第10讲指数与指数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第10讲指数与指数函数(精讲)

题型目录一览

①指数寨的化简与求值

②指数函数的图像与性质

③解指数方程与不等式

④指数函数的综合应用

★【文末附录-指数运算和指数函数思维导图】

、知识点梳理

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果x"=a,那么X叫做。的〃次方根，其中5>1,neN*),记为折，”称为根指数，。称为根

底数.

(2)根式的性质：

当"为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的“次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的"次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是鬲运算"'(axO)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，>

运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数鬲的分类

〃个

①正整数指数幕.a(〃eN*)；②零指数鬲a°=l("°)；

③负整数指数幕才"=十("0,nwN")；④0的正分数指数零等于()，0的负分数指数易没有意义.

(5)有理数指数零的性质

①a"‘a"=a"'+"(a>0,m,；②="""(a>0,m,neQ)-

③触)=a""(a>0,b>0,旌。)；④"=涓(">(),

2.指数函数

y=ax

0<a<ia>l

q

收4L

o\~

-511x

图象

①定义域R,值域（0,+8）

②*=i,即时x=o,y=i,图象都经过即，i）点

性质③优=a,即x=1时，）'等于底数”

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>];%>0时，0<ax<1%<0时，Ova’vl;x>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【常用结论】

1.指数函数常用技巧

（1）当底数大小不定时，必须分和两种情形讨论.

⑵当0＜。＜1时，Xf+OO,y-O；”的值越小，图象越靠近）’轴，递减的速度越快.

当时Xf+8,y.O；。的值越大，图象越靠近）’轴，递增速度越快.

（3）指数函数y=能与y=（%的图象关于）'轴对称.

a

二、题型分类精讲

刷真题明导向

一、单选题

1.（2022•北京•统考高考真题）己知函数/5）=3统，则对任意实数x,有（）

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(—x)+/(x)=lD./(-x)-/(x)=-

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

112,1

【详解】/(-%)+/(%)=----1---=----1---1,故A错误，C正确;

l+2-x1+2*1+2*1+2*

112X12x-\1」

/(-x)-/(x)=,不是常数，故BD错误

1+2一、1+2、1+2,1+2'2'+12'+1

故选：C.

2.(2020•全国•统考高考真题)设。144=2,则4一〃=()

■111

一---

A.B.98D.6

16

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由。1隔4=2可得1呜4"=2,所以4"=9,

所以有4-"=，

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则,

属于基础题目.

3.(2020•山东・统考高考真题)已知函数y=/(x)是偶函数，当xe(0,*o)时，y="(O<a<l),则该函数

在(-8,0)上的图像大致是()

【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.

【详解】当xe(0,+oo)时,y=a'(O<a<l),所以在(0,也)上递减,

f(x)是偶函数，所以/(x)在(-应0)上递增.

注意到“°=1,

所以B选项符合.

故选：B

4.(2021.全国.统考高考真题)下列函数中最小值为4的是()

=sin%+

A.y=x2+2x+4B.ll

4

C.y=2'+22TD.y=lnx+——

Inx

【答案】c

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当尸-1时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0<卜出耳41,y=kinx|+岛224=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2，>0,)，=2'+2"=2'+2224=4,当且仅当2，=2,即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=\nx+-^—,函数定义域为(0,1)(l,+<x>),而InxwR且InxwO,如当lnx=—l,y=-5,D不

Inx

符合题意.

故选：c.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的

性质即可解出.

5.（2022•浙江•统考高考真题）已知2"=5,1%3=b,则4"融=（）

255

A.25B.5C.—D.—

93

【答案】c

【分析】根据指数式与对数式的互化，褰的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14"（2"）5225

【详解】因为2〃=5,。=1。以3=§1幅3,即23〃=3,所以4".=不3.

故选：C.

6.（2020•全国•统考高考真题）若2*-2><3-*-3一>,则（）

A.ln（y-x+l）>0B.ln（y-x+l）<0C.ln|x-j|>0D.In|x-y|<0

【答案】A

【分析】将不等式变为2；3T根据/（。=2'-3T的单调性知以此去判断各个选项中真

数与1的大小关系，进而得到结果.

