高中数学 指数函数 知识点精讲及重点题型训练

4.2指数函数

❽知识导图

(-----------1dMMBMJ

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1

指数与指数函数=

、’(>指数话数的图像与性质—Hffloarma*

H娟敷型后台的故)

®知识点精讲

考点一指数函数及其性质

⑴概念：函数了=。工(。>0且存1)叫做指数函数，其中指数X是自变量，函数的定义域是R,a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>\0<Q<1

Pyy=«r尸〃\V

图象__y=l

oji_*

o]i~~r

定义域R

值域(0,+oo)

过定点(0,1),即x=0时，y=\

当x>0时，7>1；当x<0时，y>l；

性质

当了v0时，0<y<l当x>0时，0<y<l

在(-00,+oo)上是增函数在(-00,+oo)上是减函数

重点题型

（一）指数函数的概念

例1、（1）,（2023秋•吉林长春•高一长春外国语学校校考期末）若函数＞=（苏-2加-2）.W是指数函数，则

加等于（）

A.一1或3B.-1C.3D.1

【答案】C

【分析】根据指数函数的定义求解即可.

【详解】因为函数＞=（--2〃?-2）•祝是指数函数，

m2—2m-2=1

所以,加＞0=＞机=3.

故选：C

（2）、（2022•全国•高一课时练习）若函数〃x）=］；叱3卜，（°＞0,且分1）是指数函数，则”

【答案】8

【分析】根据指函数的定义求解即可.

【详解】解：因为函数〃可=&”3）/是指数函数，

所以夭一3=1,所以a=8.

故答案为：8.

【变式训练1-1】、（2023•全国•高三专题练习）（多选题）下列函数是指数函数的有（）

A.y=x4B.＞=（：）"C.＞=22*D.y=-3X

【答案】BC

【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.

【详解】解：对于A,函数y=x4不是指数函数，

对于B,函数》=（：『是指数函数；

对于C,函数了=2?x=4,是指数函数；

对于D,函数＞=-3”不是指数函数.

故选：BC.

【变式训练1-2】、（2023•全国•高三专题练习）若函数〃回=（。2-3）.优为指数函数，则。=.

【答案】2

【分析】利用指数函数的定义列方程组即可解得.

【详解】因为函数〃司=（。2-3）/为指数函数，

[/—3=1

所以《An1，解得4=2.

[a＞0且Qw1

故答案为：2

（二）指数函数的图像与性质

例2.（1）、（2021•黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数〉=优-工（。＞0且的图象可能是

（）

邺

网学

盼:工，

您R赢溺'七飞a*%

©W

A.①③B.②④C.④D.①

【答案】c

【分析】分。＞1,0＜。＜1,根据指数函数和图象平移判断.

函数夕=优-1.图象由函数

【详解】当。＞1时，0＜-＜1,函数〉=罐的图象为过点（0,1）的上升的曲线,

aa

y=a*向下平移:个单位可得，故①②错误；

广-工图象由函数＞=优向下平

当0＜"1时，-＞1,函数＞=优的图象为过点（0,1）的下降的曲线，函数y

aa

移5个单位可得，故④正确③错误；

故选：C

（2）.（2022•全国）已知函数/㈤=（工-〃）（％一份（其中a>b）的图象如图所示,则函数g（x）=优+6的图像是

【答案】A

【分析】

根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.

【详解】

/(0)<0[ab<0(1)

由图象可知:</(I)>0n'(l—a)(l—b)>0(2)因为所以由⑴可得：a>0>bf由⑶可得:

/(-I)<0[(-1-Q)(-1-b)<0(3)

一1一6>0=6<-1,由(2)可得：1-«>0=>(2<1,

因此有1〉〃>0〉-1〉6,所以函数g（x）=a"+b是减函数，g（0）=1+6<0,所以选项A符合，

故选：A

【变式训练2-1】、（2022•全国•高一课时练习）函数①y=优；②尸"；③尸④”*的图象如图

所示，a,b,c,d分别是下列四个数：f,5I，；中的一个，则a,b,c,d的值分别是（）

432

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

【详解】由题图，直线X=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而百

故选：C.

【变式训练2-2】.(2023•浙江温州•高二统考学业考试)已知函数〃对=优+6的图象如图所示，则函数

g(x)=(x-a)(x-6)的大致图象为()

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数〃对=优+6的图象可求得。力的范围，再根据二次函数的图

象即可得解.

【详解】函数/(X)=优+6的图象是由函数V=优的图象向下或向上平移网个单位得到的,

由函数/。)=罐+6的图象可得函数为单调递减函数，贝。

令x=0得6+le(-l,0),则be(3-1),

则函数g(x)=(x-a)(x-b)的大致图象为A选项.

故选：A.

