⑴以及〃-1)+〃4)=12列关于。泊的方程组,进而可得x«l,2]时，外”的

解析式，再利用周期性即可求解.

【详解】因为f(x)为奇函数，所以“X)的图象关于点(0,0)中心对称，

因为/(X+1)为偶函数，所以/(x)的图象关于直线x=l对称.

根据条件可知f(x+2)=/(—x)=—,f(x),则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即4为f(x)的一个周期，则/(4)=—〃2)=/(0)=0,

又因为/(-1)=-/(1)=~(a+份，/(-1)+八4)=12,

所以匚解得上；或『1(舍)，

+/>=0也=-16[b=-9

所以当xw[l,2]时，/(x)=4'-16,

所以《等卜喝"㈢7图=8,

故选：B.

题型六：函数周期性的应用

16.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(力是定义在R上的偶函数，满足〃x+2)=/(x),当工40,1]时,

/(x)=cos-^x,则函数y=/(x)TH的零点个数是()

A.2B.3C.4D.5

12

【答案】A

【分析】函数y=/(x)-W的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数/")周期7=2,当

xe[O,l]时，/(x)=cos]x,根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.

【详解】V/(x+2)=/(%),则函数“X)是周期7=2的周期函数.

又•••函数/(x)是定义在R上的偶函数，且90,1]时，〃司=3卧，

.♦.当XG[-1,0)时，/(x)=/(-x)=cos(-]x)=cos]x,

令/(X)-|A|=0,则函数y=/(x)—W的零点个数即为函数y=〃x)和g(x)=W的图象交点个数，

分别作出函数y=/(x)和g(x)=N的图象，如下图，

显然“X)与g(x)在上有1个交点，在[0,1]上有一个交点,

当冈>1时，g(x)>l,而

所以X>1或X<-1时，f(X)与g(x)无交点.

综上，函数y=〃x)和g(x)=|x|的图象交点个数为2,即函数y=〃x)TM的零点个数是2.

故选：A

17.(2019•全国•高三专题练习(文))定义在R上的偶函数/(*)满足：对任意的实数x都有/(l-x)=/(x+l),

且/(一1)=2,〃2)=-1.则川)+/(2)+/(3)++八2017)的值为()

A.2017B.1010C.1008D.2

【答案】B

【分析】由偶函数可得〃r)=/(x),结合/(l-x)=/(x+l)可得函数是周期为2的周期函数，于是

/(-1)=/(1)=2,由周期性可得所求的值.

【详解】因为/*)是定义在R上的偶函数，所以/(-幻=/(幻,

因为f(1-x)=因x+1),所以/(-x)=/(x+2)=f(x),

f(x)是周期为2的周期函数，

13

/(-D=/(l)=2,

又/(2)=-1,

于是f⑴+f(2)=l,

/./(1)+/(2)+/(3)++/(2017)=1008(/(1)+/(2))+/(2017)=1008+/(1)=1010.

故选：B.

18.(2009•山东•高考真题(理))已知定义在R上的奇函数/(x)满足f(x-4)=-/(尤)，且在区间［0,2］上是增函

数,若方程/(x)="(〃?>0)在区间卜8,8］上有四个不同的根，则%+々+$+%=一.

【答案】-8

【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.

【详解】解：定义在R上的奇函数Ax),所以-f(x)=f(-x),/(0)=0,

又/(x-4)=-f(x),所以,f(x)=-/(x-4)=f(x-8),8是函数f(x)的一个周期，

所以f(x-4)=/(—)=f(x+4),所以x=-2是函数的一条对称轴，函数的对称轴是x=4A-2(keZ),根据以上

有图像知，X1+X2=4,X3+X4=-12,所以占+々+七+匕=-8,

故答案为：-8

【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.

题型七：由函数对称性求函数值或参数

19.(2022•全国•高一课时练习)已知函数/(耳=2/_2-+1,满足〃3+x)=〃3_x),则/T=()

9

A.-B.9C.18D.72

2

【答案】D

【分析】由二次函数f(x)=2x2-2“x+l的对称性求出2“=12,即可求出4W.

【详解】因为函数“X)满足/(3+x)=/(3-x),所以对称轴为工=曰=3,即2"=⑵

14

故选：D

20.(2022•全国•高一课时练习)设定义在R上的奇函数y=〃x),满足对任意的feR都有/(f)=〃lT),且

0'(时，f(x)=-x2,则〃3)+/(

当XW的值等于()

1D.-1

A.—B.——c.-4

2345

【答案】C

【分析】利用函数y=/(x)的奇偶性和对称性可分别求得“3)和的值，相加即可求得结果.

【详解】由于函数y=/(x)为R上的奇函数，满足对任意的feR都有/(f)=/(lT),

则/(3)=/(1-3)=/(-2)=-/(2)=-/(1-2)=-/(-I)=/(I)=/(O)=0,

故选：C.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题.

21.(2022•全国•高三专题练习)已知函数“X)的图象关于原点对称，且满足/(x+l)+f(3-x)=O,且当xw(2,4)

时，/(x)=-log；(x-l)+〃?，若〃2。；1)-1=〃_]),则旭=()

4343

A.-B.-C.一一D.--

3434

【答案】C

【分析】由/(x+l)+/(3—x)=O和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出了⑴=g,根据解析式求出/⑴

由-1-，〃=；解得结果即可.