【详解】由2*—2y<3r-3r得：2X-3T<2y-3一,

令/⑺=2'-3、

.y=2'为R上的增函数，y=3-'为R上的减函数，.,./（，）为R上的增函数，

Q.y-x>0,，ln（y-x+l）>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得

到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

7.（2022.全国.统考高考真题）设a=0.1e°」,6=/c=-In0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数f(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定a,"C的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/'(幻=丁^--1=—上，

1+X1+X

当xe(—1,0)时,f'(x)>0,当xw(0,+oo)时r(x)<0,

所以函数/。)=皿1+无)7在(0,”)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(3<〃0)=0,所以In9-1vO,故">ln?=-ln0.9,即b>c,

所以/(-而)</(0)=0,所以In而+而<0,故木<”,所以木*。<?

故a<6,

设g(x)=xe*+ln(l-x)(O<x<l),则g,(%)=(x+l)ev+-^=—~

令力(x)=e*(x2-1)+1,h'(x')=ex(x2+2x-l),

当0<x<近一1时，//(x)<0,函数九(劝=/，-1)+1单调递减，

当时,h'(x)>0,函数〃(x)=e*，-l)+l单调递增，

又取0)=0,

所以当0<x<&_]时，h(x)<0,

所以当0<x-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le°',&=7^7,c=-ln(1-(M),

1-U.1

①In67-ln^=OJ+ln(l-O.l),

令/(x)=x+ln(l—jf),XG((),0.1],

则r(x)=i-3=F<°，

l-xl-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-\nb<0,所以a<h；

②0=0.1网+ln(l-0.1),

令g(x)=xex4-ln(l-x),xe(0,0.1],

贝！Jg\x)=xex+ex一一匚=。+/。一'""一】,

-1-x1-x

令k(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以伙x)在(0,0.1］上单调递增，可得'(%)>"(0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0.0.11上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以〃>c.

故c<a<b.

题型一指数幕的化简与求值

―一藕方法指睛藕的一般原则

⑴有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

(2)先乘除后加减，负指数霖化成正指数嘉的倒数.

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.

⑷若是根式，应化为分数指数嘉，尽可能用嘉的形式表示，运用指数寨的运算性质来解答.

【典例1】计算:

⑴_8%正+27'-出；

⑵已知：/+/=3,求慝趋的值•

【答案】(1)4(2)1

【分析】(D利用指数幕的运算性质可求得所求代数式的值；

(2)在等式,5+城=3两边平方可得出a+a1,再利用平方关系可求得如+a2,代入计算可得出”优上:

a+air+az-1

的值.

312

【详解】⑴解：原式=1一2口27+(33尸-22=1-2+9-4=4.

r2।V

⑵解：因为〃则a2+a2=a+a~i+2=9,所以，a+a'=7>

LI।Ci-J

所以，(a+a-1=々2+〃-2+2=49,可得，a24-a~2=47>

a+a~i+27+2_1

因此,

47-2-5,

【题型训练】

一、单选题

＜"、疗+3

1.（2023春湖南•高三校联考阶段练习）—=（）

।巧

A.9B.-C.3D.也

99

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

1

2=

3-9-

故选：B.

2.（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（）

A.设贝IJ，./=“B.若M=2,贝1］切=±啦

C.若0+1=3,贝■+/=±石D.《（2-万『=2-万

【答案】B

【分析】根据分式指数幕及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误.

【详解】对于A,根据分式指数幕的运算法则，可得尴,「一选项A错误；

对于B,W=2,故6=±啦，选项B正确；

对于C,^+—=3,（/+a^）2=a+a'+2=3+2=5＞因为。＞0,所以/+尸=石,选项C错误;

对于D,—万『=|2_司==一2,选项D错误.

故选：B.

二、填空题

3.（2023・全国•高三专题练习）若加+工=3,则“P+3二

mm

【答案】7

【分析】在等式机+工=3两边平方，可得出机?+工的值.

mnr

【详解】在等式，〃+'=3两边平方可得（m+—|=ni2+-^-+2m-=tn2+-^-+2=9,

,nvm）m~mtn~

因此，/H—工=7.