《三）定点问题

例3.（1）、（2021•上海市建平中学高一期中）函数＞=。1（4＞0,。/1）恒过定点.

【答案】（T1）

【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.

【详解】当x+l=0,即x=-l时，y=a°=1,

所以y=ax+l（a＞0,aH1）恒过定点（-1,1）.

故答案为：（Tl）

（2）.（2021•玉溪第二中学高二月考（理））函数了=优一2+1（°＞0,且的图像必经过点

【答案】（2,2）

【分析】

指数函数＞=优（。＞0且awl）的图像必经过点（0,1）,由此计算即可.

【详解】

令x-2=0,解得x=2,当x=2时y=a°+l=2,

所以函数V=ax-2+1（。＞0,且a*1）的图像必经过点（2,2）.

故答案为：（2,2）

【变式训练3-11（2023秋•高一课时练习）函数/（x）=0522+2023（。＞0且a*1）所过的定点坐标

为.

【答案】（2022,2024）

【分析】根据指数函数性质，令x-2022=0即可求得定点.

【详解】令x-2022=0,即x=2022,则/（2022）=+2023=2024,

\/（x）所过定点坐标为（2022,2024）.

故答案为：（2022,2024）.

【变式训练3-2】、（2022•宁夏•银川二中高二期末（理））函数/（无）=.1+2（。＞0,awl）的图象恒过定点

【答案】（1,3）

【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.

【详解】令x-l=0,可得x=l,

所以/⑴=“°+2=3,即/(x)图象恒过定点(1,3).

故答案为：(1,3)

（四）利用指数函数的单调性比较大小

例4.（1）、（2022•北京八中高二期末）已知。6=0.5",c=—,则a,b,c按从小到大排列为

2

【答案】b<c<a

【分析】根据指数函数性质比较大小.

【详解】1.205>1,

所以6<C<Q.

故答案为：b<c<a.

（2）、（2023•全国•高三专题练习）已知。=2°/=。-。=0.3°」，则〃也c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性比较大小.

【详解】•.・y=0.3"是减函数,3>0.1>0,所以0.33<0.3°」<1,

又

­­b<c<a.

故选：C.

221.

【变式训练4-1】、（2023•全国•高三专题练习）若c=gj,则a、b、c的大小关系是

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用事函数和指数函数的单调性比较大小

【详解】因为尸，在（。,+功上单调递增，且

22

所以即a>b,

因为y=在R上单调递减，且

2]_

所以即c>a,

所以C>Q〉6,§9b<a<c

故选：A

【变式训练4-2】、（2023•全国•高一专题练习）已知°力，6=，c="，则（）,

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】利用指数函数的单调性，确定这三个数的范围，可比较大小.

【详角星1°C=1,即

小沪1,

g=-6<0,即c<0.

所以有c<0<a<l<6.

故选：B.

(五)求指数型复合函数的定义域

例5.(1)、(2023秋•高一课时练习)函数y27的定义域是()

A.[-2,+oo)B.[-l,+oo)

C.(—00,—1]D.(—8,-2]

【答案】C

【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解.

【详解】由题意得-27>0

所以>27,

d

又指数函数＞=II为R上的单调减函数,

所以2x-lV-3,解得xV-1.

故选：C.

(2)、(2022•全国•高一课时练习)函数＞=，3工-27的定义域为()

A.卜8,6]B.卜℃,百)C.[3,+co)D.(3,+co)

【答案】C

【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.

【详解】由题意得3,-2720,即3*233,解得xZ3.

故选：C.

【变式训练5-1】、(2021秋•广西河池•高一校联考阶段练习)设函数/(x)=7^手，则函数/的定义域

为()

A.(-8,4]B.(-»,!]C.(0,4]D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出的定义域，再令搭满足〃X)的定义域范围求出X的范围即可得了的定义域.

【详解】由9-3*20即3,49可得XV2

所以/(x)的定义域为{x|xV2},

41<2,可得xV4,所以函数/的定义域为(e,4］,

故选：A.

【变式训练5-2】、(2023秋•广东广州•高一岭南画派纪念中学校考期末)函数/■(均=万］+」匚的定义域

x-1

为.

【答案】［0,l)U(l,+8)

【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.

(2%—］>0

【详解】根据题意，由，一，解得xNO且xwl,因此定义域为［01)U(l,+oo).

XW1

故答案为：［0,1)U(i,+8).

(六)求指数型复合函数的值域与单调区间

例6、(1)、(2023•全国•高三专题练习)函数〃》)=9'-4*3，+9的值域为.

【答案】［5,+⑹.

【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.

【详解】设1=3*>0,则〃x)=(3，y-43+9,

换兀得g(f)=尸一4/+9=—2)+5,t>0,

显然当f=2时,函数g⑺取到最小值g(。=5,

所以函数/3=9，-4、3，+9的值域为［5,+8).