【详解】因为函数/(x)的图象关于原点对称，所以/*)为奇函数，

因为f(x+l)=-f(3-x)=f(x-3),

故函数/(x)的周期为4,则/(2021)=/(1)；

而/(-!)=一/⑴，所以由八2。：)二1=/(_1)可得/(1)=1；

15

而/(D=-/(3)=logl(3-1)-/?/=-,

23

4

解得m=-].

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.

题型八：不等式恒(能)成立问题

22.(2021•浙江•模拟预测)已知函数/(x)=Vi二7+㈤二，则是恒成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分不必要条件

【答案】B

【分析】利用导数求出Ax)的最小值，然后可判断出答案.

【详解】因为/。)=/匚7+"^，其定义域为卜1』

-1+1_Jl-x-Jl+x

所以/'(》)=

2,1-x2jl+x2jl+x->/1-x

所以当xe(TO)时，­。)>0,/(x)单调递增；当xe(O,l)时，r(x)<0,/*)单调递减

因为/⑴=/(-1)=及，所以/(X)min=夜

所以由/(X)2a恒成立可得a<72,所以是/«>a恒成立的必要不充分条件

故选：B

-花二，若对于任意的实数人不等式

23.(2023•全国•高三专题练习)已知函数

4/(x-+恒成立，则实数a的取值范围为()

3

A.，+B.C.—,+00D.

2°°-?14-?1

【答案】A

【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知/")单调递增且关于(0,1)对称，再将不等式转化为

“x-a)4/结合单调性求参数范围.

(x-l)2,x>1

【详解】由题设，f(x)=图象如下:

16

所以/(》一°)4；/(/+1)=/(5+1),

又/(x)是R上的增函数，所以上+12x-a对xeR恒成立,

2

所以V—2x+2a+2Z0,则4=4-8(4+1)40,即

故选：A.

24.（2022•广西•桂电中学高三阶段练习）已知定义在R上的函数,f（x）满足/（x-l）=/（3-x）,且Vx„x2e［l,+a>）,

3片々，都有/"“）一、'（〜）>0,"3）=3.若对Vxe（l,3）,/（2x—。）—3>0恒成立，则a的取值范围是（)

西一电

A.(-1,9)B.[-1,7]

C..(9,+oo)D.y,-l][7,+00)

【答案】D

【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得/.（X）在［l,”）上单调递增，在（­」］上单调递减且

/（-1）=/（3）=3,由此可将恒成立的不等式化为2x-a>3或2x-a<-l,分离变量后，根据函数最值可得。的范

围.

【详解】x产乙，都有"'［）二"）>0，'/（X）在［1,依）上单调递增；

/(x-l)=/(3-x),\/(x)图象关于x=l对称，\/(x)在(f,l]上单调递减;

〃3)=3,"(-1)=/(3)=3；

由/(2x—a)—3>0知：/(2>。)>/(3)或/(2>。)>/(—1),

2x-a>3或2x-aV-1,av2x-3或a>2x+\,

XG（1,3）,.•“4一1或。27,即。的取值范围为（e,—1］［7,+x）.

故选：D.

25.(2023•全国•高三专题练习)若玉e1,2，使2/一人+1<0成立，则实数2的取值范围是

【答案】(2^,+oo)

【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.

【详解】由2/-〃+1<0可得，Ax>2x2+1,

因为xe《2],所以％>2X+L根据题意，A>(2X+-|即可，

L2」x【xjmin

设/(x)=2x+J,易知f(x)在号与单调递减，在(孝，2单调递增,

所以〃北「彳¥卜20，

所以；1>2&，

故答案为：(2夜,+8)

9

26.(2022•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=x+--a(ael?),xe[1,9],则g(x)的值域是.设函数

x

f(x)=lg(x)|,若对于任意实数“，总存在[1,9],使得成立，则实数，的取值范围是—

【答案】[6—a,10—句(田,2]

【分析】(1)求出导数即可判断出g(x)的单调性，进而求出最值;

(2)讨论。的范围求出“X)的最大值，即可求出，的范围.

【详解】(1)8，(力=]_?=("+3]/),

当xe[l,3],g'(x)<0,g(x)单调递减；当x«3,9],g'(x)>0,g(x)单调递增;

x=3=6fl

•■•^(Ln-?()->

又g(l)=10—a,g(9)=10—a,，g(x),1m=10-a,

故g(x)的值域是[6-a,10-a].

(2)/(x)=|g(x)I,

当|6-同20-4,即心8时，〃x)gx=|6-a|=a-恒成立，则Y2,

当即a<8时,/(力厘=|10-a|=10-亘成立,则Y2,

18

综上，实数，的取值范围是(-8,2].

故答案为：[6-a,10-a]；(-8,2]

【点睛】关键点睛：本题考查函数值域的求解，解题的关键是利用导数求出单调性，考查了不等式的能成立问题,

解题的关键是讨论。的范围得出了(x)最大值.

27.(2020•全国•高二课时练习(文))已知f(x)=x2,g(x)=(#-，〃，若对“e[-1,3],叫e[0,2],/(占)2g(x?),

则实数m的取值范围是.

【答案】曰，+8)

4

【分析】根据％e[-l,3],叫e[0,2],/⑷》&⑷,由/(x)min>g(x)mi„求解.

【详解】因为对％w[-1,3],3x2e[0,2],/(护g5),

所以只需/。)„血48(幻*即可，

因为/(》)=/，g(X)=(g)"-%,

所以/Wmin=/(0)=0>g(X)min=g(2)=；-%

由021-,解得m>-

44

故答案为：

【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.

【高考必刷】

一、选择题