故答案为：7.

4.（2023•全国•高三专题练习）已知“<0,化简二次根式卫尤的值是

y

【答案】Q.

【分析】利用根式的性质进行化简.

【详解】由归7可知，%<o,又犯<0,所以y>o,

所以亏二y口,所以上t=Q.

y

故答案为：口.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知a"=&+l，则""+1"二

。+a

【答案】20-1

【分析】利用立方和公式化简，再代入求值即可.

【详解】於=近+1,

=\^2+1-1-1—j=J=2y—1•

ax+a~xV2+1

故答案为：20-1

6.（2023・全国•高三专题练习）已知a>6>0,a2+b2=4ab,则土二竺的值为.

ab

【答案】2G

【分析】将苏+攵=4。。变形为，+2=4,设/=：,求出t的值，之土可化为-1,即可求得答案.

bababt

【详解】由a>6>0,a2+b2=4ah,可得^±£=4,;.g+2=4,

abba

设，=:，贝卜>1,贝!jr+l=4,.•.r-4r+l=0,

bt

解得，=2+6，（r=2-6舍去），

故-—=---=♦—=2+6--------『=2+也-2+下!=2#,故答案为：25/3

abhat2+J3

三、解答题

111

7.（2023•全国•高三专题练习）（1）计算0。27-3-（」）-2+8产+（_1）。-3-1；

69

（2）若£+■="，求/+了2的值.

【答案】⑴-5；（2）14.

【分析】（D由题意利用分数指数塞的运算法则，计算求得结果.

（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果.

［详解］（1）0.027飞-（--）-2+81075+（-）0-3-1=0.3-1-36+33+1-1=--36+27+1--=-5.

69333

（2）若蓝/.x+—+2=6,x+—=4,.*.x2+x-2+2=16,Ax2+x-2=14.

」1___立

8.（2023・全国•高三专题练习）⑴计算：

(2)已知。力(。>份是方程V-5x+5=0的两根，求半二吗+冬邛的值.

【答案】(1)16；(2)2亚.

【分析】(D把根式化为分数指数塞，然后由幕的运算法则计算.

(2)由韦达定理箱出。+4必，求出求值式变形后代入已知值即可得.

I41IcXT4-

【详解】(1)原式=25己X—+(2^x6^)4~4^=5x—+4x6+42=4+12=16；

55

\/

(2)由题意a+Z?=5,ab=5,yL(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4x5=5,而a>b,所以。一6=百，

所以—++\[h_—y[b)"+{>[ci+y/hy_62—2ylab+Z?+a+2y!ab+h

yfa+yfb>[a—y[b+4b){yla—>Jb)a—h

2(a+Z?)10厂

=~b=-r=2V5,

V5a-b

题型二指数函数的图像与性质

备策略方法解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思

路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

【典例1］函数f（x）=x2—依+1有两个不同的零点，则y（a>0且"1）的图象可能为（）

【分析】根据函数〃x）=x2-依+1有两个不同的零点，求出。的范围，再根据函数y="-a的图象是由函

数^=。、的图象向下平移。个单位得到的，作出函数y=的大致图象，即可得解.

【详解】因为函数/（x）=f-必+1有两个不同的零点，

所以解得a>2或。<-2,

则在函数y=a*-a中a>2,

函数y=a'-a的图象是由函数y=a，的图象向下平移。个单位得到的,

作出函数y=a'-a的大致图象，如图所示，

所以y=（a>0且awl）的图象可能为B选项.

故选：B.

【典例2］已知函数/（6=优-2+1（〃>。,。工1）的图像恒过一点P,且点P在直线根1=0（〃?〃>0）的

图像上，则工+工的最小值为()

mn

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】求出函数/(x)的图象所过的定点坐标，由此建立〃?，”的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解

作答.