故答案为：［5,+oo).

(2).(2022•上海师大附中高一期末)函数/(x)=5，g-3的单调减区间是.

【答案】(-8,1)##(-叫1］

【分析】根据复合函数的单调性"同增异减"，即可求解.

［详解］令y=5，/=x?-2x-3=(x-1)-4,,

根据复合函数单调性可知，内层函数在xe(-co,l)上单调递减，在xe(l,+oo)上单调递增，

外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在xe(-co,l)上单调递减，在xe(l,+⑹上单调递增.

故答案为：(-8,1).

(3).(2022秋•高一单元测试)函数y=的单调递增区间是()

A.1一13B.(fjC.1,+jD.Q,2

【答案】C

【分析】由复合函数的单调性进行求解即可.

【详解】函数y=是实数集上的减函数，

因为二次函数'=--+无+2的开口向下，对称轴为x=g,

所以二次函数y=*+x+2在（-哈时单调递增，在*+，|时单调递减，

由复合函数的单调性，可得函数＞"+"2的单调递增区间是

故选：c

（4）.（2023秋•广东江门•高三统考阶段练习）（多选题）已知函数/（x）=*W，则（）

A.函数“X）的图象关于原点对称B.函数的图象关于V轴对称

C.函数/（x）的值域为（-1,1）D.函数〃x）是减函数

【答案】AC

【分析】求函数/（X）的奇偶性可判断AB；分离参数可得/（x）=l-仃，根据指数函数的值域可判断C；

根据单调性的定义可判断D.

【详解】的定义域为R,=则〃一x）=3j=—|^=-/（x），

所以/（X）为奇函数，/（X）的图象关于原点对称,A正确，B错误；

〃耳=怎=1一用，因为所以0＜1,。（亦＜2，

/十1N十1N十1/十，

所以-1＜1-5T＜1,故“X）的值域为（T1）,C正确；

设马＞网,贝

2______2_2（2七-2）

2A,+12%+1一（2.+1乂2%+1），

因为々＞W，所以2*2-2皆＞0,2皆+1＞0,2泡+1＞0,

所以/。2）-/（不）＞0,即/（尤2）＞/（再）,

所以函数是增函数，故D错误，

故选:AC.

【变式训练6-1】、（2023春•黑龙江双鸭山•高二校考阶段练习）已知函数〃X）=4"-2-2-1,^e[0,3],则

其值域为.

【答案】15,31]

【分析】令f=2Z将问题转化为求二次函数在区间［1,8］上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.

【详解】令f=2*,vxe[0,3],1<Z<8,

.•.g(f)=产一4t-l=(t-2)2-5,Ze[1,8]

又昨g（。关于f=2对称，开口向上，所以g（。在口,2）上单调递减，在（2,8］上单调递增，且

|8-2|>|2-1|,

.」=2时，函数取得最小值，即g⑺出=-5,/=8时，函数取得最大值，即g"L=31,

.•./（x）e［-5,31］.

故答案为：［-5,31］.

【变式训练6-2】、（2022•安徽•歙县教研室高一期末）若函数在区间［T/上为增函数，则实

数小的取值范围为.

【答案】m<~］

【分析】由复合函数的同增异减性质判断得y=—+2"x-l在［-1,1］上单调递减，再结合对称轴和区间边界

值建立不等式即可求解.

【详解】由复合函数的同增异减性质可得，了=/+2/^-1在［-1,1］上严格单调递减，

二次函数开口向上，对称轴为％=-加

所以一加21,BPm<-1

故答案为：m<—\

【变式训练6-3】、（2023•全国•高三专题练习）求函数y=（£|［81g1+17的单调区间.

【答案】增区间为［-2,+8）,减区间为（-巴-2）

【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.

【详解】设>°，又>=/-8+17=。-4）2+1在（0,4］上单调递减，在（4,+功上单调递增.令<4,

得应一2,令>4,得x<—2.而函数/=［£|在R上单调递减，所以函数^=&）-8-^+17的增区间

为[-2,+功，减区间为（-%-2）.

故答案为：增区间为[-2,+8）,减区间为（-8,-2）

/[\x2+4x+3

【变式训练6-4】、（2022•全国•高一课时练习）（多选）已知函数/（x）=仁，则（）

A.函数〃x）的定义域为RB.函数〃x）的值域为（0,2]

C.函数在[-2,+动上单调递增D.函数〃x）在卜2,+动上单调递减

【答案】ABD

【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令w=/+4x+3,则,结合指

数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、

D.

【详解】令〃=/+4x+3,则^

对于A,/（x）的定义域与〃=—+4x+3的定义域相同，为R,故A正确；

对于B,y=gj，"目-1，+动的值域为（0,2],所以函数〃X）的值域为（0,2],故B正确；

对于C、D,因为〃=/+4x+3在12,+⑹上单调递增，且＞=在定义域上单调递减，所

以根据复合函数单调性法则，得函数/（x）在卜2,+⑹上单调递减，所以C不正确，D正确.

故选：ABD.

(七)指数型复合函数的综合问题

例7、(2023•浙江温州•高二统考学业考试)已知定义在R上的函数-2X+1+l-m(meR).

⑴当〃7=1时，求/(X)的值域；

⑵若函数/(X)在(1,+8)上单调递增，求实数加的取值范围；

⑶若函数y=g(x)的定义域内存在X。，使得g(a+Xo)+g(a-Xo)=26成立，则称g(x)为局部对称函数，其

中(%6)为函数g(x)的局部对称点.若(1,0)是Ax)的局部对称点，求实数加的取值范围.

【答案】(l)[T+s)

(3)(0,1]

【分析】(1)利用二次函数的性质求得了(无)的值域.

(2)利用换元法，对加进行分类讨论，结合二次函数的性质求得机的取值范围.

(3)由〃l+x)+/(l-x)=0分离参数机，利用换元法，结合二次函数的性质求得机的取值范围.

【详解】⑴当加=1时，/(x)=4r-2I+1=(2X)2-2-2X=(2J-1)2-1,

由于2工＞0,所以〃x)=(2*-1)2-12-1,当2工=l,x=0时等号成立,

所以/(x)的值域为[T+⑹.

(2)依题意，函数/⑴在(1,+8)上单调递增，

“X)=m-41-2I+1+1-=加・(2"-2-2”+1-加，

当x＞l时，令t=2"＞2,贝1]»=加〃+①，

当机=0时，y=-2t+l,在(2,+co)上单调递减，

即/(x)在(1,+co)上单调递减，不符合题意.

—21

当加＞0时，①的对称轴"-二一=一＞0,

2mm

要使/(X)在(1,+8)上单调递增，则＞=〃/_+1-机在(2,+8)上单调递增，

m＞0

所以1/.，解得加

—21

当加vo时，Q）的对称轴/=———=—<o,

2mm

函数歹=加/—2/+1—加的开口向下，在区间+s]上单调递减，不符合题意.

综上所述，加的取值范围是:+②].

(3)根据局部对称函数的定义可知，/(l+x)+/(l-x)=o,

即机•41+x-21+x+1+l-m+m-4修-21-x+1+l-m=0,

4m-4%+4m-4-x-2m-4-2x-4-2-x+2=0,

2“4'+2”4一”一加—2・2'—2・2一"+1=0,

22+2-2-”一1人I---------------

加二一xrLX1'令5=2・2'+2・2一”-122A/2・2'・2・2一芯-1=3，

24+2-4“-I

当且仅当2・2、=2•2二尤=0时等号成立，

则s?=4-4*+4・47+l+2(4—2-2,-2-2f)=4-4,+4-4T+9-4-2X-4-2T

=44+4-4T-2-(2-2,+2-2T-1)+7=44+44*-2S+7,

c2+?c_Q

所以24+2・4一、-1=^———,

2

s2s2

"1—-------------=--------------=------------

则s?+2s-952+25-99,

S---------rZ

2s

函数〉=S_2+2在区间[3,+8)上单调递增，所以y=s_2+233-g+2=2,

ss3

所以机

s---1-2

s

所以加的取值范围是(0,1].

【点睛】关键点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域(最值)，都可以考虑利

用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解.研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨

论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决.

例8、(2020•广西•兴安县第二中学高一期中)已知定义域为R的函数〃幻=匕二是奇函数.

2+a

(1)求a、6的值；

⑵证明/(x)在卜8,+8)上为减函数；

⑶若对于任意feR，不等式/(/-2。+/(2/_4)<0恒成立，求人的范围

【答案】⑴。=1,6=1;

(2)证明见解析；

【分析】(1)根据奇函数的性质由特殊值求得参数值，然后验证结论成立.

(2)由单调性的定义证明；

(3)由奇偶性变形，由单调性化简后求解.

(1)

]1_

由已知/(0)=；-----=0,6=1,/(x)=--------，

1+a2"+1

1_1__i

/(%)=----，此时/(x)定义域是R,/(-x)=---------=-7=-/(幻，为奇函数.

2+12+11+2

所以q=l,6=1；

(2)

由⑴〃无)=

设任意两个实数*，z，Xt<x2,则0<2为+1<2*+1,

，所以-1+，即/a)>/(>2),

T'+12J1

所以/(x)是减函数；

(3)

不等式f(t2-2?)+/(2/—后)<0化为f(t2-2Z)<-file-k),

fM是奇函数，则有f(t2-2t)<