【详解】函数"，)=*2+1(。>0,。」1)中,当x—2=0,即x=2时，恒有〃x)=2,则点户(2,2),

依题意，2/力+2〃一1=0,即m+〃=；,又nm>0,因此m

-+-=2(m+n\-+1)=2(2+-+-)>2(2+2.1--)=8,当且仅当"=即能=〃=,时取等号，

mnmnmn\mnmn4

所以工+工的最小值为8.

mn

故选：D

【典例3］比较下列几组值的大小：

(1)(-2.5"和(-2.5户；(2)(|)?和(0.4/；

⑶和图2；(4)0.4-2.5,2~2.5%

I

【答案】⑴(-2.5户>(-2.5)3(2)(|)2<(0.4尸

(4)0.4*>2S6>2«"2

【分析】(D(2)(3)(4)利用指数函数的单调性分析比较大小即可

2244

⑴由于(-2.5)3=2于，(-2.5)5=2.55.

42

•••y=25在R上为增函数，且§>§，

，2.5：>2.5:，即(-2.5金>(_2.5金；

(2)由于(0.4。=(|1

；尸自,在尺上为减函数,且fl.

<(0.4P；

⑶•・•¥=（£!'在R上为减函数，y=（gj在R上为增函数，且-g<0.

(4)•；0.4乜5=2.52J,y=2.5'在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2

:.2.525>2.516>1>2,5^2,

/.0.4-25>2.5,6>2-02.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•天津河东♦一模）如图中，①②③④中不属于函数y=3"y=2\j=[lj中一个的是（）

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.

【详解】解：由指数函数的性质可知：

①是y=的部分图象；③是y=2,的部分图象；④是>=3,的部分图象;

所以只有②不是指数函数的图象.

故选：B.

2.（2023•全国•高三专题练习）函数y=or+。（a>0且awl）与函数y=a*+b的图象可能是（）

【答案】A

【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与y轴的交点位置，即可得出合适的选项.

【详解】A选项，函数），=优+匕为减函数，贝（

且函数丫=优+6的图象交，轴正半轴点（0,。+1）,则l+b>o,可得〃>-1,

函数y=or+。为增函数，且函数y=ax+。交y轴正半轴于点（0,6）,贝（Ja>0,b>0,A满足；

对于B选项，函数），=优+6交y轴于点（0力+1）,函数y=or+b交y轴于点（0力），

显然b+l>A,B不满足；

对于c选项，函数尸优+方交）'轴于点（0S+1）,函数y="x+6交），轴于点（0⑼，

显然b+l>b,C不满足；

对于D选项，函数y=。'+6为减函数，贝

函数y=ox+人为减函数，则。<0,D不满足.

故选：A.

3.（2023•云南红河•云南省建水第一中学校考模拟预测）函数f（x）=“'-2+l（其中。>0,a=l）的图象恒

过的定点是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

【答案】B

【分析】令x-2=（）可得定点.

【详解】令X—2=0,即x=2,得y=2,

函数/"）=优一2+1（其中a>0,a=1）的图象恒过的定点是（2,2）.故选：B.

4.(2023•全国•高三专题练习)4知函数/(力=优々-5(。>0且"1)的图象过定点(，",〃)，则不等式

Y+/nr+〃+l<0的解集为()

A.(1,3)B.(-3,-1)C.(-co,-3)u(l,+oo)D.(-3,1)

【答案】D

【分析】根据指数型函数的定点求解也〃，代入后再求解一元二次不等式.

【详解】当工=2时，/(2)=«2-2-5=«°-5=1-5=-4,故加=2,〃=Y,所以不等式为/+2万一3<0,解

得-3<X<1,所以不等式的解集为(-3,1).

故选：D

5.(2023•全国•高三专题练习)函数y=dT(a>0,aHl)的图像恒过定点A,若点A在双曲线

22

土-2_=1(〃7>0,〃>0)上，则m〃的最大值为()

mn

A.6B.-2C.1D.4

【答案】D

Q1

【分析】令3-x=0,求得A(3,l,由点A在双曲线上，得到三-±=1,然后由“1”的代换，利用基本不等

mn

式求解.

【详解】令3-x=0,解得》=3,y=l,

所以A(3,l),

22

因为点A在双曲线三-匕=1(〃?>0,〃>0)上,

mn

91

所以」-±=1,

m

<10-2/­一二4A,

nVtnn

等号成立,

所以m-n的最大值为4

故选：D

23I

6.（2023•天津•一模）已知a=3”6=23c=4^，则（）

A.c<a<bB.h<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据指数函数，幕函数的性质即可判断人<4,c〈a,再对〃，c进行取对数，结合对数函数的性

质即可判断c<b,进而即可得到答案.

【详解】由4=3^=9与，6=2，=8rc=4。

则b=84<83<9§<a，C<a,

13i2

43

又log2b=log,8=-,log,c=log,4=-,

则log2c<log?b,即C<匕,

所以c<b<a.

故选：D.

2"r</7

7.（2023•北京东城・统考二模）设函数/（尢）=2,"，若人幻为增函数，则实数。的取值范围是（）

x,x>a

A.（0,4]B.[2,4]

C.⑵+oo）D.[4,+oo）

【答案】B

【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得〃>0且/N2",结合y=x?与>=2"的函数图象

及增长趋势求出参数的取值范围.

【详解】因为/（x）=[21X'",当时f（x）=2,函数单调递增，

[A-,x>a

又y=V在（0,+8）上单调递增，在（7,0）上单调递减，

要使函数f（x）为增函数，贝1]。>0且〃*2",

又函数y=x2^y=2*在（O,y）上有两个交点（2,4）和（4,16）,

且y=2*的增长趋势比y=V快得多，

y=V与y=2,的函数图象如下所示：

所以当x>4时2，>/,当2<x<4时》2>2”,当0<x<2时2*>,

所以24。<4,即实数。的取值范围是241.

故选：B

8.（2023•浙江•高三专题练习）已知a=3p2,T=i,2L3,c=1.3",则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中间值1.212比较a,b的大小,再让b,c与中间值13比较，判断b,c的大小，即可得解.

（WW）a=lA'2<1,2'2<1.2'3=b,又因为通过计算知1.2,<1.33,所以（1.2*广〈”，厂，即

又1.2°,所以1.2L3<13<L3"=c,所以a<b<c.

故选：B

二、多选题

9.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考二模）点在函数y=e”的图象上，当玉40,1）,则也二j■可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根据目标式的几何意义为y=e'在xe[o,l）部分图象上的动点与点所成直线的斜率

k,即可求范围.

【详解】由刊■表示加（和耳）与点所成直线的斜率3

又”（5,〉）是〉=/在xe[0,l）部分图象上的动点，图象如下:

如上图，B（Le）,贝!|-2],只有B、C满足.

故选：BC

三、填空题

10.（2023・全国•高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数/'（》）=

①f（0）=0；②对任意当历＜々时，/（xl）＜/（x2）；③

【答案】1（答案不唯一）.

【分析】根据/（X）的图像经过原点，且在R上单调递增，又利用指数函数的图像和性质构造函数

即可.

【详解】根据题意知/（X）的图像经过原点，且在R上单调递增，又.考虑到图像有“渐近线”的指数

函数，构造〃x）=l-（£）,符合题意.

故答案为：〃x）=l一偿J（答案不唯一）

11.（2023秋•吉林松原•高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）己知Ax）为R上的奇函数，当xelO,”）时，

/（x）=2*],则不等式/（3x-l）＜的解集为___________.

X+1

【答案】（Y°q）

【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，

【详解】由函数y=2"与丫=-一二均在[0,茁）上单调递增，

X+1

故/（X）在[0,”）上单调递增,

而/（X）为R上的奇函数，故f（x）在R上单调递增，

〃3x-l）＜/（D等价于得*＜；，

故答案为：（-°0，]）

12.（2023.全国•高三专题练习）若函数y="T在（f,月上单调递减，则k的取值范围为.

【答案】（-8,0]

【分析】先画出函数y=|4'-i|,再根据函数在（眉上单调递减求解.

【详解】解：因为函数,=的图象是由函数y=4,的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的

图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，

由图象知，其在（F,0]上单调递减，所以k的取值范围是（-%01.

故答案为：（7,0]

四、解答题

13.（2023•全国・高三练习）已知函数/（X）=2'+G2T（。为常数）和函数g（x）=2,-2T,且〃（》）=先为

奇函数.

（1）求实数”的值；

（2）设不等式V（x）＞g（x）恒成立，试求实数2的范围.

【答案】（1）1

⑵工+«）

【分析】（D根据奇函数的定义求出a；

（2）运用参数分离法，构造函数，运用函数的单调性求解.

【详解】(1).3)=•=212：=科••/*)+//(-犬)=0,即乎+支之=

g(x)2'-24'-14r-l4-'-I

(4'-1)(1-«)=q)解得”=i,

4'-1

经检验符合题意；

(2)由W(x)>g(x),得〃2'+2-')>2r2~,则4>二竺，

'72X+2-X

—2、一2一、4V-14x+l-2,2八2c

2工+2-*4*+14X+14A+14+1

••・实数几的取值范围是口，转)；

题型三解指数方程与不等式

令策略方法指数方程或不等式的解法

(1)解指数方程或不等式的依据

①/a)=律⑴弓(x)=g(x).

@aM>a^x\当时，等价于/(x)>g(x)；

当OVaVl时,等价于/(x)Vg(x).

(2)解指数方程或不等式的方法

先利用嘉的运算性质化为同底数嘉，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.

【典例1］不等式<2公对于以W0,2］恒成立，则。的取值范围是.

【答案】(-",。)

【分析】由题意结合指数函数的单调性，得a<f+4x对于近«0,2］恒成立，设/(力=/-以，结合二次

函数的性质可求得答案.

【详解】由(gj“<24、得2a"<24，，得-f+a<4x,即a<d+以对于Vxe［0,2］恒成立，

设〃X)=X2+4X=(X+2)2-4,显然/(x)开口向上，对称轴为》=一2,

所以〃x)在［0,2］上单调递增，当x=0时，f(x)取得最小值0,

则。<。，即a的取值范围为(-8,0).

故答案为：(-8,0).

【题型训练】

一、单选题

1.(2023.海南.统考模拟预测)已知集合4=卜，<2'<4卜B={x|0<x<3},则A「8=()

A.{x[0<xv2}B.{x|-l<x<3|

C.{x|0<x<3|D.{x|-l<x<2j

【答案】A

【分析】先求出集合A,集合的交集运算即可求出

【详解】集合A={xg<2'<4}={x|-1<x<2},

8={x[0<x<3},

Ac8={x[0<x<2}.

故选：A.

Tr<1

2.(2023・河北•高三学业考试)设函数f(x)=〈2'：-，则满足/(力42的x取值范围是

1-log,X,X>1

A.[-1,2]B.[0,2]C.[l,+8)D.[0,+oo)

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应/(x)<2的x范围，然后取并.

[x<\fx>1

【详解】由ci.可得04x41；或一打，可得x>l；

[2<2[l-log2x<2

综上，，。)42的工取值范围是[0,*0).

故选：D

3.(2023.全国•高三专题练习)若关于x的不等式叶2禺>2凶+l(xeR)有实数解,则实数a的取值范围是()

A.(1,+(»)B.(2,+00)C.[L+00)D.[2,+<»)

【答案】A

【分析】分离参数将问题转化为。>1+，有解，计算即可.

【详解】由题知//>2W+l（xeR）,而2心1，所以。>1+/，

又。<#1，所以1<1+#2.

因为关于x的不等式。・小>2忖+1（》£可有实数解，

即a>l+^（xeR）有实数解，所以。>1,即ae（l,田））.

故选：A

4.（2023•全国•高三专题练习）若不等式恒成立，则实数〃的取值范围是（）

A.（0,-1）B.£+8）C.（0,）D.

【答案】B

【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为丁-26>-（3》+/）恒成立，利用判别式

△=（3-2。）2-4/<0,从而求得实数。的取值范围.

详解：不等式（；了"6<23"/恒成立，即（；）*-2&<（；严,2）,即丁-2以>_（3x+〃）恒成立，即

/+（3-2〃》+〃2>0恒成立，所以A=（3-2a）2-4a2<0,解得0>所以实数。的取值范围是（：,y）,故

44

选B.

点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的

运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合

式子的判别式，求得结果.

二、填空题

5.（2023•全国•高三专题练习）<1,/<i，则实数。的取值范围为.

【答案】（0，；）

【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可.

【详解】10g“；<l=10gj<10g“4,

当。>1时logH；<log„a成立；

当0<“<1时，解得0<“<g.所以"(0,£|51,+8)

2

<1o\[a<1<=>0<a<1

.'a的取值范围是(0,£|.

故答案为：(o,g)

3

6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/。)=21+。2]的图象关于原点对称，若f(2x-l)>5,则x的取

值范围为.

【答案】x>l

【分析】先求得a的值，再利用函数单调性把不等式/(2x-l)>3^转化为2x-l>l,解之即可求得x的取值

范围.

【详解】定义在R上函数/(%)=2'+小2-，的图象关于原点对称，

则/(0)=2°+/2°=。，解之得。=-1,经检验符合题意

J=2\>=-2-*均为区上增函数，则f(x)=2，-2T为R上上函数,

又/⑴=2-2T=1，

3

则不等式等价于解之得x>l

故答案为：x>l

三、解答题

7.(2023・全国•高三练习)解下列方程：

(1)2^+3-2^1-1=0;

(2)3x4'+2x9'=5x6x;

⑶10或,+/*=20；

(4)lg(2r+x-54)=x(l-lg5).

【答案】⑴户-1;

(2)x=0或x=1；

(3)X=卡或x=10；

(4)x=54

【分析】(D(2)根据指数幕的运算法则结合指数函数的性质即得；

(3)(4)根据对数的运算律结合对数函数的性质即得.

【详解】⑴由2"+3-2*T-l=0,可得2x(2、y+3x2'-2=0,

所以(2x2*-l)(2*+2)=0,

所以2?2*1=0,即2向=1，

所以4-1;

(2)3x4'+2x9'=5x6',可得3x(2、y-5x2*x3*+2x(3]=0,

所以(25)(3x2，-2x3")=0,

所以2*-3*=0或3x2*-2x3*=0,

由2*-3*=0,可得(|)=1，故》=()，

由3x2*-2x3*=0,可得2*T=3*T,即(g)=1>所以*一1=0，即x=l,

所以x=0或x=l；

(3)因为]产=(10吁、—

所以原方程可化为2・不，=20,即*'10,

两边取对数可得lg2x=l,即1gx=±1,

所以*=10或》=£,

经检验了=10或》=，是原方程的解，

所以x=10或x=L；

(4)由Ig(2'+x-54)=x(l-lg5),可得lg(2，+x—54)=xlg2=lg2、，

所以2*+x-54=2*,

即x=54,经检验满足题意，

所以x=54.

8.（2023秋•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数/（x）=5、（a€R），与/（月的图象

关于直线y=x对称的图象过点（2,1）.

⑴求。的值；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）。=一1;

⑵{x|x<log23且xwO}.

【分析】（D由对称性知"X）的图象过点（1,2）,代入后可得。值；

（2）结合指数函数性质解不等式.

【详解】（1）由题意，*）的图象过点（L2）,所以/⑴=4=2,a=-\i

2+a

乃

（2）由（1）f（x）=——,显然xwO,

2*-1

32*3

不等式/（x）>：为岛■>（化简得2*<3,x<log32,

所以不等式的解集为{x|x<log?3且XHO}.

题型四指数函数的综合应用

畲策略方法指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数

时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对

称性及周期性解决问题.

【典例1】函数/（X）=（；）TF，+3单调递增区间为（）

A.B.（-8,-1）C.（1,+8）D,（3,+8）

【答案】C

【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间.

【详解】由/（》）=（；尸‘山+3,设〃（X）=-2+2X+3,贝（“）=（』”为减函数,

求f(X)=(5孑+2*+3的单调递增区间，等价于求“(X)=-2+2X+3的单调递减区间，

因为“(x)=-(x-l)2+4在(l,+oo)单调递减，

所以函数/(X)=(；)*+2Z的单调递增区间是

故选：C.

【典例2】当xe(-8,1]时，不等式l+2'+(a-a»4，>0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.卜2,jB.—J